2.1.3 相等向量与共线向量第二课时教案

3.2立体几何中的向量方法

第1课时

空间向量与平行关系

●三维目标

1.知识与技能

能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，能用向量方法判断有关直线和平面平行关系的立体几何问题．

2．过程与方法

通过用向量方法解决立体几何中的平行问题的过程，体会向量运算的几何意义．

3．情感、态度与价值观

引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中的受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学习兴趣．

●重点难点

重点：用向量方法判断有关直线和平面平行关系问题．

难点：空间直角坐标系的正确建立，空间向量的运算及其坐标表示；用向量语言证明立体几何中有关平行关系的问题．

●教学建议

在“以生为本”理念的指导下，充分体现课堂教学中“教师为主导，学生为主体”的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理念，构建学生主动的学习活动过程．在教学策略上宜采用“复习引入——推进新课——归纳与总结——反思”组成的探究式教学策略，并使用计算机多媒体作为辅助教具，提高课堂效率．本节课难点在于用向量证明平行关系，所以利用多媒体帮助分散难点，更符合学生的认知规律．同时在教学中注意关注整个过程和全体学生，“以学生发展为核心”，充分调动学生积极参与教学过程的每个环节．

●教学流程

创设问题情境，在两条平行线上取两向量，它们的位置关系如何？⇒引出直线的方向向量的概念，并用同样的方法得出平面的法向量的概念.⇒结合图形，引导学生分析方向向量、法向量的作用，得出空间平行关系的向量表示方法.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握求已知平面的法向量的方法.⇒

通过例2及其变式训练，使学生掌握利用向量法证明线线平行.通过例3及其变式训练，解决利用空间向量证明线面平行问题.归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.

⇒⇒⇒

课标1.掌握直线的方向向量、平面的法向量的概念及求法．(重点) 解读

2.熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．(重点、难点)

【问题导思】

直线的方向向量与平面的法向量

图3－2－1 1．如图3－2－1，直线l∥m，在直线l上取两点A、B，在直线m上取两点C、D，向→→量AB与CD有怎样的关系？

→→【提示】

AB∥CD. 2．如图直线l⊥平面α，直线l∥m，在直线m上取向量n，则向量n与平面α有怎样的关系？

【提示】

n⊥α.

直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．

直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量.

线线平行

空间中平行关系的向量表示

设两条不重合的直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇒a∥b⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2) 线面平行

设l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 面面平行

设α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)

求平面的法向量

图3－2－2

已知ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，1AD＝，试建立适当的坐标系．

2(1)求平面ABCD与平面SAB的一个法向量．

(2)求平面SCD的一个法向量．

【思路探究】

(1)根据图形特点，如何建立坐标系更方便？(2)怎样求平面的法向量？题中所要求的三个平面的法向量在求解时方法是否相同？

【自主解答】

以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建1立如图所示的坐标系，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D(，0,0)，S(0,0,1)．

2

→(1)∵SA⊥平面ABCD，∴AS＝(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量．

∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面SAB，

→1∴AD＝(，0,0)是平面SAB的一个法向量．

21→→(2)在平面SCD中，DC＝(，1,0)，SC＝(1,1，－1)．

2→→设平面SCD的法向量是n＝(x，y，z)，则n⊥DC，n⊥SC. 1→x＝－2yDC＝0n·2x＋y＝0所以得方程组∴

→z＝－y，SC＝0，n·x＋y－z＝0.

令y＝－1得x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1,1)．

1．若一个几何体中存在线面垂直关系，则平面的垂线的方向向量即为平面的法向量．

2．一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下：

(1)设出平面的法向量为n＝(x，y，z)．

(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量

a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．

(3)根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组

a＝0，n·

n·b＝0.

(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量．

a＝0，n·3．在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组有无数多个解，只需给x，n·b＝0

y，z中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量．

正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，在如图3－2－3所示的空间直角坐标系中，求：

图3－2－3 (1)平面BDD1B1的一个法向量．

(2)平面BDEF的一个法向量．

【解】

设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2) →(1)连AC，因为AC⊥平面BDD1B1，所以AC＝(－2,2,0)为平面BDD1B1的一个法向量．

→→(2)DB＝(2,2,0)，DE＝(1,0,2)．

设平面BDEF的一个法向量为n＝(x，y，z)．

y＝－x→DB＝0n·2x＋2y＝0∴

∴

∴

1→x＋2z＝0，z＝－x.2DE＝0，n·

令x＝2得y＝－2，z＝－1. ∴n＝(2，－2,1)即为平面BDEF的一个法向量.

利用空间向量证明线线平行

长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1.求证：EF∥AC1. 【思路探究】

(1)你能写出EF、AC1的方向向量吗？(2)两直线的方向向量满足什么条件则说明它们平行？

【自主解答】

如图所示，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设DA＝a，DC＝b，DD1＝c，则得下列各点的坐标：A(a,0,0)，C1(0，b，22b2c)，E(a，b，c)，F(a，，c)．

3333

abc→→∴FE＝(－，，)，AC1＝(－a，b，c)，

333→1→∴FE＝AC1. 3又FE与AC1不共线，

∴直线EF∥AC1.

利用向量法证明线线平行的方法与步骤：

图3－2－4

如图3－2－4所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．

→→→【证明】

以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1为正交基底建立空间直角坐标系，11不妨设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，E(0,0，)，C1(0,1,1)，F(1,1，)，

22

111→1→→→→→→∴AE＝(－1,0，)，FC1＝(－1，0，)，EC1＝(0,1，)，AF＝(0,1，)，∴AE＝FC1，EC12222→＝AF，

→→→→∴AE∥FC1，EC1∥AF，

又∵F∉AE，F∉EC1，∴AE∥FC1，EC1∥AF，

∴四边形AEC1F是平行四边形.

利用空间向量证明线面平行

图3－2－5

如图3－2－5，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中点，求证：AB1∥平面DBC1. 【思路探究】

线面平行→线与面的法向量垂直→数量积为0

【自主解答】

以A为坐标原点建立空间直角坐标系．

设正三棱柱的底面边长为a(a>0)，侧棱长为b(b>0)，

则A(0,0,0)，B(3a3aaa，，0)，B1(a，，b)，C1(0，a，b)，D(0，，0)，

222223a3→→∴AB1＝(a，，b)，BD＝(－a,0,0)，

222a→DC1＝(0，，b)．

2设平面DBC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，

3→BD＝－ax＝0，n·2则→an·DC＝y＋＝0，21

x＝0，∴

az＝－y.2b

不妨令y＝2b，则n＝(0,2b，－a)．

→→由于AB1·n＝ab－ab＝0，因此AB1⊥n.

又AB1⊄平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1.

利用空间向量证明线面平行一般有三种方法：

方法一：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示．

方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证．

方法三：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明方向向量与平面的法向量垂直．

在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点．

求证：CE∥平面C1E1F. 【证明】

以D为原点，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图．

1设BC＝1，则C(0,1,0)，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，F(1,1,1)，E1(1，，2)．

2设平面C1E1F的法向量为n＝(x，y，z)，

1→→∵C1E1＝(1，－，0)，FC1＝(－1,0,1)，

2→C1E1＝0，n·∴

→FC1＝0，n·1x＝2y，即取n＝(1,2,1)．

x＝z，

→→∵CE＝(1，－1,1)，n·CE＝1－2＋1＝0，

→→∴CE⊥n，且CE⊄平面C1E1F. ∴CE∥平面C1E1F.

向量法证明空间平行关系

图3－2－6

(12分)如图3－2－6，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．

求证：FH∥平面EDB. →【思路点拨】

先通过推理证明FH⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系，再设证明HF、→→BE、BD共面．

【规范解答】

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB⊥BC，又EF∥AB，

∴EF⊥BC. 又EF⊥FB，

∴EF⊥平面BFC. ∴EF⊥FH，∴AB⊥FH.2分

又BF＝FC，H为BC的中点，

∴FH⊥BC.

∴FH⊥平面ABC.4分

→→以H为坐标原点，HB为x轴正方向，HF为z轴正方向．

建立如图所示的空间直角坐标系．

设BH＝1，

则B(1,0,0)，D(－1，－2,0)，E(0，－1,1)，F(0,0,1).6分

→→→∴HF＝(0,0,1)，BE＝(－1，－1,1)，BD＝(－2，－2，0)，

→→→设HF＝λ·BE＋μ·BD＝λ·(－1，－1,1)＋μ(－2，－2,0)＝(－λ－2μ，－λ－2μ，λ)8分

∴(0,0,1)＝(－λ－2μ，－λ－2μ，λ)，

－λ－2μ＝0∴，解得1λ＝1μ＝－，

λ＝12

→→1→∴HF＝BE－BD10分

2→→→∴向量HF，BE，BD共面．

又HF不在平面EDB内，

∴HF∥平面EDB.12分

【思维启迪】

1.建立空间直角坐标系，通常需要找出三线两两垂直或至少找到线面垂直的条件．

2．证明时，要注意空间线面关系与向量关系的联系与区别，注意所运用定理的条件要找全．

1．利用向量解决立体几何问题的“三步曲”：

(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；

(2)进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)；

(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．

2．证明线面平行问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系；也可以转化为线线平行，利用向量共线来证明．

1．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(

) A．(1,2,3)

C．(2,1,3)

D．(3,2,1) →【解析】

AB＝(2,4,6)＝2(1,2,3)．

【答案】

A 2．下列各组向量中不平行的是(

) A．a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4) B．c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0) C．e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0) B．(1,3,2)

D．g＝(－2,3,5)，h＝(16,24,40) 【解析】

∵b＝(－2，－4,4)＝－2(1,2，－2)＝－2a，∴a∥b，同理：c∥d，e∥f. 【答案】

D 3．设平面α内两向量a＝(1,2,1)，b＝(－1,1,2)，则下列向量中是平面α的法向量的是(

) A．(－1，－2,5)

B．(－1,1，－1) C．(1,1,1)

D．(1，－1，－1) 【解析】

平面α的法向量应当与a、b都垂直，可以检验知B选项适合．

【答案】

B 4．根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系：

(1)直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)；

(2)平面α，β的法向量分别是u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9，0)；

(3)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(1，－4，－3)，u＝(2,0,3)．

【解】

(1)∵a·b＝1×8＋(－3)×2＋(－1)×2＝0，∴l1⊥l2. (2)∵v＝(－3，－9,0)＝－3(1,3,0)＝－3μ，∴α∥β. (3)∵a、u不共线，∴l不与α平行，也不在α内．

又∵a·u＝－7≠0，∴l与α不垂直．

故l与α斜交.

一、选择题

1．(2013·吉林高二检测)l1的方向向量为v1＝(1,2,3)，l2的方向向量v2＝(λ，4,6)，若l1∥l2，则λ＝(

) A．1

B．2

C．3

D．4 12【解析】

∵l1∥l2，∴v1∥v2，则＝，∴λ＝2. λ4【答案】

B →→→2．(2013·青岛高二检测)若AB＝λCD＋μCE，则直线AB与平面CDE的位置关系是(

) A．相交

B．平行

C．在平面内

D．平行或在平面内

→→→→→→【解析】

∵AB＝λCD＋μCE，∴AB、CD、CE共面，则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内．

【答案】

D 3．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(

) 3A．(1，－1,1)

B．(1,3，) 233C．(1，－3，)

D．(－1,3，－) 221→【解析】

对于B，AP＝(－1,4，－)，

21→则n·AP＝(3,1,2)·(－1,4，－)＝0，

23→∴n⊥AP，则点P(1,3，)在平面α内．

2【答案】

B 4．已知A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的一个法向量的单位向量是(

) A．(1,1,1) B．(333，，) 333111C．(，，) 333D．(333，，－) 333→→→【解析】

设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，AB＝(0，－1,1)，BC＝(－1,1,0)，AC→AB·n＝－y＋z＝0→＝(－1,0,1)，则BC·n＝－x＋y＝0→AC·n＝－x＋z＝0

∴x＝y＝z，

又∵单位向量的模为1，故只有B正确．

【答案】

B

图3－2－7 5．如图3－2－7，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则(

) ①A1M∥D1P；

②A1M∥B1Q；

③A1M∥平面DCC1D1；

④A1M∥平面D1PQB1. 以上正确说法的个数为(

) A．1

B．2

C．3

D．4 →→→→1→→→→→1→→→【解析】

A1M＝A1A＋AM＝A1A＋AB，D1P＝D1D＋DP＝A1A＋AB，∴A1M∥D1P，22所以A1M∥D1P，由线面平行的判定定理可知，A1M∥面DCC1D1，A1M∥面D1PQB1.①③④正确．

【答案】

C 二、填空题

16．(2013·泰安高二检测)已知直线l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(1，，22)，且l∥α，则m＝________. 【解析】

∵l∥α，∴l的方向向量与α的法向量垂直，

11∴(2，m,1)·(1，，2)＝2＋m＋2＝0，∴m＝－8. 22【答案】

－8 7．已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，点P(x，－1,3)在平面ABC内，则x＝________. →→→【解析】

AB＝(－2,2，－2)，AC＝(－1,6，－8)，AP＝(x－4，－2,0)，由题意知A、B、→→→C、P共点共面，∴AP＝λAB＋μAC＝(－2λ，2λ，－2λ)＋(－μ，6μ，－8μ)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)．

2λ＋6μ＝－2λ＝－4∴∴而x－4＝－2λ－μ，∴x＝11. －2λ－8μ＝0，μ＝1，

【答案】

11 8．下列命题中，正确的是________．(填序号) ①若n1，n2分别是平面α，β的一个法向量，则n1∥n2⇔α∥β；

②若n1，n2分别是平面α，β的一个法向量，则α⊥β

⇔n1·n2＝0；

③若n是平面α的一个法向量，a与平面α共面，则n·a＝0；

④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．

【解析】

②③④一定正确，①中两平面有可能重合．

【答案】

②③④

三、解答题

图3－2－8 →9．已知O、A、B、C、D、E、F、G、H为空间的9个点(如图3－2－8所示)，并且OE→→→→→→→→→→→＝kOA，OF＝kOB，OH＝kOD，AC＝AD＋mAB，EG＝EH＋mEF. 求证：(1)A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面；

→→(2)AC∥EG；

→→(3)OG＝kOC. →→→→→→【解】

(1)由AC＝AD＋mAB，EG＝EH＋mEF，知A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面．

→→→→→→→(2)∵EG＝EH＋mEF＝OH－OE＋m(OF－OE) →→→→→→＝k(OD－OA)＋km(OB－OA)＝kAD＋kmAB

→→→＝k(AD＋mAB)＝kAC，

→→∴AC∥EG.

→→→→→(3)由(2)知OG＝EG－EO＝kAC－kAO

→→→＝k(AC－AO)＝kOC. →→∴OG＝kOC. →10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，求证：AE是平面A1D1F的法向量．

【证明】

设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，E(1,1，111→)，D1(0,0,1)，F(0，，0)，A1(1,0,1)，AE＝(0,1，)，

2221→→D1F＝(0，，－1)，A1D1＝(－1,0,0)．

211→→∵AE·D1F＝(0,1，)·(0，，－1) 2211＝－＝0，

22→→又AE·A1D1＝0，

→→→→∴AE⊥D1F，AE⊥A1D1. 又A1D1∩D1F＝D1，

∴AE⊥平面A1D1F，

→∴AE是平面A1D1F的法向量．

图3－2－9 π11．如图3－2－9，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝，4OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点，证明：直线MN∥平面OCD.

【证明】

作AP⊥CD于点P.如题图分别以AB、AP、AO所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

A(0,0,0)，B(1,0,0)，P(0，22→0).MN＝(1－，，－1)，

44222→→OP＝(0，，－2)，OD＝(－，，－2)．

222设平面OCD的法向量为n＝(x，y，z)，

→→则n·OP＝0，n·OD＝0. 22222，0)，D(－，，0)，O(0,0,2)，M(0,0,1)，N(1－，，2224422y－2z＝0即22－x＋22y－2z＝0得n＝(0,4，2)．

，取z＝2，则y＝4，x＝0，

22→∵MN·n＝(1－，，－1)·(0,42)＝0，

44∴MN∥平面OCD.

(教师用书独具)

1如图所示，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝AP＝2，D是AP的2中点，E、F、G分别为PC、PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD.试用向量方法证明AP∥平面EFG.

【自主解答】

如图，以D为原点，

→→→以DA、DC、DP为方向向量建立空间直角坐标系Dxyz，则有关点及向量的坐标为：

P(0,0,2)，C(0,2,0)，G(1,2,0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，A(2,0,0)．

→→→AP＝(－2,0,2)，EF＝(0，－1,0)，EG＝(1,1，－1)．

设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)．

→EF＝0n·－y＝0x＝z，∴⇒⇒

→x＋y－z＝0y＝0.EG＝0n·

取n＝(1,0,1)．

→∵n·AP＝1×(－2)＋0×0＋1×2＝0，

→∴n⊥AP.又AP⊄平面EFG，∴AP∥平面EFG.

如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面成的角为45°，底面ABCD1为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1.问：在棱PD上是否存在一点E，使2得CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置，若不存在，请说明理由．

【解】

分别以AB、AD、AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图．

则P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0), 设E(0，y，z)，则

→PE＝(0，y，z－1)，

→PD＝(0,2，－1)，

→→∵PE∥PD，

∴y(－1)－2(z－1)＝0，①

→∵AD＝(0,2,0)是平面PAB的法向量，

→CE＝(－1，y－1，z)，

→→∴由CE∥平面PAB, 可得CE⊥AD. ∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝2(y－1)＝0. 1∴y＝1，代入①式得z＝. 2∴E是PD的中点，

即存在点E为PD中点时，CE∥平面PAB.