探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期教学设计第一课时

1．4三角函数的图像与性质

正弦函数、余弦函数的性质（一）

教学目标：了解周期函数与最小正周期的意义，了解三角函数的周期性和奇偶性。

了解y＝sin x,

y＝cos x的单调性，最值及其应用。

教学重点：求正、余弦函数的单调区间。

【AB组：新知探究】

知识点一 正弦、余弦函数的周期性

[提出问题]

问题1：终边相同的角的三角函数值有什么关系？

问题2：正弦曲线具有什么特点？

问题3：余弦曲线是否也具有上述特点？

[导入新知] 1．函数的周期性

(1)对于函数f(x)，如果存在一个

，使得当x取定义域内的

时，都有

，那么函数f(x)就叫周期函数，

叫做这个函数的周期．

(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个

，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．

2．正弦、余弦函数的周期性

正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)都是周期函数，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它们的周期．最小正周期为2π.

知识点一 正弦、余弦函数的奇偶性

[提出问题]

问题1：正弦曲线、余弦曲线各有怎样的对称性？

问题2：诱导公式sin(－x)＝－sin x，cos(－x)＝cos x体现了函数的什么性质？

[导入新知]

正弦、余弦函数的奇偶性

正弦函数是

，余弦函数是

。

1

题型一

函数的周期

[例1]

求下列三角函数的周期：

(1)y＝3sin x，x∈R；

(2)y＝cos 2x，x∈R；

1π(3)y＝sin3x－4，x∈R；

(4)y＝|cos x|，x∈R.

求函数最小正周期的常用方法

求三角函数的周期，一般有两种方法：①公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋b或y＝Acos(ωx＋φ)＋b的形式，再利用T＝数的图象，通过观察得到最小正周期．

[活学活用]

求下列函数的最小正周期：

πx(1)y＝3sin2＋3；

(2)y＝cos|x|.

题型二

三角函数的奇偶性

[例2]

(1)函数f(x)＝2sin 2x的奇偶性为(

) A．奇函数

B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数

D．非奇非偶函数

33π(2)判断函数f(x)＝sin4x＋2的奇偶性．

2

2π求得；②图象法，利用变换的方法或作出函|ω|

[类题通法]

与三角函数奇偶性有关的结论

(1)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；

π(2)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；

2π(3)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；

2(4)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．

[活学活用]

xπ－＋的奇偶性是(

) 1．函数y＝cos22A．奇函数

C．非奇非偶函数

2．若函数y＝sin(x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ等于(

) ππA．0

B.

C.

D．π

42

题型三

三角函数的奇偶性与周期性的应用

[例3]

已知函数f(x)既是奇函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈

B．偶函数

D．既是奇函数也是偶函数

－π，0时，f(x)＝sin x，则f－5π的值为(

) 231133A．－

B. C．－

D.

2222

[类题通法]

解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法

利用函数的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值．利用奇偶性，可

以找到－x与x的函数值的关系，从而可解决求值问题．

π5π0，时，f(x)＝1－sin x，求x∈，3π[活学活用]已知f(x)是以π为周期的偶函数且x∈22时，f(x)的解析式．

3

[随堂即时演练]

3π－x的奇偶性为(

) 1．函数y＝－cos2A．奇函数

B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数

215π2．函数f(x)＝7sinx＋是周期为_______的_______（填奇偶性）函数

D．非奇非偶函数

32

3．f(x)＝sin xcos x是________(填“奇”或“偶”)函数．

4．函数y＝cos1－xπ2的最小正周期是________．

5．求y＝|sin x|＋|cos x|的最小正周期，并判断其奇偶性．

6．函数y＝4sin(2x＋π)的图象关于(

) A．x轴对称称

B．原点对称

C．y轴对称

称

7．函数f(x)＝sinωx＋π4(ω>0)的周期为π4，则ω＝________.

8．函数f(x)＝1＋sin x－cos2x1＋sin x的奇偶性为________．

9．已知函数y＝112sin x＋2|sin x|. (1)画出函数的简图．

(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．

4

D．直线x＝π2对

正弦函数、余弦函数的性质(二) [提出问题]

下图中的曲线分别是正弦函数和余弦函数的图象，根据图象回答以下问题：

问题1：正弦函数、余弦函数的定义域各是什么？

问题2：正弦函数、余弦函数的值域各是什么？

π3π－，上函数值的变化有什么特点？余弦函数在[0,2π问题3：正弦函数在]上函数值22的变化有什么特点？

[导入新知]

正弦函数、余弦函数的性质

函数

定义域

值域

y＝sin x R [－1,1]

y＝cos x

图象

单调性

ππ在－＋2kπ，＋2kπ，k∈Z上递增；在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上递增；

22π3π在＋2kπ，＋2kπ，k∈Z上递减

22在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上递减

最值

π当x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1；

2当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，ymin＝－1；π当x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1 2πx＝＋kπ，k∈Z

2(kπ，0)，k∈Z

当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1 对称轴

对称中心

x＝kπ，k∈Z π＋kπ，0，k∈Z 25

[化解疑难]

理解正、余弦函数的性质应关注三点

(1)正弦函数(余弦函数)不是定义域上的单调函数．另外，说“正弦函数(余弦函数)在第一象限内是增(减)函数”也是错误的，因为在第一象限内，即使是终边相同的角，它们也可以相差2π的整数倍．

(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．

(3)正弦曲线(余弦曲线)的对称中心一定是正弦曲线(余弦曲线)与x轴的交点，即此时的正弦值(余弦值)为0.

题型一

正、余弦函数的单调性

ππ－2x的单调区间．

x－，[例1]

求（1）函数y＝2sin（2）函数y＝3sin33

[类题通法]

与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧

(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．

(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数转变为正数．

题型二

三角函数值的大小比较

[例2]

比较下列各组数的大小：

15π14π(1)sin 250°与sin 260°；

(2)cos与cos. 89

6

[类题通法]

比较三角函数值大小的方法

(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．

(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．

[活学活用]

3171．三个数cos，sin，－cos的大小关系是________________________ 21042．比较下列各组数的大小．

π13π－________cos(1)cos；

(2)sin 194°________cos 160°. 87

题型三

正、余弦函数的最值问题

[例3]

求下列函数的值域：

ππx＋，x∈0，；

(2)y＝cos2x－4cos x＋5. (1)y＝cos62

[类题通法]

求三角函数值域的常用方法

(1)求解形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数的有界性(－1≤sin x，cos x≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．

(2)求解形如y＝asin2x＋bsin x＋c(或y＝acos2x＋bcos x＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sin x(或cos x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sin x(或cos x)的有界性．

π5π[活学活用]求函数y＝－2cos2x＋2sin x＋3，x∈6，6的最大值和最小值．

7

[随堂即时演练]

1．函数y＝2－sin x的最大值为_______及取最大值时x的值为_______ πx－在[0，π2．y＝cos]上的递减区间为______________ 4753.比较大小：sin ________cos .(填“>”“<”或“＝”) 434．若y＝asin x＋b的最大值为3，最小值为1，则ab＝________. π1－x，x∈[0，π5．函数y＝sin]的单调递增区间为______________．

365π2x＋的一个对称中心是(

) 6．函数y＝sin2πππ3π，0

B.，0 C.－，0

D.，0

A.8438

7．下列关系式中正确的是(

) A．sin 11°＜cos 10°＜sin 168°

B．sin 168°＜sin 11°＜cos 10°

C．sin 11°＜sin 168°＜cos 10°

D．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°

8．函数y＝|sin x|＋sin x的值域为_____________. πx－(x∈R)，下面结论错误的是(

) 9．已知函数f(x)＝sin2π0，上是增函数

A．函数f(x)的最小正周期为2π

B．函数f(x)在区间2C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称

D．函数f(x)是奇函数

π10．若函数y＝f(x)同时满足下列三个性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x＝对3ππ－，上是增函数．则y＝f(x)的解析式可以是(

) 称；③在区间63xπππ2x－

B．y＝sin＋ C．y＝cos2x－

A．y＝sin6626π2x＋

cos3ππ－，上是增函数，求ω的取值范围．9．已知ω是正数，函数f(x)＝2sin ωx在区间

34

πππ2x＋，x∈－，的最大值、最小值及相应的x值．

10．求函数y＝3－4cos336

D．y＝8