阅读与思考 向量的运算（运算律）与图形性质优秀教学实录

1 《平面向量基本定理》教学设计

汾阳市第五高级中学

主讲人：刘美健

一、教学内容

本节内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学4·必修（人教A版）》第二章2.3.1平面向量基本定理。学生在学***面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算（向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理）之后的又一重点内容，它是引入向量坐标表示，将向量的几何运算转化为代数运算的基础，使向量的工具性得到初步的体现，具有承前启后的作用。

本节内容用1课时完成。

二、教学方法与教学手段

本节课为新授课。根据班级的实际情况，在教学中积极践行新课程理念，倡导合作学习；注重学生动手操作能力与自主探究能力；在教学活动中始终以教师为主线、学生为主体，让学生经历动手操作、合作交流、观察发现、归纳总结等一系列的学习活动。教学方法是综合法，教学手段采用学案式。

三、三维目标

1、知识与技能

（1）了解平面向量基本定理及其意义，会用基底表示某一向量；掌握两个向量夹角的定义及二向量垂直的概念，会初步求解简单的二向量夹角问题，会根据图形判断两个向量是否垂直。

（2）培养学生作图、判断、求解的基本能力。

2、过程与方法

（1）经历平面向量基本定理的探究过程，让学生体会由特殊到一般的思维方法；

（2）通过本节学习，让学生体会用基底表示平面内一个向量的方法，体会求解一些比较简单向量夹角的方法。

3、情感态度与价值观

通过本节的学习，培养学生的动手操作能力、观察判断能力，体会数形结合思想。

思、教学重点、难点

1、教学重点：

平面向量基本定理及其意义；两个向量夹角的简单计算；

2、教学难点：

平面向量基本定理的探究；向量夹角的判断。

五、教具使用

三角板、

六、教学过程

1、复习引入：

1）、向量的加法和减法有哪些几何运算法则？

2）、怎样理解向量的数乘运算？

（1）|λa|=|λ||a |；

（2）λ>0时，λa与

a方向相同；

2

λ<0时，λa 与

a方向相反；

λ=0时，λa=0.

3）、平面向量共线定理是什么？

若向量b和非零向量a共线，则存在唯一一个实数λ，使b=a

2、思维引领

问题1、阅读课本P93的思考，请用图形表示。

问题2、已知

e1 ，e2 在图中用e1，e2，表示下列向量：

学生活动：小组相互讨论、交流，画图并展示。

设计意图：向量是沟通代数与几何的桥梁，平面向量基本定理就为我们展示了向量在几何中的魅力，体现数形结合的思想，突出数学的图形美。

通过学生的动手操作、观察归纳、抽象概括、数形结合等思维活动，使他们感知任一向量都可以像力的分解一样分解到两个确定的方向上。从而引出平面向量基本定理。为以后学习向量的坐标奠定基础，实现几何代数化迈出第一步。

二、思维探究

1、由问题2可以得到平面向量基本定理：

若e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=1e12e2

其中e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

思考1：向量作为基底必须具备什么条件？

思考2：一个平面向量的基底唯一吗？

思考3：不同基底对应向量a的表示式是否相同？

思考4：当基底确定后，向量a被分解的表示是否唯一？

问题3：什么是向量的夹角？范围是_____________特点是_______________。

3

特别地：θ= 00时, a,b

是什么关系？

θ=1800时, a,b是什么关系？

θ=900时, a,b是什么关系？

学生活动：小组之间相互讨论，经过讨论后，派代表给出评价，让学生们自己归纳出理解平面向量定理时应注意的问题。（学生归纳总结的基础上加以补充）

设计意图：思考1到思考4的设计是对基底概念的强化理解，问题的层层深入引导学生不断思考，起到递进式的效果，从而使学生理解基底应该是不共线的两向量，一个平面向量的基底是不唯一的，

不同基底对应向量a的表示式是不同的，只有当基底确定后，向量a被分解的表示才是唯一的，也为后续的坐标表示是唯一的奠定基础。

问题3：什么是向量的夹角？范围是_____________特点是_______________。

学生活动：学生观察归纳得出结论。

设计意图：向量的夹角课本只是给出概念，所以有必要强调要放到同一起点，培养学生注意观察、多思考、善总结的能力。 三、牛刀小试

1、若e1,e2是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的（

）

A．e12e2和e12e2 B．e1与3e2

C．2e13e2和4e16e2

D．e1e2与e1

2、求下列向量的夹角。

60

0600

1200

设计意图：对教学目标进行达成度检测，以便于纠错与补充。

四、思维拓展

1、

如图，在平行四边形ABCD中，AD=a，AB=b，E、M分别是AD、DC的中点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为基底分别表示向量AM和EF。

B F C M A E D

4

2、

如图，在平行四边形ABCD中，AC=a，BD =b，试以a，b为基底分别表示向量AB和BC。

3、设e1,e2是平面

的一组基底，如果AB3e12e2,BC4e1e2,CD=8e19e2，求证：A、B、D 三点共线．

设计意图：巩固知识，升华方法。

四、小结：

1、定理内容（强调唯一性）

2、基底的特点；

3、向量夹角的范围和特点。

五、作业：

1、解决课本P118的A组2（5）、（6）

2、解决课本P118的A组3,4

六、板书设计：

平面向量基本定理

定理：

若e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，

有且只有一对实数λ1，λ2，使a=1e12e2

1）基底：

2）向量的夹角：

七、教学反思：

A B D C