2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示精品学案

§2.3.2平面向量的正交分解和坐标表示

【教学目标】

1、使学生理解平面向量坐标的概念，了解直角坐标系中平面向量代数化的过程；掌握平面向量的坐标表示；

2、通过体验直角坐标系中平面向量的坐标表示的实现过程，激发学生的探索精神，增强学生知识的应用意识；

3、在数学中体会知识的形成过程，感受数与形的和谐统一。

重点：平面向量的坐标表示；

难点：对平面向量的坐标表示生成过程的理解。

知识点：正交分解下向量的坐标表示的理解. 能力点：转化思想的理解与应用. 教育点：通过正交分解下向量的坐标表示.，给学生渗透转化思想的应用.几何问题代数化的理解与应用. 考试点：

向量的运算代数化，将数与形紧密地结合起来，这样几何问题就转化为学生熟知的数量运算.

拓展点：转化思想的应用理解．

【教

具】

多媒体课件

【教学过程设计】

一、复习回顾

问题情境

【回顾】平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2

【情境】光滑斜面上的木块所受重力可以分解为平行斜面使木块下滑的力F1和木块产生的垂直于斜面的压力F2（如图）．

一个向量也可以分解为两个互相垂直的向量的线性表达，这种情形叫向量的正交分解．以后可以看到，在正交分解下，许多有关向量问题将变得较为简单．

【问题】

在平面直角坐标系中，每一个点可用一对有序实数（即它的坐标）表示，那么对平面直角坐标内的每一个向量，可否用实数对来表示？又如何表示呢？

二、理解概念

加深认识

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，j作为基底，使得

1

axiyj…………○我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作

2

a(x,y)…………○2式叫做向量的其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○坐标表示。

结合定义，指导学生求出向量i、j、0的坐标。显然，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．（多媒体演示）

如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OAa，则点A的位置由a唯一确定。

设OAxiyj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标。 因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示。讨论结果：①平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)．②是一一对应的．

在坐标系中观察，向量i,j及OA的坐标与其终点坐标有何关系？这几个向

量在坐标系中的位置有什么共同点？什么样的向量其坐标就是终点坐标？通过这样的问题引导让学生得到结论：起点在原点的向量其坐标就是其终点的坐标。

类比点的坐标，提出：向量平移后具体位置发生了改变，其坐标是否会发生变化？通过动画演示，指出：平移前后的向量是相等向量，通过平移，可以使它们的起点平移到坐标原点处，则其终点必然重合，此时，它们的坐标都对应着这个终点的坐标，由此得到：相等向量的坐标相同，坐标相同的向量是相等向量。

四、应用举例，加深理解

例1、图6，分别用基底i、j表示向量a、b、c、d，并求出它们的坐标．

图6 活动：本例要求用基底i、j表示a、b、c、d，其关键是把a、b、c、d表示为基底i、j的线性组合．一种方法是把a正交分解，看a在x轴、y轴上的分向量的大小．把向量a用i、j表示出来，进而得到向量a的坐标．另一种方法是把向量a移到坐标原点，则向量a终点的坐标就是向量a的坐标．同样的方法，可以得到向量b、c、d的坐标．另外，本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系：a与b关于y轴对称，a与c关于坐标原点中心对称，a与d关于x轴对称等．由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标．

→→解：由图可知，a＝AA1＋AA2＝xi＋yj，∴a＝(2,3)．

同理，b＝－2i＋3j＝(－2,3)；c＝－2i－3j＝(－2，－3)；d＝2i－3j＝(2，－3)．

点评：本例还可以得到启示，要充分运用图形之间的几何关系，求向量的坐标. →→→变式训练2.i，j是两个不共线的向量，已知AB＝3i＋2j，CB＝i＋λj，CD＝－2i＋j，若A、B、D三点共线，试求实数λ的值．

→→→解：∵BD＝CD－CB＝(－2i＋j)－(i＋λj)＝－3i＋(1－λ)j，

又∵A、B、D三点共线，

→→→→∴向量AB与BD共线．因此存在实数υ，使得AB＝υBD，

即3i＋2j＝υ[－3i＋(1－λ)j]＝－3υi＋υ(1－λ)j.

∵i与j是两个不共线的向量，

33,1,故∴∴当A、B、D三点共线时，λ＝3. (1)2,3.

五、课堂练习 及时巩固

1、已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和AB与AD的坐标．

2、已知O是坐标原点，点A在第一象限，|OA|＝43，∠xOA＝60°，

(1)求向量OA的坐标；(2)若B(3，－1)，求BA的坐标．

六、课堂小结

知识提炼（先请学生归纳，再由教师完善）

1、平面向量的正交分解，平面向量的坐标表示的概念；

2、几个重要结论：

(1)

相等的向量坐标相同；坐标相同的向量是相等向量；

(2)

起点在原点的向量的坐标等于其终点的坐标；

3、教师与学生一起总结本节学习的数学方法，如待定系数法、定义法、归纳与类比、数形结合、几何作图．

七、作业布置

课外延伸

1.课时导与练

【课后反思】

1.这篇案例设计完整，思路自然。由斜边上物体所受重力的分解，联想到向

量应有常见的正交分解；由点的坐标表示，结合平面向量基本定理联想到向量也有坐标形式。这为锻炼学生的类比联想能力，增强数学地提出问题、解决问题的能力提供了平台。向量用坐标表示即把向量代数化，增强了学生数形结合的意识，也增强了一一对应的意识，为提高学生的数学素质打下了良好的基础。在本节课教学中，为了突破本节课的重点和难点——对平面向量的坐标表示生成过程的理解。通过设置铺垫，蓄势成渠，注意过程分析，通过学生之间的总结出最本质的内容，从而引起每个学生对重难点的理解，达到了较好的教学效果。

2．教师应该多提出问题，多让学生自己动手作图来发现规律，通过解题来总结方法，引导学生理解“化归”思想对解题的帮助，也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题．

3．如果条件允许，借助多媒体进行教学会有意想不到的效果．整节课的教学主线应以学生练习为主，教师给予引导和提示．充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程，这也是学习数学，领悟思想方法的最好载体．学生这种经历的实践活动越多，解决实际问题的方法就越恰当而简捷．