2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示名师教学设计1

平面向量的坐标表示及运算

一、教学目标：

理解平面向量的坐标的概念；掌握平面向量的坐标运算；

二．重点难点 重点：平面向量的坐标运算

难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.

三、教材与学情分析

1.前面学***面向量的坐标表示,实际是平面向量的代数表示.在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算. 2.本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律,推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算.推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律. 四、教学方法

问题引导，主动探究，启发式教学．

五、教学过程

（一）导入新课

复习导入，复***面向量基本定理，并提出问题：平面上的点可以由坐标表示，那么平面向量可否用坐标表示呢？

（二）新知探究、提出问题

提出两个思考问题：

1、什么叫正交分解？

2、如何用平面坐标表示向量？

并引导学生带着问题阅读教材P94-P96。

思考1：如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2，这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？

引出正交分解的概念：把一个向量分解为两个互相垂直

的向量，叫做把向量正交分解.

思考2：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得

a＝xi＋yj.我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量a的坐标表示.那么x、y的几何意义如何？

y G F1

F2

y a

j

O x x

思考3：相等向量的坐标必然相等，作向量OAa，则OA

(x，y)，此时点A是坐标是什么？

思考4：①我们研究了平面向量的坐标表示,现在已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出

a+b,a-b,λa的坐标表示吗?

②如图1,已知A(x1,y1),B(x2,y2),怎样表示AB的坐标？你能在图中标出坐标为(x2-x1,y2-y1)的P点吗?标出点P后,你能总结出什么结论?

活动:教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算,教师可以让学生到黑板去板书步骤.可得:

图1 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j,即a+b=(x1+x2,y1+y2). 同理a-b=(x1-x2,y1-y2).又λa=λ(x1i+y1j)=λx1i+λy1j.∴λa=(λx1,λy1).

教师和学生一起总结,把上述结论用文字叙述分别为:

两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差);实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.教师再引导学生找出点与向量的关系:将向量AB平移,使得点A与坐标原点O重合,则平移后的B点位置就是P点.向量AB的坐标与以原点为始点,点P为终点的向量坐标是相同的,这样就

建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系. 讨论结果:①能.

②AB=OB-OA=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).

（三）应用示例

例1 已知a=(2,1),b=(-3,4),求a+b,a-b,3a+4b的坐标.

活动:本例是向量代数运算的简单应用,让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐标运算,再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出的结论.若已知表示向量的有向线段的始点和终点坐标,那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标,从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化.可由学生自己完成. 解:a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5);a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3); 3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19). 点评:本例是平面向量坐标运算的常规题,目的是熟悉平面向量的坐标运算公式.

例2 如图2,已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),试求顶点D的坐标. 活动:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.这里给出了两种解法:解法一利用“两个向量相等,则它们的坐标相等”,解题过程中应用了方程思想;解法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量OD的坐标,进而得到点D的坐标.解题过程中,关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系),数形结合

地思考,将顶点D的坐标表示为已知点的坐标. 解:方法一:如图2,设顶点D的坐标为(x,y). ∵AB=(-1-(-2),3-1)=(1,2),DC=(3-x,4-y).由AB=DC,得(1,2)=(3-x,4-y). 13x,x2,∴∴

∴顶点D的坐标为(2,2). 24x.y2.方法二:如图2,由向量加法的平行四边形法则,可知

BDBAADBABC=(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1), 而OD=OB+BD=(-1,3)+(3,-1)=(2,2),∴顶点D的坐标为(2,2). 点评:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.

六、课堂小结 1.向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系，它使得向量具有代数意义.将向量的起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标. 2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,定义法、归纳、整理、概括的思想,强调在今后的学习中,要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神,为将来的发展打下良好基础.

七、课后作业