复习参考题教学设计第一课时

平面向量（复习）

【学习目标】

1、理解和掌握平面向量有关的概念；熟练掌握平面向量的几何运算和坐标运算；

2、熟悉平面向量的平行、垂直关系和夹角公式的应用；

【学习过程】

一、自主学习

1、平面向量有关的概念：（1）向量；（2）向量模；（3）相等向量；（4）相反向量；（5）零向量；（6）单位向量；（7）平行向量；（8）垂直向量；（9）向量的夹角；（10）向量的坐标。

2、向量的运算：（1）加减法；（2）实数与向量的乘积；（3）向量的数量积。

3、几个重要的结论：设a(x1,y1)，b(x2,y2)，为一实数。

（1）ab=________；ab=__________；a=__________；ab=. （2）设a=(x,y),则a=_____________或a_______________；

（3）设是a与b的夹角，则cos＝_________＝_______________；

（4）abab0；

（5）a∥b存在0，使得ab

二、合作探究

题型一

向量与平面几何

2

如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等→→→→分点，BA·CA＝4，BF·CF＝－1，则→→BE·CE的值是________．

【解析】

(坐标法)以D为坐标原点，BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设B(－a，0)，C(a，0)，→→2211A(b，c)，则E(3b，3c)，F(3b，3c)，BA＝(b＋a，c)，CA＝(b－a，c)，→b→2c→bc→222BF＝(3＋a，3)，CF＝(3－a，3)，BE＝(3b＋a，3c)，CE＝(3b－a，3c)，→→→→b2c22222由BA·CA＝b－a＋c＝4，BF·CF＝9－a＋9＝－1，解得b2＋c2→→4452137＝8，a＝8，则BE·CE＝9(b2＋c2)－a2＝8.

→→→→快速解法(基向量法)设BD＝a，DF＝b，则BA·CA＝(a＋3b)·(－→→a＋3b)＝9|b|－|a|＝4，BF·CF＝(a＋b)·(－a＋b)＝|b|2－|a|2＝－1，22→→1357222解得|a|＝8，|b|＝8，则BE·CE＝(a＋2b)·(－a＋2b)＝4|b|－|a|＝8.

2平面几何问题的向量解法

(1)坐标法．

把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．

(2)基向量法．

适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解．

例题：已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边上→→→任意一点，则CP·(BA－BC)的最大值为________．

【解析】

方法一：(坐标法)以C为原点，建立平面直角坐标系如图所示，设P点坐标为(x，y)且0≤y≤3，→→→→→0≤x≤4，则CP·(BA－BC)＝CP·CA＝(x，y)·(0，3)＝3y，当y＝3时，取得最大值9. →→→→→→方法二：(基向量法)∵CP＝CA＋AP，BA－BC＝CA，

→→→→→→∴CP·(BA－BC)＝(CA＋AP)·CA

→→→→→＝CA2＋AP·CA＝9－AP·AC

→→→＝9－|AP||AC|cos∠BAC＝9－3|AP|cos∠BAC.

∵cos∠BAC为正且为定值，

→→→→→∴当|AP|最小即|AP|＝0时，CP·(BA－BC)取得最大值9.

【答案】

9

题型二

平面向量与三角函数

(2015·广东，理)在平面直角坐标系xOy中，已知向量mπ22＝(2，－2)，n＝(sinx，cosx)，x∈(0，2)．

(1)若m⊥n，求tanx的值；

π(2)若m与n的夹角为3，求x的值．

解析】

(1)∵m⊥n，∴m·n＝0.

22故2sinx－2cosx＝0，∴tanx＝1.

222sinx－2cosxπm·n(2)∵m与n的夹角为3，∴cos〈m，n〉＝＝|m|·|n|1×1π11＝2，故sin(x－4)＝2.

ππππππ5π又x∈(0，2)，∴x－4∈(－4，4)，x－4＝6，即x＝12，5π故x的值为12.

5π【答案】

(1)1

(2)12

向量与三角函数综合题的解法

解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键：准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数的问题解决．

题型三

向量与不等式

例题：已知O是坐标原点，点A(－1，2)，若点M(x，y)为平面

x＋y≥2，→→区域x≤1，上的一个动点，则OA·OM的取值范围是(

y≤2，A．[－1，0]

B．[0，1] C[1，3]

D．[1，4]

【解析】

作出点M(x，y)满足的平面区域，如图阴影部分所示，设→→z＝OA·OM，

因为A(－1，2)，M(x，y)，

→→所以z＝OA·OM＝－x＋2y，

11即y＝2x＋2z.

) 111平移直线y＝2x，由图像可知，当直线y＝2x＋2z经过点C时，11截距最大，此时z最大，最大值为4，当直线y＝2x＋2z经过点B时，→→截距最小，此时z最小，最小值为1，故1≤z≤4，即1≤OA·OM≤4.

【答案】

D 利用向量的载体作用，可以将向量与线性规划、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件论明朗化．

三角形的“心”的向量表示及应用

三角形各心的概念介绍

重心：三角形的三条中线的交点；

垂心：三角形的三条高线的交点；

内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)；

外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)．

结根据概念，可知各心的特征条件．比如：重心将中线长度分成2∶1；垂线与对应边垂直；角平分线上的任意点到角两边的距离相等；外心到三角形各顶点的距离相等．

三角形各心的向量表示

→→→(1)O是△ABC的重心⇔OA＋OB＋OC＝0；

→→→→→→(2)O是△ABC的垂心⇔OA·OB＝OB·OC＝OC·OA；

→→→→→→(3)O是△ABC的外心⇔|OA|＝|OB|＝|OC|(或OA2＝OB2＝OC2)；

将平面向量与三角形外心结合考查

→→→1.若O为△ABC内一点，|OA|＝|OB|＝|OC|，则O是△ABC的(

) A．内心

C．垂心

B．外心

D．重心

【解析】

由向量模的定义知O到△ABC的三顶点距离相等，故O是△ABC的外心，故选B.

【答案】

B 将平面向量与三角形垂心结合考查

→→→→→→2.点P是△ABC所在平面上一点，若PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则点P是△ABC的(

)

A．外心

C．重心

B．内心

D．垂心

→→→→→→→→→→【解析】

由PA·PB＝PB·PC，得PA·PB－PB·PC＝0，即PB·(PA→→→－PC)＝0，即PB·CA＝0，则PB⊥CA.

同理PA⊥BC，PC⊥AB，所以P为△ABC的垂心．故选D.

【讲评】

本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形的垂心的定义等相关知识．将三角形的垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”等相关知识巧妙结合．

【答案】

D 练习：

→1．已知点A(－1，1)，B(2，y)，向量a＝(1，2)，若AB∥a，则实数y的值为(

) A．5

C．7

B．6 D．8 2.如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是(

) A．e1与e1＋e2

C．e1＋e2与e1－e2

B．e1－2e2与e1＋2e2

D．e1＋3e2与6e2＋2e1

3. 已知向量a1,2，b2,4，c5，若abc，则a与c的夹角为（）

A.30

B.60

C.120

D.150

4.若向量a,b的夹角为，且a2，

b1，则向量a与向量a2b的夹角为（ ）

325A.

B.

C.

D.

36635.已知a1，

b6，

aba2，则向量a与向量b的夹角是（ ）

A. 52

B.

C.

D.

34626.设向量a2,m,b1,1，若ba2b，则实数m等于（ ）



A．2 B．4

C．6 D．3

7.已知|p|22，|q|3，p,q的夹角为为BC的中点，则|AD|为（

）．

，如图，若AB5p2q，ACp3q，D4

A．1515

B．

C．7

D．18 228.已知向量__________．

，且，则等于9.已知向量a1,2，

bm,1，若abab，则m__________．

10.已知向量满足，若向量的夹角为，则_____. 11.已知向量a，

b满足a5，

ab6，

ab4，则向量b在向量a上的投影为__________．

12.已知单位向量e1,e2的夹角为为__________．

，设a2e1e2，

b3e12e2，则a与b夹角大小3