2.1.2 系统抽样教学实录与评析

2.1.2

系统抽样

学习目标：

1.

正确理解系统抽样的概念

2.

掌握系统抽样的一般步骤

3.

正确理解系统抽样与简单随机抽样的关系

教学过程

【情景导读】

科学家认为，牛奶是新生命最好的营养源，它所具有的原生营养性是其他人造营养品都无法比拟的，因此，牛奶是许多人日常生活中必不可少的营养佳品，但牛奶的生产有严格的质量管理体系，在匀速传递的生产线上，检验人员每隔相同时间就抽样检查一次，你知道这种抽样方法在统计学上叫什么抽样吗？

基

础

热

身

1.进行系统抽样时，先将总体中的个体编号或利用个体自身所带的编号，下列号码中不可作为编号的是(

) A．准考证号

B．门牌号

C．名次序号

D．随机编的学号

解析：在系统抽样中，应采用随机方式将总体中的个体编号．

答案：C 2．老师在全班50名学生中，依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学生进行作业检查，这种抽样方法是(

) A．随机数表法

B．抽签法

C．系统抽样

D．以上都是

解析：由于抽样间隔相等，符合系统抽样．

答案：C 3．某影院有50排座位，每排有60个座号，一次报告会坐满了听众，会后留下座号为18的所有50位听众进行座谈，这是运用了(

) A．抽签法

B．随机数表法

C．系统抽样

D．放回抽样

解析：符合系统抽样的特点“等距抽样”．

答案：C 4．在一次有奖明信片的100000个有机会中奖的号码(编号00000～99999)中，邮政部门按照随机抽取的方式确定后两位是23的作为中奖号码，这是运用了________的抽样方法．

解析：数字之间的间隔百位制．

答案：系统抽样

5．若总体中含有1645个个体，现在要采用系统抽样，从中抽取一个容量为35的样本，编号后应均分为________段，每段有________个个体．

1645解析：因为35＝47，故采用系统抽样法时，编号后分成35组，每组47个个体．

答案：35

47 6．某学校三年级共有36个班，每班50人，学号为1～50，有一次学校对学生进行问卷调查，了解学生对教学工作的意见，需选取36名学生，怎样的抽样方法较为合理？

解析：采用系统抽样较合理．设每班一组，共36组，编号为1～36组，先在第一组用简单随机抽样抽出一名学生，再将其他各组与此学生学号相同的学生全部抽出. 疑

难

精

析

1.系统抽样的概念

将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先制订的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这样的抽样叫做系统抽样．在抽样过程中，由于抽样的间隔相等，因此系统抽样也称作等距抽样．

2．系统抽样的步骤

假设从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可以按下列步骤进行系统抽样：

(1)先将总体的N个个体编号．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等；

N(2)确定分段间隔k，对编号进行分段．当n(n是样本容量)是整数时，取k＝Nn；

(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号m(m≤k)；

(4)按照一定的规则抽取样本，通常将m加上间隔k得到第2个个体编号(m＋k)，再加k得到第3个个体编号(m＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．

3．系统抽样的理解

①系统抽样的本质是“等距抽样”，要取多少个样本就将总体分成多少组，每组中取一个；②若总体个数不能被样本个数整除，则先从总体中剔除若干个个体达到整除状态，重新编号，并根据样本个数进行分组；③剔除个体及第一段抽样n都用简单随机抽样；④系统抽样是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是N；⑤系统抽样适用于总体容量较大，且分布均衡(即个体间无明显的差异)的情况.

注意：如果总体中个体数N正好被样本容量n整除，则每个个体被入样的nNNn(这里n表可能性是N，若N不能被n整除，需要剔除m个个体，m＝N－n·Nnn示不超过n的最大整数)，此时每个个体入样的可能性仍是N，而不是. N－m4．系统抽样与简单随机抽样的区别和联系

(1)区别：简单随机抽样是从总体中逐个抽取，适用于总体容量较少的情况，而系统抽样是将总体分成N部分，按事先确定的规则在各部分抽取个体，适用于总体容量较大的情况；

(2)联系：系统抽样在起始部分抽样时，采用简单随机抽样，因此，它与简单随机抽样有密切关系；两种抽样过程中每个个体被抽取的可能性相同．

提示：(1)系统抽样中按照一定的规则抽取，这里的规则通常是“起始号＋间隔”，但不一定每次都是按这一规则．

(2)在抽样时，如果总体的排列存在明显的周期性或者事先排好顺序的，那么利用系统抽样进行抽样时，将会产生明显的偏差．

(3)系统抽样适用于差异不明显且容量较大的总体.

考

向

探

究

考向1

系统抽样的基本概念

例1：下列抽样问题中最适合用系统抽样法的是(

) A．从全班48名学生中随机抽取8人参加一项活动

B．一个城市有210家百货商店，其中大型商店20家，中型商店40家，小型商店150家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本

C．从参加模拟考试的1200名高中生中随机抽取100人分析试题作答情况

D．从参加模拟考试的1200名高中生中随机抽取10人了解某些情况

解析：A总体容量较小，样本容量也较小，可采用抽签法；B总体中的个体有明显的层次，不适宜用系统抽样法；C总体容量较大，样本容量也较大，可用系统抽样法；D总体容量较大，样本容量较小，可用随机数表法．故选C. 答案：C 总结点评：总体容量较大，样本容量也较大时，适宜用系统抽样法抽样．本题就是从总体容量和样本容量两个方面加以衡量，从中选出最适合系统抽样的选项的．

【变式训练】

1．下列抽样中，最适合用系统抽样的是(

) A．某县四所中学共有高一学生2000名，且四所学校人数之比为3：2：8：2，从中抽取200人入样

B．从某厂生产的3000件产品中抽取10件入样

C．从某厂生产的3000件产品中抽取300件入样

D．从某厂生产的30件产品中抽取5件入样

解析：A总体有明显层次，不适宜用系统抽样法；B样本容量很小，适宜用随机数表法；D总体容量很小，适宜用抽签法．

答案：C 考向2

系统抽样方案的设计

例2：为了了解某地区今年高一学生期末考试数学科的成绩，从参加考试的15000名学生的数学成绩中抽取容量为150的样本．请用系统抽样写出抽取过程．

解析：(1)对全体学生的数学成绩进行编号：1,2,3，…，15000. (2)分段：由于样本容量与总体容量的比是1∶100，所以将总体平均分成150个部分，其中每一部分包含100个个体．

(3)在每一部分即1号到100号用简单随机抽样，抽取一个号码，比如是56. (4)以56作为起始数，然后顺次抽取156,256,356，…，14956，这样就得到容量为150的一个样本．

N总结点评：当总体容量被样本容量整除时，分段间隔k＝n；当用系统抽样抽取样本时，通常是将起始数s加上间隔k得到第2个个体编号(s＋k)，再加k得到第3个个体编号(s＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．

【变式训练】

2．一个体育代表团有200名运动员，其中两名是种子选手，现从中抽取13人参加运动会，若种子选手必须参加，请用系统抽样法给出抽样过程．

解析：第一步：将除去种子选手以外的198名运动员用随机方式编号，编号为001,002，…，198；

第二步：将编号按顺序每18个一段，分成11段；

第三步：在第1段001,002，…，018这十八个编号中用简单随机抽样法抽出一个如(010)作为起始号；

第四步：将编号为010,028,046，…，190的个体抽出，再加上两名种子选手组成代表队．

考向3

系统抽样的综合应用

例3：某工厂有工人1021人，其中高级工程师20人，现抽取普通工人40人，高级工程师4人组成代表队参加某项活动，怎样抽样？

解析：从普通工人1001人中抽取40人，适宜用系统抽样法；从高级工程师20人中抽取4人，适宜用抽签法．

(1)将1001名职工用随机方式编号．

(2)从总体中剔除1人(剔除方法可用随机数表法)，将剩下的1000名职工重1000新编号(分别为0001,0002，…，1000)，并平均分成40段，其中每一段包含40＝25个个体．

(3)在第一段0001,0002，…，0025这二十五个编号中用简单随机抽样法抽出一个(如0003)作为起始号码．

(4)将编号为0003,0028,0053，…，0978的个体抽出．

(5)将20名高级工程师用随机方式编号，编号为01,02，…，20. (6)将这20个号码分别写在一个小纸条上，揉成小球，制成号签．

(7)将得到的号签放入一个容器中，充分搅拌．

(8)从容器中逐个抽取4个号签，并记录上面的编号．

(9)从总体中将与所抽号签的编号相一致的个体取出．以上方法得到的所有个体便是代表队成员．

NN总结点评：当n不是整数时，令抽样间隔k＝[n]，先从总体中用简单随机抽样法剔除N－kn个个体，再将总体中剩余的km个个体编号分成k段，从总体中剔除多余的个体的目的是使得总体中剩余的的个体能被样本容量整除，以保证N“等距”分段，但不影响抽样的公平性，每个个体被抽到的可能性为n. 【变式训练】

3．某单位在岗职工共有624人，为了调查工人用于上班途中的时间，该单位工会决定抽取10%的工人进行调查，请问如何采用系统抽样法完成这一抽样？

解析：采用系统抽样获取样本的操作过程如下：

(1)将624名职工用随机方式编号；

(2)从总体中剔除4人(剔除方法可用随机数表法)，将剩下的620名职工重新编号(分别是000,001,002，…，619)，并分成62段；

(3)在第一段000,001，…，009这十个编号中，用简单随机抽样抽取一个号码(如002)作为起始号码；

(4)将编号为002,012,022，…，612的个体抽出，即可组成样本．

考向4

创新应用

例4：某制罐厂每小时生产易拉罐10000个，每天生产时间为12小时，为了保证产品的合格率，每隔一段时间就要抽取一个易拉罐送检，工厂规定每天要抽取1200个进行检测，请问能否设计一个合理的抽样方案？若工厂规定每天共抽取980个进行检测呢？

解析：每天共生产易拉罐120000个，共抽取1200个，所以分1200组，每组100个．然后采用简单随机抽样法从001～100中随机选出1个编号，例如选出的是13号，则从第13个易拉罐开始，每隔100个拿出一个送检，或者根据每小时生

100产10000个，每隔10000×3600＝36(秒)拿出1个易拉罐送检．若共要抽取980个进行检测，则要分980组，但980不能整除120000，所以应先剔除120000－980×122＝440(个)，再将剩下的119560个平均分成980组，每组122个．然后采用简单随机抽样法从001～122中随机选出1个编号，例如选出的编号是108号，则从第108个易拉罐开始，每隔122个，拿出1个送检，或者根据每小时生122产10000个，每隔10000×3600＝43.92(秒)拿出一个易拉罐送检．

总结点评：①系统抽样的本质是“等距抽样”，要取多少个样本就将总体分成多少组，每组中取一个；②若总体个数不能被样本个数整除，则先从总体中剔除若干个个体达到整除状态，重新编号，并根据样本个数进行分组；③剔除个体及第一段抽样都用简单随机抽样；④系统抽样是等可能抽样，每个个体被抽到的可n能性都是N. 【变式训练】

4．下面给出某村委调查本村各户收入情况所作的抽样，阅读并回答问题：

本村人口：1200人，户数300，每户平均人口数4人；应抽户数：30户；

1200抽样间隔：30＝40；

确定随机数字：取一张人民币，编码的后两位数为12；确定第一样本户：编码的后两位数为12的户为第一样本户；

确定第二样本户：12＋40＝52,52号为第二样本户；…

(1)该村委采用了何种抽样方法？

(2)抽样过程中存在哪些问题，并修改．

(3)何处是用简单随机抽样？

解析：(1)系统抽样．

300(2)本题是对某村各户进行抽样．而不是对某村人口的抽样，抽样间隔为：30＝10，其他步骤相应改为确定随机数字：取一张人民币，编号的后两位数为12，

确定第一样本户：编号为12的户为第一样本户；确定第二样本户：12＋10＝22,22号为第二样本户．

(3)确定随机数字用的是简单随机抽样：取一张人民币，编号的后两位数为12. 名

题

赏

析

例5：某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．

解析：由分组可知，抽号的间隔为5，又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37.

答案：37 归

纳

小

结

1.系统抽样的步骤：

第一步：编号．采用随机的方式将总体中的个体编号，编号的方式可以酌情决定．例如100个个体可以编号为1～100.为简便起见，有时可直接利用个体所带有的号码，如考生的准考证号、街道上各户的门牌号等．

N第二步：分段．将整体的编号进行分段，要确定分段的间隔．当n(N为总体NN中的个体数，n为样本容量)是整数时，k＝n；当n不是整数时，通过从总体中剔N′除一些个体使剩下的总体中个体个数N′能被n整除，这时k＝n. 第三步：确定起始个体编号．在第1段用简单随机抽样确定起始个体的编号s. 第四步：按照事先确定的规则抽取样本．通常是将s加上间隔k，得到第2个个体编号s＋k，再加k，得到第3个个体编号s＋2k，依次类推，获得容量为n的样本．其样本编号依次是：s，s＋k，s＋2k，s＋3k，…，s＋(n－1)k. 2．注意事项

(1)当利用已有编号时注意，已有编号必须是随机的，而不是周期性的．

N(2)在n不是整数而需剔除的过程中，要保证剔除时的随机性和客观性．

(3)由于系统抽样时抽样间隔相等，因此系统抽样也被称作等距抽样(机械抽样)．

3．系统抽样的公平性．

在系统抽样的整个过程中，总体中每个个体被剔除的机会是均等的，则每个个体不被剔除的机会均等，由此可知每个个体被抽取的机会是均等的.