3.1利用直角坐标系和物体间的位置公开课教案（教学设计）

新课标(XJ)

数学

八年级下册

典案一

教学设计

课题

第2课时

利用直角坐标系和方位刻画物体间的位置

知识技能

教

学

目

标

数学思考

授课人

1.掌握建立适当的直角坐标系和方位坐标描述地理位置的方法．

2．了解如何利用平面坐标和方位坐标表示物体的位置.

通过构建平面直角坐标系简捷地解决实际问题.

1.通过学习如何用坐标和方向角表示地理位置的过程，发展学生的空问题解决

间观念．

2．能够用坐标系和方向角来描述地理位置，从而培养学生解决实际问题的能力.

通过用坐标系表示实际生活中的一些地理位置，培养学生认真、严谨的做事态度和数形结合的思想方法.

根据不同问题能建立合适的坐标系表示物体的位置.

通过建立适当的坐标系解决实际问题.

新授课

课时

情感态度

教学

重点

教学

难点

授课

类型

教具

教学

步骤

三角板(多媒体：PPT课件、几何画板)

教学活动

师生活动

写出图3－1－36中点A，B，C，D，E的坐标，并指出它们各自分布在哪个象限．

设计意图

回顾

通过复***面直角坐标系的点的描述与作法，为正确建立符合实际问题的坐标系确定点的坐标服务.

图3－1－36 归纳：由点的位置可以写出它的坐标，反之，已知点的坐标也可以确定点的位置．

活动

一：

创设

情境

导入

新课

【课堂引入】

出示教材第86页图3－6，提出问题：如何去建立适当的平面直角坐标系表示各建筑物的位置？坐标原点建立在哪儿最简单？

直接切入主题，提出用坐标表示地理位置的观点，引发学生的思考，激发学生的探究欲望.

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八年级下册

(续表) 【探究1】

用直角坐标系表示位置

今天我们学习如何用坐标系表示地理位置，对于教材P86的“动脑筋”问题，思考：

(1)如何建立平面直角坐标系？以何参照点为原点？如何确定x轴、y轴？

(2)如何选用比例尺来绘制区域内地点分布情况平面图？

(3)选取校门所在位置为原点，并以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向有什么优点？

活动

(4)如果以国旗杆为坐标原点，每个位置点的坐标是否会发二：

生变化呢？

实践

结论：用平面直角坐标系表示点的坐标步骤：(1)确定坐标探究

原点；(2)建立坐标系；(3)表示点的坐标．

交流

【探究2】

方位角

新知

方位角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角．

举例见教材P87－P88“动脑筋”．

如果用方位角确定物体的位置，除了用角度表示之外，还要表示该点到原点的距离．因此必需确定两个数据：(1)方位角；(2)与原点的距离．

归纳：在日常生活中，除了用平面直角坐标系刻画物体的位置，有时也采用方位角的方式来刻画物体的相对位置．

【应用举例】

例1

[教材第87页例3]

根据以下条件画一幅示意图，标出学校、书店、电影院、汽车站的位置．

(1)从学校向东走500 m，再向北走450 m到书店．

(2)从学校向西走300 m，再向南走300 m，最后向东走50 m到电影院．

(3)从学校向南走600 m，再向东走400 m到汽车站．

活动

变式一

某区域的平面示意图如图3－1－37所示，如果宠三：

物店所在位置的坐标为(－2，－3)，儿童公园所在位置的坐开放

标为(－4，－2)，则所在位置为(0，4)的地点是(B) 训练

体现

应用

在全面学习应用举例的基础上进一步深化，从题型的变化、转换等角度开展训练，有力地提高了建立平面直角坐标系的能力及运用平面直角坐标系去解决有关的问题的能力.

通过讨论、探究、分析共同得出答案，培养学生的合作意识，以及与他人交流的能力，开放的过程设计有助于培养学生的开放性思维和创新意识，让学生通过比较，得出建立坐标系的最优方案.

图3－1－37 A．医院

B．学校

C．汽车站

D．水果店

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(续表) 变式二

某城市的街道恰好呈东西与南北横纵交错格局(如图3－1－38所示)．一次，警察局电子监控器屏幕上发现一辆作案后的小轿车A正在点A(3，1)处以每分钟0.5个单位长度的速度向北逃窜，根据各街道的交通状况进行分析，逃犯很可能逃到点B(3，6)后改为向东逃窜．同时正在点C(5，－1)处巡逻的警车接到指令后立即以每分钟0.7个单位长度的速度进行追捕，请问逃犯将在什么地方被追捕到？

图3－1－38 解：警车追上逃犯的路线可以有多条．第一种情况：警车沿正西行驶到点(3，－1)，然后尾随逃犯，这样也可以追上，但这一条路从直观上来看，显然需要追捕较长的时间才能追上，也就是说需要4÷(0.7－0.5)＝20(分)才能追上，此时在点(8，6)处追上；

第二种情况：警车直接沿正北方向行驶到点(5，6)，这时再看逃犯是否通过点(5，6)来决定进一步追捕的方向．显然，警车到达点(5，6)需要的时间是7÷0.7＝10(分)，此时逃犯到达点(3，6)，警车应改为向西行驶，只须再过2÷(0.5＋0.7)≈1.7(分)就可以追捕到逃犯，其地点大约在(3.85，6)的位置．

变式三

李强同学家在学校以东100 m再往北150 m处，张明同学家在学校以西200 m再往南50 m处，王玲同学家在学校以南150 m处．如图3－1－39所示，在坐标系中画出这三位同学家的位置，并用坐标表示出来．

在全面学习应用举例的基础上进一步深化，从题型的变化、转换等角度开展训练，有力地提高了建立平面直角坐标系的能力及运用平面直角坐标系去解决有关的问题的能力.

活动

三：

开放

训练

体现

应用

图3－1－39

图3－1－40 解：如图3－1－40所示，李强同学家的位置的坐标为(100，150)，张明同学家的位置的坐标为(－200，－50)，王玲同学家的位置的坐标为(0，－150)．

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(续表) 例2

[教材第88页例4]

如图3－1－41，12时我渔政船在H岛正南方向，距H岛30海里的A处，渔政船以每小时40海里的速度向东航行，13时到达B处，并测得H岛的方向是北偏西53°6′.那么此时渔政船相对于H岛的位置怎样描述呢？

图3－1－41

图3－1－42

在全面学习应用举例的基础上进一步深化，从题型的变化、转换等角度开展训练，有力地提高了建立平面直角坐标系的能力及运用平面直角坐标系去解决有关的问题的能力.

变式四

在学校操场上，小明处在小颖的北偏东70°方向上，那么小颖应在小明的(假设两人的位置保持不变)(C) A．南偏东20°

B．南偏东70°

C．南偏西70°

D．南偏西20°

变式五

如图3－1－42，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F出活动

三：

开放

训练

体现

应用

现．按照规定的目标表示方法，目标C，F的位置分别表示为C(6，120°)，F(5，210°)．

(1)按照此方法表示目标A，B，D，E的位置．

A：________；B：________；D：________；E：________．

(2)若目标C的实际位置是北偏西30°距观测站1800米，目标F的实际位置是南偏西60°距观测站1500米，写出目标A，B，D，E的实际位置．

(3)在(2)的条件下，若另有目标G在东南方向距观测站750米处，目标H在南偏东20°距观测站900米处，写出G，H的位置表示．

解：(1)(5，30°)

(2，90°)

(4，240°)

(3，300°)

(2)目标A的实际位置是北偏东60°距观测站1500米．

目标B的实际位置是正北方向距观测站600米．目标D的实际位置是南偏西30°距观测站1200米．目标E的实际位置是南偏东30°距观测站900米．

(3)G(2.5，315°)，H(3，290°).

【拓展提升】

例3

丽丽家的坐标为(－2，－1)，红红家的坐标为(1，2)，则红红家在丽丽家的(B) A．东南方向

B．东北方向

C．西南方向

D．西北方向

例4

甲、乙、丙三人所处位置不同．甲说：“以我为坐标原点，乙的位置是(2，3)”．丙说：“以我为坐标原点，乙的位置是(－3，－2)”．则以乙为坐标原点，甲、丙的坐标分别是(已知三人建立坐标时，x轴、y轴的正方向相同)(C) A．(－3，－2)，(2，－3)

B．(－3，2)，(2，3) C．(－2，－3)，(3，2)

D．(－3，－2)，(－2，－3)

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八年级下册

(续表) [解析] 以甲为坐标原点，乙的位置是(2，3)，则以乙为坐标原点，甲的位置是(－2，－3)；以丙为坐标原点，乙的位置是(－3，－2)，则以乙为坐标原点，丙的位置是(3，2)．

例5

今有五口水井，第一口A在村委会的院子里，第二口B在村委会北偏东30°方向2000米处，第三口C在村委会正西方向1500米处，第四口D在村委会东南方向1000米，第五口E在村委会正南方向900米处．

(1)请你以村委会为坐标原点，东西走向为x轴，南北走向为y轴，建立活动

三：

开放

训练

体现

应用

直角坐标系，选好适当比例尺，画图表示这五口水井A，B，C，D，E的位置；

(2)写出C，E两口井的坐标；

(3)求出∠BAC，∠BAD的大小．

解：(1)以向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，以500米为单位长度建立直角坐标系，画图如下：

拓展训练，综合训练，加大难度，拓宽视野，从本课的知识网络出发，以数形结合思想，就动态问题、变化问题进行准确应用.

图3－1－43 (2)C(－1500，0)，E(0，－900)．

(3)∠BAC＝90°＋30°＝120°，∠BAD＝180°－45°－30°＝105°. 当堂训练：P88练习T1，T2，T3. 作业布置：P89习题3.1A组T3，T4，T5，T6，B组T8. 【知识网络】

活动

四：

课堂

总结

反思

形成知识结构示意图，便于学生归纳与总结. 当堂检测，及时反馈教学效果，以便课后查漏补缺.

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(续表) 【教学反思】

①[授课流程反思]

本节课的设计从教材的知识结构出发，充分结合学生的生活经验和已有的知识构架，注意遵循学生学习数学的心理规律，对教材内容进行了重组和加工，层层递进的引出本节课所要探究的确定位置的方法，让数学背景包含在学生熟悉的事物和具体情景之中，进而优化课堂教学，促进学生学习数学的兴趣，优化了课堂，促进学生的发展，充分体现了“以学生的发展为本”的新课程理念．

②[讲授效果反思] 教学设计中突出了教学重点，注重了构建平面直角坐标系的重要环节点，即确定坐标原点，以坐标原点为轴心进行了知识迁移教学，在问题探究、巩固提高、课后作业中均可以感受到知识的多样性与延续性，为学生开阔了思考空间和想象空间．

③[师生互动反思] 通过练习反馈的情况来看，学生的主动参与、乐于探究、勤于动手的学习方式得到了体现，学生对于已知坐标系写点的坐标掌握比较熟练，就是如何建立坐标系相对优化和利用方位角描述点或物体的相对位置还存在一定的困难．在今后的教学中要适时适量的让学生逐步强化，达到全面提高．

④[习题反思] 好题题号__________________________________________ 错题题号__________________________________________

典案二

导学设计

17.2.1平面直角坐标系学案

知识技能目标

1.掌握平面直角坐标系的有关概念；

2.能正确画出直角坐标系，以及根据点的坐标找出它的位置、由点的位置确定它的坐标；

3.初步理解直角坐标系上的点和有序实数对是一一对应的含义．

过程性目标

1.联系数轴知识、统计图知识，经历探索平面直角坐标系的概念的过程；

2.通过学生积极动手画图，达到熟练的程度，并充分感受直角坐标系上的点和有序实数对是一一对应的含义. 教学过程

一、创设情境

如图是一条数轴，数轴上的点与实数是一一对应的．数轴上每个点都对应一个实数，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标．例如，点A在数轴上的坐标是4，点B在数轴上的坐标是－2.5．知道一个点的坐标，这个点的位置就确定了．

[来源:学§科§网]活动

四：

课堂

总结

反思

从教学的流程、学生的接受程度、教学整体设计、教学效果等角度全面去总结，反思其合理性、实际性与应用性，突出教学的有效性与高效性.

我们学过利用数轴研究一些数量关系的问题，在实际生活中．还会遇到利用平面图形研

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究数量关系的问题．

二、探究归纳

问题1

例如你去过电影院吗？还记得在电影院是怎么找座位的吗？

解

因为电影票上都标有“×排×座”的字样，所以找座位时，先找到第几排，再找到这一排的第几座就可以了．也就是说，电影院里的座位完全可以由两个数确定下来．

问题2

在教室里，怎样确定一个同学的座位？

解

例如，××同学在第3行第4排．这样教室里座位也可以用一对实数表示．

[来源学科网ZXXK][来源:Z&xx&k.Com]问题3

要在一块矩形ABCD(AB＝40mm，AD＝25mm)的铁板上钻一个直径为10mm的圆孔，要求：

(1)孔的圆周上的点与AB边的最短距离为5mm，

(2)孔的圆周上的点与AD边的最短距离为15mm．

试问：钻孔时，钻头的中心放在铁板的什么位置？

[来源:Z.xx.k.Com]

分析

圆O的中心应是钻头中心的位置．因为⊙O直径为10mm，所以半径为5 mm，所以圆心O到AD边距离为20mm，圆心O到AB边距离为10mm．由此可见，确定一个点（圆心O）的位置要有两个数(20和10)．

在数学中，我们可以用一对有序实数来确定平面上点的位置．为此，在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴（如图），这就建立了平面直角坐标系(rightangled coordinates system)．通常把其中水平的一条数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两数轴的交点O叫做坐标原点．

在平面直角坐标系中，任意一点都可以用一对有序实数来表示．例如，图中的点P，从点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为M和N．这时，点M在x轴上对应的数为3，称为点P的横坐标(abscissa)；点N在y轴上对应的数为2，称为点P的纵坐标(ordinate)．依次写出点P的横坐标和纵坐标，得到一对有序实数(3,2)，称为点P的坐标(coordinates)．这时点P可记作P(3,2)．

在直角坐标系中，两条坐标轴把平面分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域，分别称为第一、二、三、四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．

三、实践应用

例1

在上图中分别描出坐标是(2,3)、(－2,3)、(3,－2)的点Q、S、R，Q(2,3)与P(3,2)是同一点吗？S(－2,3)与R(3,－2)是同一点吗？

解

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Q(2,3)与P(3,2)不是同一点；

S(－2,3)与R(3,－2)不是同一点．

例2

写出图中的点A、B、C、D、E、F的坐标．观察你所写出的这些点的坐标，回答：(1)在四个象限内的点的坐标各有什么特征？

(2)两条坐标轴上的点的坐标各有什么特征？

解

A(－1,2)、B (2,1)、C (2,－1)、D (－1,－1)、E (0,3)、F (－2,0)．

(1)在第一象限内的点,横坐标是正数,纵坐标是正数；

在第二象限内的点,横坐标是负数,纵坐标是正数；

在第三象限内的点,横坐标是负数,纵坐标是负数；

在第四象限内的点,横坐标是正数,纵坐标是负数；

(2)x轴上点的纵坐标等于零；

y轴上点的横坐标等于零．

说明

从上面的例1、例2可以发现直角坐标系上每一个点的位置都能用一对有序实数表示，反之，任何一对有序实数在直角坐标系上都有唯一的一个点和它对应．也就是说直角坐标系上的点和有序实数对是一一对应的．

例3

在直角坐标系中描出点A(2,－3)，分别找出它关于x轴、y轴及原点的对称点，并写出这些点的坐标．观察上述写出的各点的坐标，回答：

(1)关于x轴对称的两点的坐标之间有什么关系？

(2)关于

y轴对称的两点的坐标之间有什么关系？

(3)关于原点对称的两点的坐标之间又有什么关系？

解

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(1)关于x轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标绝对值相等，符号相反；

(2)关于y轴对称的两点：横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标相同；

(3)关于原点对称的两点：横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标也绝对值相等，符号相反．

例4

在直角坐标平面内，(1)第一、三象限角平分线上点的坐标有什么特点？(2)第二、四象限角平分线上点的坐标有什么特点？

分析

如图，P为第一、三象限角平分线上位于第一象限内任一点，作PM⊥x轴于M，在Rt△PMO中，∠1＝∠2＝45°，所以｜OM｜=｜MP｜，则P点的横坐标，纵坐标绝对值相等，又因为P点位于第一象限内，OM为正值，MP也为正值，所以P点横坐标与纵坐标相同．同样若P点位于第三象限内，则OM为负值，MP也为负值，所以P点横坐标与纵坐标也相同．若P点为第二、四象限角平分线上任一点，则OM与MP一正一负，所以P点横坐标与纵坐标互为相反数．

解 (1)第一、三象限角平分线上点：横坐标与纵坐标相同；

(2)第二、四象限角平分线上点：横坐标与纵坐标互为相反数．

四、交流反思

1.平面直角坐标系的有关概念及画法；

2.在直角坐标系中，根据坐标找出点；由点求出坐标的方法；

3.在四个象限内的点的坐标特征；两条坐标轴上的点的坐标特征；第一、三象限角平分线上点的坐标特征；第二、四象限角平分线上点的坐标特征；

4.分别关于x轴、y轴及原点的对称的两点坐标之间的关系．

五、检测反馈

1.判断下列说法是否正确：

(1)(2，3)和(3，2)表示同一点；

(2)点(－4，1)与点(4，－1)关于原点对称；

(3)坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0；

(4)第一象限内的点的横坐标与纵坐标均为正数．

2.在直角坐标系中描出下列各点，顺次用线段将这些点连起来，并将最后一点与第一点连起来，看看得到的是一个什么图形？

[来源:Zxxk.Com]

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11111(, 0),　（， 1），（3, 1），（1， 3），（2， 3），22222111

（， 6），（1， 6），（0， 8），（1， 6），（， 6），（2， 3），2221111（1， 3），（3， 1），（， 1），（， 0）22223.指出下列各点所在的象限或坐标轴：

A(－3,－5)，B(6,－7)，C(0,－6)，D(－3,5)，E(4,0)．

4.填空：

(1)点P(5,－3)关于x轴对称点的坐标是

；

(2)点P(3,－5)关于y轴对称点的坐标是

；

(3)点P(－2,－4)关于原点对称点的坐标是

．

5.如图是一个围棋棋盘，我们可以用类似于直角坐标系的方法表示各个棋子的位置．例如，图中右下角的一个棋子可以表示为(12,十三)．请至少说出图中四个棋子的“位置”．

[来源:Zxxk.Com]

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