复习参考题教案及板书设计

――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

三角函数

1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。

2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。

3. 终边相同的角的表示：

（1）终边与终边相同(的终边在终边所在射线上)2k(kZ)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角1825的终边相同，且绝对值最5小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。（答：25；）

36（2）终边与终边共线(的终边在终边所在直线上) k(kZ). （3）终边与终边关于x轴对称2k(kZ). （4）终边与终边关于y轴对称2k(kZ). （5）终边与终边关于原点对称2k(kZ). （6）终边在x轴上的角可表示为：k,kZ；终边在y轴上的角可表示为：kk,kZ；终边在坐标轴上的角可表示为：,kZ.如的终边与的终边226关于直线yx对称，则＝____________。（答：2k,kZ）

34、与的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若是第二象限角，则2是第_____象限角（答：一、三）

25.弧长公式：l||R，扇形面积公式：S1lR1||R2，1弧度(1rad)57.3.

如已22知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：2cm2）

6、任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，P(x,y)是的终边上的任意一点（异yxy于原点），它与原点的距离是rx2y20，那么sin,cos，tan,x0，rrxrxrcot(y0)，secx0，cscy0。三角函数值只与角的大小有关，而与xyy终边上点P的位置无关。如

7（1）已知角的终边经过点P(5，－12)，则sincos的值为＿＿。（答：）；

132m33（2）设是第三、四象限角，sin，则m的取值范围是_______（答：（－1，)）；

4m2|sin|cos)的符号（答：负）0，试判断cot(sin)tan(cos（3）若

sin|cos|y

T 7.三角函数线的特征是：正弦线MP“站在x轴上(起点在x轴上)”、余弦

B

S

P 线OM“躺在x轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点A(1,0)处(起点是A)”.

三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。如

α

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O

M

A

x

0，则sin,cos,tan的大小关系为_____(答：tansincos)；

8（2）若为锐角，则,sin,tan的大小关系为_______（答：sintan）；

2(2k,2k](kZ)）（3）函数y12cosxlg(2sinx3)的定义域是_______（答：

338.特殊角的三角函数值：

30°

45°

60°

0°

90°

180°

270°

15°

75°

（1）若sin

1

22

22

23

21

20 1 0

1 0

0 0 －1 0

－1 0

0 62

462

462

462

4cos

tan

cot

3

23

31 1 3

3

32-3

2+3

2+3

2-3

3

9.

同角三角函数的基本关系式：

（1）平方关系：sin2cos21,1tan2sec2,1cot2csc2

（2）倒数关系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1, sincos,cot（3）商数关系：tan

cossin同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。如

sintan（1）函数y的值的符号为____（答：大于0）；

coscot（2）若02x2，则使1sin22xcos2x成立的x的取值范围是____ 3（答：[0,][,]）；

44m342m5()，则tan＝____（答：）（3）已知sin，cos；

m5m5212tansni3cos5131，（4）已知则＝___；sin2sincos2＝____（答：；）；

tan1snicos35（5）已知sin200a，则tan160等于

1a21a2

A、

B、

C、

D、（答：B）；

22aa1a1a（6）已知f(cosx)cos3x，则f(sin30)的值为______（答：－1）。

k10.三角函数诱导公式（）的本质是：奇变偶不变（对k而言，指k取奇数或偶数），2符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k+,02；(2)转化为锐角三角函数。如

aa第

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9723tan()sin21的值为________（答：）；

46234（2）已知sin(540)，则cos(270)______，若为第二象限角，则543[sin(180)cos(360)]2________。（答：；）

5100tan(180)11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：

令sinsincoscossinsin22sincos

（1）coscoscoscos　tan令sinsincos2cos2sin2　　　　　　　　　　　　　　　　　　2cos2112sin2tantan1+cos2　　　　　　　cos2＝1tantan21cos2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　sin2＝22tan　　　tan21tan21如（1）下列各式中，值为的是

2

A、sin15cos15

B、cos2

tan22.51cos30

D、

12121tan222.52

（答：C）；

（2）命题P：tan(AB)0，命题Q：tanAtanB0，则P是Q的

A、充要条件

B、充分不必要条件

C、必要不充分条件

D、既不充分也不必要条件（答：C）；

37（3）已知sin()coscos()sin，那么cos2的值为____（答：）；

52513（4）的值是______（答：4）；

sin10sin80a3(5)已知tan1100a，求tan500的值（用a表示）甲求得的结果是，乙求得的结13a1a2果是，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______（答：甲、乙都对）

2a12.

三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有: （1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()，2()()，等）2()()，2，，如（1）已知2222213tan()，tan()，那么tan()的值是_____（答：）；（2）已知544422124900，且cos()，sin()，求cos()的值（答：）；

22923729sin2

C、第

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3（3）已知,为锐角，sinx,cosy，cos()，则y与x的函数关系为______5343（答：y1x2x(x1)）

555(2)三角函数名互化(切割化弦)，如（1）求值sin50(13tan10)（答：1）；

sincos211,tan()，求tan(2)的值（答：）

（2）已知1cos238(3)公式变形使用（tantantan1tantan。如

（1）已知A、B为锐角，且满足tanAtanBtanAtanB1，则co(s(2)设ABC中，tanAtanB33tanAtanB，sinAcosA形（答：等边）

(4)三角函数次数的降升(降幂公式：cos2（答：A)B＝_____2）；

23，则此三角形是____三角41cos21cos2，sin2与升幂公式：22311111cos22cos2，1cos22sin2)。如(1)若(,)，化简cos2为2222253(xR)的单调递增区间为_____（答：sin）；（2）函数f(x)5sinxcosx53cos2x225](kZ)）

____（答：[k,k1212sintan(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如（1）tan(cossin)



cotcsc11tan2cos4x2cos2x1sin2（3）化简：2（答：（答：sin）；（2）求证：12sin221tan22tan(x)sin2(x)441cos2x）

2(6)常值变换主要指“1”的变换（1sin2xcos2xsec2xtan2xtanxcotx

3tansin等），如已知tan2，求sin2sincos3cos2（答：）.

425

sinxcosx”的内存联系――“知一求二”(7)正余弦“三兄妹—sinxcosx、，如

t21iscosxx

__（1）若

sinxcosxt，则n（答：)，特别提醒：这里t[2,2]；

247（2）若(0,),sincos1，求tan的值。（答：）；

23sin22sin2k()，试用k表示sincos的值（答：1k）（3）已知。

421tan13、辅助角公式中辅助角的确定：asinxbcosxa2b2sinx(其中角所在的象限由a, b的符号确定，角的值由tanb确定)在求最值、化简时起着重要作用。如

a（1）若方程sinx3cosxc有实数解，则c的取值范围是___________.（答：[－2,2]）；

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（2）当函数y2cosx3sinx取得最大值时，tanx的值是______(答：（3）如果fxsinx2cos(x)是奇函数，则tan= （4）求值：3)；

2(答：－2)；

3164sin220________(答：32) 22sin20cos2014、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数ysinx和余弦函数ycosx图象的作图方法：3五点法：先取横坐标分别为0，,,,2的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就22得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。

15、正弦函数ysinx(xR)、余弦函数ycosx(xR)的性质：

（1）定义域：都是R。

（2）值域：都是1,1，对ysinx，当x2kx2k322kZ时，y取最大值1；当kZ时，y取最小值－1；对ycosx，当x2kkZ时，y取最大值1，3当x2kkZ时，y取最小值－1。如（1）若函数yabsin(3x)的最大值为，2611最小值为，则a__，b＿（答：a,b1或b1）；

22（2）函数f(x)sinx3cosx（x[,]）的值域是____（答：[－1, 2]）；

22oss6in的最大值和最小值分别是____ 、（3）若2，则yc____（答：7；－5）；

x的最小值是_____，此时x＝x)32sinxsinxcos（4）函数f(x)2cosxsin(3__________（答：2；k(kZ)）；

1211（5）己知sincos，求tsincos的变化范围（答：[0,]）；

22（6）若sin22sin22cos，求ysin2sin2的最大、最小值（答：ymax1，。特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性ymin222）了吗？

（3）周期性：①ysinx、ycosx的最小正周期都是2；②f(x)Asin(x)和2f(x)Acos(x)的最小正周期都是T。如

||x(1)若f(x)sin，则f(1)f(2)f(3)f(2003)＝___（答：0）；

3(2)

函数f(x)cos4x2sinxcosxsin4x的最小正周期为____（答：）；

(3) 设函数f(x)2sin(x)，若对任意xR都有f(x1)f(x)f(x2)成立，则25|x1x2|的最小值为____（答：2）

（4）奇偶性与对称性：正弦函数ysinx(xR)是奇函数，对称中心是k,0kZ，kZR是)偶函数，对称中心是对称轴是直线xk；余弦函数ycosx(x2第

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k,0kZ，对称轴是直线xkkZ（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最2低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴的交点）。如

5（1）函数ysin；

2x的奇偶性是______、答：偶函数）2（2）已知函数f(x)axbsin3x1(a,b为常数），且f(5)7，则f(5（答：－5）；

)______（3）函数y2cosx(sinxcosx)的图象的对称中心和对称轴分别是_______、_______ kk,1)(kZ)、x(kZ)）（答：(；

2828（4）已知f(x)sin(x)3cos(x)为偶函数，求的值。（答：k(kZ)）

63（5）单调性：ysinx在2k,2kkZ上单调递增，在2k,2kkZ2222单调递减；ycosx在2k,2kkZ上单调递减，在2k,2k2kZ上单调递增。特别提醒，别忘了kZ！

16、形如yAsin(x)的函数：

1（1）几个物理量：A―振幅；f―频率（周期的倒数）；x―TY2相位；―初相；

32（2）函数yAsin(x)表达式的确定：A由最值确定；由周期9X确定；由图象上的特殊点确定，如f(x)Asin(x)(A0,0，15||)的图象如图所示，则f(x)＝_____（答：f(x)2sin(x)）；

-223题图223（3）函数yAsin(x)图象的画法：①“五点法”――设Xx，令X＝0，3,,,2求出相应的x值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是22作函数简图常用方法。

（4）函数yAsin(x)k的图象与ysinx图象间的关系：①函数ysinx的图象纵坐标不变，横坐标向左（>0）或向右（<0）平移||个单位得ysinx的图象；②函数ysinx图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1象；③函数ysinx图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数yAsin(x)的图象；④函数yAsin(x)图象的横坐标不变，纵坐标向上（k0）或向下（k0），得到yAsinxk的图象。要特别注意，若由ysinx得到，得到函数ysinx的图ysinx的图象，则向左或向右平移应平移||个单位，如

（1）函数y2sin(2x)1的图象经过怎样的变换才能得到ysinx的图象？

4（答：y2sin(2x)1向上平移1个单位得y2sin(2x)的图象，再向左平移个单位448得y2sin2x的图象，横坐标扩大到原来的2倍得y2sinx的图象，最后将纵坐标缩小到原1来的即得ysinx的图象）；

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xx(2) 要得到函数ycos()的图象，只需把函数ysin的图象向___平移____个单位242（答：左；）；

27（3）将函数y2sin(2x)1图像，按向量a平移后得到的函数图像关于原点对称，这样的3向量是否唯一？若唯一，求出a；若不唯一，求出模最小的向量

（答：存在但不唯一，模最小的向量a(,1)）；

6（4）若函数fxcosxsinxx0,2的图象与直线yk有且仅有四个不同的交点，则k的取值范围是

（答：[1,2)）

（5）研究函数yAsin(x)性质的方法：类比于研究ysinx的性质，只需将yAsin(x)中的x看成ysinx中的x，但在求yAsin(x)的单调区间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正。如

5（1）函数ysin(2x)的递减区间是______（答：[k,k](kZ)）；

3121233x](kZ)）（2）ylog1cos()的递减区间是_______（答：[6k,6k；

44342（3）设函数f(x)Asin(x)(A0,0,)的图象关于直线x2对称，它的周期223是，则

152A、f(x)的图象过点(0,)B、f(x)在区间[,]上是减函数

2123C、f(x)的图象的一个对称中心是(5,0)D、f(x)的最大值是A（答：C）；

12（4）对于函数fx2sin2x给出下列结论：①图象关于原点成中心对称；②图象关于3直线x成轴对称；③图象可由函数y2sin2x的图像向左平移个单位得到；④图像向123左平移个单位，即得到函数y2cos2x的图像。其中正确结论是_______（答：②④）；

12（5）已知函数f(x)2sin(x)图象与直线y1的交点中，距离最近两点间的距离为，3那么此函数的周期是_______（答：）

17、正切函数ytanx的图象和性质：

（1）定义域：{x|xk,kZ}。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的定2义域了吗？

（2）值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值；

（3）周期性：是周期函数且周期是，它与直线ya的两个相邻交点之间的距离是一个周期。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。

如ysin2x,ysinx的周期都是, 但ysinx

cosx的周期为1，而y|2sin(3x)|,y|2sin(3x)2|，y|tanx|的周期不变；

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k（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是,0kZ，特别提醒：正(余)切型2函数的对称中心有两类：一类是图象与x轴的交点，另一类是渐近线与x轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。

（5）单调性：正切函数在开区间k,kkZ内都是增函数。但要注意在整22个定义域上不具有单调性。如下图

三角函数图象几何性质三角函数图象几何性质

x)y=ωx+xφyAtan(Atan())yyAsin(y=Asin(ωx+φ)y

xO

xOx3x4x4

x3

x=x2x=x=x1x=x2Tx1邻中心轴相距

4邻中心|x3-x4|= T/2邻渐近线|x1-x2|=T邻中心|x-x|=T/2邻轴|x1-x2|=T/2

34无对称轴无穷对称轴:无穷对称中心:无穷对称中心:

任意一条y轴的垂线与正切由y=0或y无意义确定函数图象都相交,且相邻两由y=0确定由y=A或-A确定

交点的距离为一个周期！18. 三角形中的有关公式： (1)内角和定理：三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方. (2)正弦定理：abc2R(R为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理sinAsinBsinCab,sinB,sinC

的一些变式：iabcsinAsinBsinC；iisinA2R2Rc；iiia2RsinA,b2RsinB,b2RsinC；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，2R若运用正弦定理，则务必注意可能有两解. 222222bca(3)余弦定理：abc2bccosA,cosA等，常选用余弦定理鉴定三角形2bc的形状. (4)面积公式：S1aha1absinC1r(abc)（其中r为三角形内切圆半径）.如2222222ABC中，若sinAcosBcosAsinBsin2C，判断ABC的形状（答：直角三角形）。

特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意ABC这个特殊性：ABCABC,sin(AB)sinC,sincos；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题22时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如

b，（1）ABC中，A、B的对边分别是a、且A那么满足条件的ABC

=60

,a6 ,b4，A、

有一个解

B、有两个解

C、无解

D、不能确定（答：C）；

（2）在ABC中，A＞B是sinAsinB成立的_____条件（答：充要）；

1（3）在ABC中，

(1tanA)(1tanB)2，则log2sinC＝_____（答：）；

2(4)在ABC中，a,b分别是角A、B、C所对的边，若(abc)(sinAsinBsinC)3asinB，则C＝____（答：60）；

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a2b2c2（5）在ABC中，若其面积S，则C=____（答：30）；

43（6）在ABC中，A60,

b1，这个三角形的面积为3，则ABC外接圆的直径是_______（答：239）；

31BC（7）在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，a3,cosA,则cos2=

，3219b2c2的最大值为

（答：;）；

32（8）在△ABC中AB=1，BC=2，则角C的取值范围是

（答：0C）；

6（9）设O是锐角三角形ABC的外心，若C75，且AOB,BOC,COA的面积满足关系式SAOBSBOC3SCOA，求A（答：45）．

19、求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。如（1）若,(0,)，且tan、tan是方程x25x60的两根，则求的值______

3（答：）；

4（2）ABC中，3sinA4cosB6,4sinB3cosA1，则C＝_______（答：）；

3（3）若02且sinsinsin0，coscoscos0，求的2值（答：）. 3

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