1.1 直角三角形的性质和判定（Ｉ）课堂实录

八年级数学湘教版下册新教案

第1章

直角三角形

1．1

直角三角形的性质和判定(Ⅰ) 第1课时

直角三角形的性质和判定

1．掌握“直角三角形的两个锐角互余”定理．

2．掌握“有两个锐角互余的三角形是直角三角形”定理．

3．掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用．

4．巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法．

重点

直角三角形斜边上的中线性质定理的应用．

难点

直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法．

一、创设情境，导入新课

(1)什么叫直角三角形？

(2)直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质？

二、合作交流，探究新知

(一)直角三角形性质定理1

请学生看图形：

1．提问：∠A与∠B有何关系？为什么？

2．归纳小结：

定理1：直角三角形的两个锐角互余．

巩固训练 1．(1)在直角三角形中，有一个锐角为52°，那么另一个锐角度数是____．

(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A

－∠B

＝30°，那么∠A＝____，∠B＝____．

2．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，那么：(1)与∠B互余的角有______，(2)与∠A相等的角有______，(3)与∠B相等的角有______．

(二)直角三角形的判定定理1 1．提问：“在△ABC中，∠A

＋∠B

＝90°，那么△ABC是直角三角形吗？”

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2．利用三角形内角和定理进行推理．

归纳小结：有两个锐角互余的三角形是直角三角形．

巩固训练

若

∠A＝60°，∠B

＝30°，那么△ABC是________三角形．

(三)直角三角形性质定理2 实验操作：

要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片．

1．量一量斜边AB的长度；

2．找到斜边的中点，用字母D表示；

3．画出斜边上的中线；

4．量一量斜边上的中线的长度．

让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间有何关系？

归纳小结：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

巩固训练

1．在△ABC中，

∠ACB＝90°，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有______，与∠A相等的角有______，若∠A＝35°，那么∠ECB＝______．

2．已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC中点．

求证：(1)ED＝EB；

(2)∠EBD＝∠EDB；

(3)图中有哪些等腰三角形？

三、运用新知，深化理解

例1 如图，AB∥DF，AC⊥BC于点C，BC与DF交于点E，若∠A＝20°，则∠CEF等于(

)

A．110°

B．100°

C．80°

D．70°

【分析】∵AC⊥BC于点C，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC＝90°－∠A＝90°－20°＝70°，∴∠ABC＝∠1＝70°，∵AB∥DF，∴∠1＋∠CEF＝180°，即∠CEF＝180°－∠1＝180°－70°＝110°.故选A. 【方法总结】熟知直角三角形两锐角互余的性质，并准确识图是解决此类题的关键．

例2 如图所示，已知AB∥CD，∠BAF＝∠F，∠EDC＝∠E，求证：△EOF是直角三角形．

【分析】三角形内角和定理是解答有关角的问题时最常用的定理，是解决问题的突破口，1本题欲证△EOF是直角三角形，只需证∠E＋∠F＝90°即可，而∠E＝(180°－∠BCD)，∠F2

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1＝(180°－∠ABC)，由AB∥CD可知∠ABC＋∠BCD＝180°，即问题得证．

21证明：∵∠BAF＝∠F，∠BAF＋∠F＋∠ABF＝180°，∴∠F＝(180°－∠ABF)．同理，211∠E＝(180°－∠ECD)．∴∠E＋∠F＝180°－(∠ABF＋∠ECD)．∵AB∥CD，∴∠ABF＋∠ECD221＝180°.∴∠E＋∠F＝180°－×180°＝90°，∴△EOF是直角三角形．

2【方法总结】由三角形的内角和定理可知一个三角形的三个内角之和为180°，如果一个三角形中有两个角的和为90°，可知该三角形为直角三角形．

例3 如图，△ABC中，AD是高，E，F分别是AB，AC的中点．

(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；

(2)求证：EF垂直平分AD.

1【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE＝AE＝AB，DF＝AF＝21AC，再根据四边形的周长的公式计算即可得解；(2)根据“到线段两端点距离相等的点在线2段的垂直平分线上”证明即可．

111解：(1)∵AD是高，E，F分别是AB，AC的中点，∴DE＝AE＝AB＝×10＝5，DF＝AF＝222AC＝×8＝4，∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18；

(2)证明：∵DE＝AE，DF＝AF，∴E是AD的垂直平分线上的点，F是AD的垂直平分线上的点，∴EF垂直平分AD. 【方法总结】当已知条件含有线段的中点、直角三角形等条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质，连接中点和直角三角形的直角顶点进行求解或证明．

例4 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，EF为AB的垂直平分线，交BC于点F，交AB于点E.求证：FC＝2BF. 12

【分析】根据EF是AB的垂直平分线，联想到垂直平分线的性质，因此连接AF，得到△AFB为等腰三角形．又可求得∠B＝∠C＝∠BAF＝30°，进而求得∠FAC＝90°.取CF的中点M，连接AM，就可以利用直角三角形的性质进行证明．

证明：如图，取CF的中点M，连接AF，AM.∵EF是AB的垂直平分线，∴AF＝BF.∴∠BAF1＝∠B.∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠BAF＝∠C＝×(180°－120°)＝30°.∴∠FAC21＝∠BAC－∠BAF＝90°.在Rt△AFC中，∠C＝30°，M为CF的中点，∴∠AFM＝60°，AM＝2

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FC＝FM.∴△AFM为等边三角形．∴AF＝AM＝FC.又∵BF＝AF，∴BF＝FC，即FC＝2BF. 【方法总结】当已知条件中出现直角三角形斜边上的中线时，通常会运用到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质，使用该性质时，要注意找准斜边和斜边上的中线．

四、课堂练习，巩固提高

1．教材P4练习．

2．教师指导学生完成《·高效课堂》“随堂演练”内容．

五、反思小结，梳理新知

1．直角三角形的性质

性质一：直角三角形的两锐角互余；

性质二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

2．直角三角形的判定

方法一：一个角是直角的三角形是直角三角形；

方法二：两锐角互余的三角形是直角三角形．

六、布置作业

1．学生完成《·高效课堂》“课时作业”．

2．教材P7习题1.1第1，2题．

1212第2课时

含30°角的直角三角形的性质和判定

1．掌握直角三角形的性质“直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半”．

2．掌握直角三角形的性质“直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30度”．

3．能利用直角三角形的性质解决一些实际问题．

重点

直角三角形的性质．

难点

直角三角形性质的应用．

一、创设情境，导入新课

1．直角三角形有哪些性质？

(1)两锐角互余；

(2)斜边上的中线等于斜边的一半．

2．按要求画图：

(1)画∠MON，使∠MON＝30°，

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(2)在OM上任意取点P，过P作ON的垂线PK，垂足为K，量一量PO，PK的长度，PO，PK有什么关系？

(3) 在OM上再取点Q，R，分别过Q，R作ON的垂线QD，RE，垂足分别为D，E，量一量QD，OQ，它们有什么关系？量一量RE，OR，它们有什么关系？

由此你发现了什么规律？

直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

为什么会有这个规律呢？这节课我们来研究这个问题．

二、合作交流，探究新知

1．探究直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边为什么等于斜边的一半？

1如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，BC为什么会等于AB?

2

11分析：要判断BC＝AB，可以考虑取AB的中点，如果BD＝BC，那么BC＝AB，由于∠A22＝30°，所以∠B＝60°，

如果BD＝BC，则△BDC一定是等边三角形，所以考虑判断△BDC是等边三角形，你会判断吗？

由学生完成．

归纳：直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

这个定理的得出除了上面的方法外，你还有没有别的方法呢？

先让学生交流，得出把△ABC沿着AC翻折，利用等边三角形的性质也可证明．

2．探究上述定理的逆定理．

1上面问题中，把条件“∠A＝30°”与结论“BC＝AB”交换，结论还成立吗？

2学生交流．

方法1：取AB的中点，连接CD，判断△BCD是等边三角形，得出∠B＝60°，从而∠A＝30°. 方法2：沿着AC翻折，利用等边三角形性质得出．

你能把上面问题用文字语言表达吗？

归纳：直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30度．

三、运用新知，深化理解

例1 等腰三角形的一个底角为75°，腰长4 cm，那么腰上的高是________cm，这个三2角形的面积是________cm. 【分析】因为75°不是特殊角，但是根据“三角形内角和为180°”可知等腰三角形的顶角为30°，依题意画出图形，则有∠A＝30°，BD⊥AC，AB＝4 cm，所以BD＝2 cm，S△ABC

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112＝AC·BD＝×4×2＝4(cm)．故答案为2，4. 22【方法总结】作出准确的图形、构造含30°角的直角三角形是解决此题的关键．

1例2 如图所示，在四边形ACBD中，AD∥BC，AB⊥AC，且AC＝BC，求∠DAC的度数．

2

【分析】根据题意得∠CBA＝30°，由平行得∠BAD＝30°，进而可得出结论．

1解：∵AB⊥AC，∴∠CAB＝90°.∵AC＝BC，∴∠CBA＝30°.∵AD∥BC，∴∠BAD＝30°，2∴∠CAD＝∠CAB＋∠BAD＝120°. 【方法总结】如果题中出现直角三角形及斜边是直角边的两倍可直接得出30°的角，再利用相关条件求解. 例3 如图，某船于上午11时30分在A处观测到海岛B在北偏东60°方向；该船以每小时10海里的速度向东航行到C处，观测到海岛B在北偏东30°方向；航行到D处，观测到海岛B在北偏西30°方向；当船到达C处时恰与海岛B相距20海里．请你确定轮船到达C处和D处的时间．

【分析】根据题意得出∠BAC，∠BCD，∠BDA的度数，根据直角三角形的性质求出BC，AC，CD的长度．根据速度、时间、路程关系式求出时间．

解：由题意得∠BCD＝90°－30°＝60°，∠BDC＝90°－30°＝60°.∴∠BCD＝∠BDC＝60°，∴△BCD为等边三角形．在△ABD中，∵∠BAD＝90°－60°＝30°，∠BDC＝60°，∴∠ABD＝90°，即△ABD为直角三角形，∴∠ABC＝30°.∵BC＝20海里，∴CD＝BD＝20海1里．又∵BD＝AD，∴AD＝40海里．∴AC＝AD－CD＝20(海里)．∵船的速度为每小时10海里，22040因此轮船从A处到C处的时间为＝2(h)，从A处到D处的时间为＝4(h)．∴轮船到达C1010处的时间为13时30分，到达D处的时间为15时30分．

【方法总结】方位角是遵循“上北下南，左西右东”的原则，弄清楚方位角是解决这类题的关键，再利用含30°角的直角三角形的性质解题．

四、

课堂练习，巩固提高

1．教材P6练习．

2．教师指导学生完成《·高效课堂》“随堂演练”内容．

五、反思小结，梳理新知

1．含30°锐角的直角三角形的性质．

(1)在直角三角形中，30度的角所对的边等于斜边的一半；

(2)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 2．含30°锐角的直角三角形的性质的应用．

六、布置作业

八年级数学湘教版下册新教案

1．学生完成《·高效课堂》“课时作业”．

2．教材P7习题1.1第3～5题．