2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示优质课一等奖

平面向量的正交分解及其坐标表示

【教学目标】

一、知识与技能

掌握平面向量的正交分解及其坐标的意义与运算

二、过程与方法

从数的层面通过坐标来对向量进行考察，体现数学的简捷

三、情感、态度与价值观

数形结合让学生在学习本块知识的同时感受到数学的美，增强数学学习的兴趣

【教学重点难点】坐标的运算、坐标的意义

一、复习

平面向量的基本定理：a1e12e2；

二、创设情景：

问题1

平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数对（它的坐标）惟一表示，对于直角坐标平面内的每一个向量，是否都可以用一对有序实数对（它的坐标）表示惟一表示？

问题2 若向量以原点为起点，则如何用坐标刻画向量？若向量不以原点为起点呢？

三、讲解新课：

1．向量的坐标表示的定义：

分别选取与x轴、y轴方向相同的单位向量i，j作为基底，对于任一向量a，（xy，实数对(x,y)叫向量a的坐标，记作a(x,y)．

,R）axiyj，其中x叫向量a在x轴上的坐标，y叫向量a在y轴上的坐标。

a

y

A(x,y)

说明：（1）对于a，有且仅有一对实数(x,y)与之对应；j

x

O

i

（2）相等的向量的坐标也相同；

（3）i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)；

（4）从原点引出的向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标。

问题3

已知ax1，y1，bx2，y2，你能得出ab，ab，a的坐标吗？

2.由向量运算的结合律、分配律及数乘的运算律可得：

(1)两个向量的和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）

(2)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标，

(3)一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标。

3．向量的坐标计算公式：

已知向量AB，且点A(x1,y1)，B(x2,y2)，求AB的坐标．

ABOBOA(x2,y2)(x1,y1)(x2x1,y2y1)．

归纳：（1）一个向量的坐标等于表示它的有向线段的终点坐标减去始点坐标；

（2）两个向量相等的等价条件是这二个向量的坐标相等。

四、例题分析：

例1、

如图，用基底i，j分别表示向量a、b、c、d，

并求出它们的坐标。

y

A2

例2、

已知A（-1，3），B（1，-3），C（4，1），D（3，4），求向量OA，OB，AO，CD的坐标。

O

b

A

a

A1

x

d

c

问题4：四边形OCDA是平行四边形吗？

例3、已知a(2,1)，b(3,4)，求ab，ab，3a4b的坐标．

例4、已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C、D的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标？

例5、（1）已知a的方向与为 ． （2）已知a(1,2)，b(3,1)，c(11,7)，且cxayb，求x，y．

x轴的正向所成的角为120，且|a|6，则a的坐标

五、课时小结：

1．正确理解平面向量的坐标意义；

2．掌握平面向量的坐标运算；

3．能用平面向量的坐标及其运算解决一些实际问题

六、反馈练习

1.若向量ax3,x23x4与AB相等，A1，2，B3，2，则x的值为___2.已知A1，2，B2，3，C2，0，Dx,y,且AC2BD,则xy___3.与向量a3,4平行的单位向量为_____4.已知A2,4,B3,1,C3,4且CM3CA，CN2CB，试求点N，M和MN的坐标5.已知点A1，2，B2，1，C3，2和D2，3，请以AB，AC为一组基底来表示ADBDCD6.已知O是坐标原点，A3，2，B1，4，若点C满足OCOAOB，其中，R且1，求点C的轨迹方程7.已知点O0，0，A1，2，B4，5及OPOAtAB,试问：（1）当t为何值时，点P在x轴上？在Y轴上？在第二象限？（2）四边形OABP能否为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由8.如图，已知点A（4，0），B（4，4），C（2，6），求AC和BO的交点P的坐标。

