2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学实录与评析

§2.3.4 平面向量共线的坐标表示

教学目的：

（1）理解平面向量的坐标的概念；

（2）掌握平面向量的坐标运算；

（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.

教学重点：平面向量的坐标运算

教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性

授课类型：新授课

教

具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1．平面向量的坐标表示

分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得axiyj

把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a(x,y)

其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，

特别地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0). 2．平面向量的坐标运算

若a(x1,y1)，b(x2,y2)，

则ab(x1x2,y1y2)，ab(x1x2,y1y2)，a(x,y). 若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1

二、讲解新课：

a∥b

(b0)的充要条件是x1y2-x2y1=0

设a=(x1，

y1) ，b=(x2，

y2)

其中ba. x1x2a由=λb得，

(x1，

y1) =λ(x2，

y2)

消去λ，x1y2-x2y1=0 yy21探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y1，

y2有可能为0，

∵b0

∴x2，

y2中至少有一个不为0

（2）充要条件不能写成y1y2

∵x1，

x2有可能为0 x1x2ab

x1y2x2y10(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a∥b

(b0)三、讲解范例：

例1已知a=(4，2)，b=(6，

y)，且a∥b，求y. 例2已知A(-1，

-1)，

B(1，3)，

C(2，5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系.

例3设点P是线段P1P2上的一点，

P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2). (1)

当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；

(2) 当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.

例4若向量a=(-1，x)与b=(-x，

2)共线且方向相同，求x 解：∵a=(-1，x)与b=(-x，

2) 共线

∴(-1)×2- x•(-x)=0 

∴x=±2

∵a与b方向相同

∴x=2

例5

已知A(-1，

-1)，

B(1，3)，

C(1，5) ，D(2，7) ，向量AB与CD平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？

解：∵AB=(1-(-1)，

3-(-1))=(2，

4)

，

CD=(2-1，7-5)=(1，2)

又

∵2×2-4×1=0

∴AB∥CD

又

∵

AC=(1-(-1)，

5-(-1))=(2，6) ，AB=(2，

4)，2×4-2×60

∴AC与AB不平行

∴A，B，C不共线

∴AB与CD不重合

∴AB∥CD 四、课堂练习：

1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（

）

A.6

B.5

C.7

D.8 2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（

A.-3

B.-1

C.1

D.3

3.若AB=i+2j，

DC=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量). AB与DC共线，则x、y的值可能分别为（

）

A.1，2

B.2，2

C.3，2

D.2，4 4.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，则y=

. 5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为

. 6.已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则x=

. 五、小结

1.a∥b

(b0)的充要条件是x1y2-x2y1=0

2.若a(x1,y1)，b(x2,y2)，

则ab(x1x2,y1y2)，ab(x1x2,y1y2)，a(x,y). 若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1

六．作业

见PPT