构建知识体系主要内容及教案内容

《勾股定理》构建知识体系 教学设计

教

学

目

标

知识技能

1、会运用勾股定理解决简单问题；

2、会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。

3、会运用勾股定理及逆定理解决综合问题及实际问题

数形结合，方程思想，转化化归，由特殊到一般，数学建模。

已知两边求第三边通常利用勾股定理直接计算或者列方程求解，立体图形中的勾股定理问题通常转化为平面图形来解决。

在反思和交流的过程中，体验学习带来的无尽的乐趣

数学思考

解决问题

情感态度

重点

1、回顾并思考勾股定理及其逆定理；

2、总结直角三角形边、角之间分别存在的关系．

3、体会勾股定理及其逆定理在生活中的广泛应用．

难点

勾股定理及其逆定理的应用．

活动流程图

教学流程安排

活动内容和目的

知识梳理

通过5个活动会运用勾股定理及逆定理解决综合问题及实际问题，数形结合，分类讨论，方程思想，转化化归，由特殊到一般，数学建模。

了解不同参差学生对知识和方法的了解

活动一

回顾与思考

活动二

勾股定理及其逆定理的应用

1、利用勾股定理已知两边求第三边

2、利用勾股逆定理判断一个三角形是否为直角三角形

3、利用勾股定理列方程求线段长

4、构造直角三角形利用勾股定理解决问题

活动三小结与反思

活动四

课堂小测

一、引入新课

勾股定理，我们把它称为世界第一定理．它的重要性，通过这一章的学习已深有体验．首先，勾股定理是数形结合的最典型的代表；其次，了解勾股定理历史的同学知道，正是由于勾股定理的发现，导致无理数的发现，引发了数学的第一次危机，这一点，我们已在《实数》一章里讲到．第三，勾股定理中的公式是第一个不定方程，有许许多多的数满足这个方程，也是有完整解答的最早的不定方程，由此由它引导出各式各样的不定方程，最为著名的就是费马大定理，直到1995年，数学家怀尔斯才将它证明．

勾股定理是我们数学史的奇迹，我们已经比较完整地研究了这个先人给我们留下来的宝1

贵的财富，这节课，我们将通过回顾与思考中的几个问题更进一步了解勾股定理的应用．

二、回顾与思考

1、直角三角形的性质

已知如图，在Rt△ABC中

，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．

问题1：直角三角形的周长 问题2：直角三角形的面积 问题3：直角三角形的角的关系 问题4：直角三角形的边与角的关系 问题5：直角三角形的边的关系

2、直角三角形的判定

已知如图，在△ABC中

， a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．

问题1：从角来判断：

问题2：从边去判断：

活动二

勾股定理及其逆定理的应用

1、利用勾股定理已知两边求第三边

(1)在△ABC中，∠C=90°若a7，c=4，则b= ；

(2)在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。

(3) 在Rt△ABC，∠C=90°，c=25，a：b=3：4，则a= ，b= 。

(4) 在△ABC中，若∠A=30°，BC=2，则AB= ，AC= 。

（5）直角三角形直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为__________ 2、利用勾股逆定理判断一个三角形是否为直角三角形

（1）下列各组数中，以它们为边的三角形不是直角三角形的是( ) A．1.5，2，3 B. 8，15，17 C．6，8，10 D. 3，4，5 （2）.若△ABC的三边满足(b+c)(b-c)-a2=0则下列结论正确的是( ) A.△ABC是直角三角形,且∠C为直角 B. △ABC是直角三角形,且∠A为直角

C. △ABC是直角三角形,且∠B为直角 D. △ABC不是直角三角形. （3）如图，AD⊥BC，垂足为D，如果CD=1，AD=2，BD=4，试判断ΔABC的形状，并说明理由。

3、利用勾股定理列方程求线段长

（1）已知，如图、∠ACB=90°，AD=BD,AB=5cm,AC=3cm 求BD的长

2

Ab Ccc a BBaAbCCDAABBDC

（2）如下图，折叠长方形(四个角都是直角，对边相等)的一边AD，A点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，AD＝10cm，求EC的长．

过程：“折叠”问题是数学中常见问题之一．由折叠的过程可知．△AFE≌△ADE、AD＝AF，DC＝EF，在Rt△ABF中，AB＝8cm，AF＝10cm，BFDECBF2＝AF2－AB2＝102－82＝62，BF＝6，FC＝BC－BF＝10－6＝4cm，如果设CE＝xcm，DE＝(8－x)cm，所以EF＝(8－x)cm．

在Rt△CEF中，EF2＝CF2＋CE2，用这个关系就可建立关于x的方程．解出x便求得CE．

结果：解：根据题意，得

(8－x)2＝42＋x2

所以x＝3，即CE的长为3cm．

4、构造直角三角形利用勾股定理解决问题

（1）在△ABC中，∠B＝450，AB＝2，∠BAC＝1050，求△ABC的面积。

（2）已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求：四边形ABCD的面积。

活动三

小结与反思

活动四

课堂检测

1、在Rt△ABC中， a，b，c分别是三条边，∠B=90°，已知a=6，b=10，则边长c= 2、下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（

）．

A．6，7，8

B．5，6，7

C．4，5，6

D．2，3，5

3、已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是 ．

4、直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为（

）

3060A．6cm

B．8．5cm C． cm D．

13135、已知：如图，△ABC中，AC=2，∠B=45°，∠A=60°，求AB的长和△ABC的面积.

3

ABCADBC

课后作业

A层

1、在△ABC中，∠C=90°

(1)若a=5，b=12，则c= ；(2)若a7，c=4，则b= ；

(3)若a∶b=3∶4，c=15，则a= ，b= ，SRt△ABC=________；

(4)若∠A=30°，BC=2，则AB= ，AC= 。

2、一个三角形的三个内角之比为1:2:3，则此三角形是____三角形；若此三角形的三边为a、b、c，则此三角形的三边的关系是__________ 113、

△ABC中，若ABC，AC=33，则∠A= °，AB= ，S△ABC = 234、如图，由Rt△ABC的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为8cm，Ａ

M Ｎ

则正方形M与正方形N的面积之和为

cm2．

B层

5、直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。

6、如图，，AB=20，BC=15，CD=7，DA=24，∠B=90°，求证：∠DAB+∠DCB=180°

C层

7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=18cm，BC=24cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上,且与AE重合,你能求出BD的长吗？

4

AB C ８cm

DCB

8、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如下图，据气象观测，距沿海城市A的正南方向260千米B处有一台风中心，沿BC的方向以15千米／时的速度向D移动，已知AD是城市A距台风中心的距离最短，且AD＝100千米，求台风中心经过多长时间从B点移到D点?

D层

9、已知：如图△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA⊥CA于A．

求：BD的长．

A

BCD5