2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示优秀教学设计说课稿

2.3.2 平面向量的正交分解及其坐标表示

宁晋县第三中学 陈卫

学习目标

1.了解平面向量的基本定理.

2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.

3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.

4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

合作学习

一、设计问题,创设情境

问题1:设平面直角坐标系中,x轴的单位向量为i,y轴的单位向量为j,为从原点出发的向量,点A的坐标为(2,3)(如图).则=

二、学生探索,尝试解决

问题1:

三、信息交流,揭示规律

问题2:如何建立向量的坐标体系?需要具备什么样的条件?

1.平面向量的坐标表示

2.平面向量的坐标运算

3.向量平行的坐标表示

四、运用规律,解决问题

【例1】已知a=(2,1),b=(-3,4),求3a+4b的坐标.

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【例2】已知平面上三点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求点D的坐标使这四点构成平行四边形的四个顶点.

【例3】已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量与平行吗?直线AB与直线CD平行吗?

五、变式演练,深化提高

练习1:已知三个力F1(3,4),F2(2,-5),F3(x,y)的合力F1+F2+F3=0,求F3的坐标.

练习2:若向量a=(-1,x)与b=(-x,2)共线且方向相同,求x.

练习3:已知点P(2,-1),Q(3,2),求的坐标.

六、反思小结,观点提炼

请同学们想一想,本节课我们学习了哪些知识?用到了什么思想方法?你还有其他什么收获? 1.

2.

3.

布置作业

课本P100练习第2,4题.课本P101习题2.3A组第1,3,4,5题.

参考答案

二、学生探索,尝试解决

问题1:=2i,=3j.

由平行四边形法则知=2i+3j.

三、信息交流,揭示规律

问题2:需要建立单位正交基底,取两个互相垂直的单位向量即可.

1.平面向量的坐标表示

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分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.任作一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj把(x,y)叫做向量a的(直角)坐标,记作a=(x,y)其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,特别地,i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).

2.平面向量的坐标运算

若a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx,λy).

若A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1).

3.向量平行的坐标表示

a∥b(b≠0)的等价条件是x1y2-x2y1=0 证明:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.

由a=λb得,(x1,y1)=λ(x2,y2)⇒消去λ,x1y2-x2y1=0.

四、运用规律,解决问题

【例1】解:原式=3(2,1)+4(-3,4)=(6-12,3+16)=(-6,19).

【例2】解:当平行四边形为ABCD时,由得D=(2,2); 当平行四边形为ACDB时,得D=(4,6); 当平行四边形为DACB时,得D=(-6,0).

【例3】解:因为=(1-(-1),3-(-1))=(2,4),=(2-1,7-5)=(1,2), 又因为2×2-4×1=0所以, 又因为=(1-(-1),5-(-1))=(2,6),=(2,4),2×4-2×6≠0,

所以不平行, 所以A,B,C不共线,所以AB与CD不重合, 从而AB∥CD.

五、变式演练,深化提高

练习1:解:由题设F1+F2+F3=0得:(3,4)+(2,-5)+(x,y)=(0,0), 即:∴(-5,1)即为所求.

练习2:解:a=(-1,x)与b=(-x,2)共线,所以(-1)×2-x·(-x)=0, x=±,因为a与b方向相同,所以x=.

练习3:解:=(3,2)-(2,1)=(1,3), =(2,-1)-(3,2)=(-1,-3).

六、反思小结,观点提炼

1.理解平面向量的坐标的概念; 2.掌握平面向量的坐标运算; 3.会根据向量的坐标,判断向量是否共线.

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