探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质教学设计案例

1.4.1正弦函数、余弦函数的图象和性质

一、教学目标：

1．理解并掌握作正弦函数和余弦函数图象的方法．

2．理解并熟练掌握用五点法作正弦函数和余弦函数简图的方法．

二、教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象．

三、教学难点：用单位圆中的余弦线作余弦函数的图象．

四、教学过程：

（一）、复习引入：

1、复习三角函数的定义

2、作三角函数图象的方法一般有两种：(1)描点法；(2)几何法(利用三角函数线)．但描点法的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值，不易描出对应点的精确位置，因此作出的图象不够准确．几何法则比较准确．

（二）、讲解新课：

1．作正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象:

第一步：列表首先在单位圆中画出正弦线和余弦线．在直角坐标系的x轴上任取一点O1，以O1为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成几等份，过圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于角0,，，,…，2π的正弦线632及余弦线（这等价于描点法中的列表）．

第二步：描点．我们把x轴上从0到2π这一段分成几等份，把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点．

第三步：连线用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象．

2．现在来作余弦函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象: 第一步:列表

表就是单位圆中的余弦线．

 第二步:描点．把坐标轴向下平移，过O1作与x轴的正半轴成角的直线，

4

又过余弦线O1A的终点A作x轴的垂线，它与前面所作的直线交于A′，那么O1A与AA′长度相等且方向同时为正，我们就把余弦线O1A“竖立”起来成为AA′，用同样的方法，将其它的余弦线也都“竖立”起来．再将它们平移，使起点与x轴上相应的点x重合，则终点就是余弦函数图象上的点．

第三步：连线．用光滑曲线把这些竖立起来的线段的终点连结起来，就得到余弦函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象．

以上我们作出了y=sinx，x∈[0，2π]和y=cosx，x∈[0，2π]的图象，现在把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R和y=cosx，x∈R的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线．

1-6-5-4-3-2--1y023456xfx = sinx1-6-5-4-3-2--1y023456x

3．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)

(,1)

(,0)

(23,-1)

(2,0) 2fx = cosx只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握．

探究：

（1）y=cosx,

xR与函数y=sin(x+（2）将y=sinx的图象向左平移)

xR的图象相同

2即得y=cosx的图象

2（3）也同样可用五点法作图：y=cosx

x[0,2]的五个点关键是

(0,1)

(3,0)

(,-1)

(,0)

(2,1) 22（三）、讲解范例：

例1

作下列函数的简图

(1)y=sinx，x∈[0，2π]，

(2)y=cosx，x∈[0，2π]，

(3)y=1+sinx，x∈[0，2π]，

(4)y=-cosx，x∈[0，2π]，

解：(1)列表

3

2

X 0 22sinx (2)列表

X cosx

0 1 0 1 0 -1 3

20 

20 

-1 2

0 1

(3)列表

X sinx 1+sinx (4)列表

X cosx 0 1 0 0 1 

21 2 

0 1 3

22

-1 0 3

20 1 

20 

-1 2

0 1

-1 0 1 0 -1 -cosx

例2

利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合：

11(1)sinx(2)cosx

2

2解：(1)作出正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象：

由图形可以得到，满足条件的x的集合为：

52k,2k,kZ

66

(2)作出余弦函数y=cos，x∈[0，2π]的图象：

由图形可以得到，满足条件的x的集合为：

52k,2k,kZ

33

（四）、课堂练习

（五）、课堂小结

本节课我们学习了用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数，余弦函数的图象，用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，并用正弦函数和余弦函数的图象解最简单的三角不等式．

（六）、课后作业：课本47页B组1（1）

五、课后反思