1.4 角平分线的性质板书设计及设计说明

角平分线的性质

一、教学目标 知识与技能目标：掌握角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；灵活运用角平分线性质解题

过程与方法目标：通过图形的变换，引导学生发现并提出新问题，进行类比联想，促进学生的思维向多层次多方位发散。培养学生的创新精神和创造能力。

情感态度价值观：从生活的实际问题出发，引发学生学习数学的兴趣。从而培养学生发现问题和解决问题能力。

二、教学重点：角平分线性质

教学难点：角平分线性质的应用 三、教学方法：观察、比较、合作、交流、探索. 四、教学过程

（一）课堂导入

两个全等的直角三角形按照如下图所示的方式拼接起来，得到如下图所示的四边形ABCD，∠B=∠D=90°，思考：CB和CD的长度关系。

在原三角形中，两个三角形全等，则有CB=CD，对接之后，仍有CB=CD。

△ACD≌△ACB，则有∠CAD=∠CAB，即AC是∠BAD的角平分线，C在角平分线上。根据这些信息，你能猜想出来角的角平分线具有怎样的性质呢？

猜想：

角平分线上的点到角平分线两边的距离相等。

（二）新授 猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等

证明定理：

已知：如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA ， PE⊥OB ，

垂足分别为点D、E；

求证：PD=PE

证明：∵ PD⊥OA， PE⊥OB，

∴

∠PDO =∠PEO = 90°

在△PDO和△PEO中，

∵

∠PDO =∠PEO，

∠DOP =∠EOP，

OP = OP，

∴

△PDO≌△PEO ∴ PD = PE————（定理得证）

角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等

符号表达法：

∵OC为∠AOB的角平分线，P为AC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB ∴PD=PE （三）例题讲解

【例1】

如图，在直线MN上求作一点P ，使点P到∠AOB两边的距离相等.

作图方法：作∠AOB的角平分线，交MN于一点，则这点即为所求作的点P。这里要提示学生养成尺规作图的习惯。

【例2】如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC， DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，BD=CD. 求证：AB=AC 证明 ∵

点D在∠BAC的平分线上， DE⊥AB，DF⊥AC ，

∴ DE = DF. 在Rt△BED和Rt△CFD中，

∵ BD = CD， DE = DF，

∴ Rt△BED≌Rt△CFD ∴

∠B =∠C. （四）巩固练习：

∴ AB = AC.

【练习1】如图，E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA 于点C，ED⊥OB 于点D. 求证：（1）∠ECD=∠EDC；

（2）OC=OD 证：

（1）∵

点E在∠BOA的平分线上，EC⊥AO，ED⊥OB ，

∴ ED =EC. ∴

△EDC 是等腰三角形

∴

∠ECD=∠EDC. （2）在Rt△OED和Rt△OEC中，

∵ OE= OE， ED = EC，

∴ Rt△OED≌Rt△OEC(HL).

∴ OD=OC 【练习2】如图，在△ABC 中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，BC 分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上. 求证：AB=AD+BE. 证：作CM⊥AB于点M ∵ AC，BC 分别平分∠BAD，∠ABE，

在Rt△ACD和Rt△ACM中，

∵ CM = CD，AC = AC，

∴ AD = AM. 同理， BE = BM. 又 AB=AM+BM，

∴ AB=AD+BE. （五）小结

∴ CD = CM，CE = CM. ∴ Rt△ACD ≌Rt△ACM.

角平分线上的点到角两边的距离相等。

（六）布置作业

1、P26 习题1.4 A组1、2、3 2、如图所示，你能在△ABC 中找到一点P，使P到三边的距离相等吗？

3、尝试证明：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上

五、板书设计

角平分线的性质

角平分线上的点到角的两边距离相等

符号表达法：

∵OC为∠AOB的角平分线，P为AC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB ∴PD=PE 证明定理：

已知：如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA ，

PE⊥OB ，

垂足分别为点D、E；

求证：PD=PE 证明：∵ PD⊥OA，

PE⊥OB，

∴

∠PDO =∠PEO = 90°

在△PDO和△PEO中，

∵

∠PDO =∠PEO，∠DOP =∠EOP，OP = OP，

∴

△PDO≌△PEO

∴ PD = PE