2.4 三角形的中位线教学目标

教学设计

三角形的中位线

本章从内容上讲是《证明一》和《证明二》的继续，初三的学生对于推理证明的基本要求、基本步骤和方法已经初步掌握。对于本节课三角形中位线定义的理解及完成大部分练习也不是难事，但在本节学习中学生容易出现以下问题：一是如何证明线段的倍分问题；二是应用中位线性质定理时怎样添加辅助线的问题.

教学目标：

1.理解三角形中位线的概念，会证明三角形的中位线定理，能应用三角形中位线定理解决相关的问题；

2.进一步经历“探索—猜想—证明”的过程，发展探究能力、推理论证的能力；培养数学应用意识

3.在命题的证明过程中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力；

4.在定理的证明和应用过程中体归纳、类比、转化等数学思想方法。

四、教学重难点

重点：三角形中位线性质定理证明及应用

难点：用添加辅助线的方法来推证三角形中位线定理,了解证明线段倍分关系问题的基本要领. 五、教学准备：教师准备多媒体课件，三角板. 六、教学过程

（一）创设情境，导入新课

结合实际

1.多媒体展示右图，观察思考：

（1）图中的所有三角形有什么共同特征？

（2）这个图是怎样画出来的？

2.教师给出三角形的中位线的概念：

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线

3.引入课题：为什么作三角形的中位线就能画出这样美丽的

图案？三角形的中位线有什么性质？本节课探索

——三角形的中位线（板书课题）

B C D E A

1

（二）合作交流，探索新知

1.操作：作△ABC，并作△ABC的中位线

问题1：一个三角形有几条中位线？

2.探究活动一：探索三角形中位线的性质：

（1）猜想：三角形的中位线与第三边有怎样的关系？(注意从位置关系和数量关系两个方面思考)（让学生大胆猜想，开拓思维）

（2）交流猜想（鼓励学生说出自己的猜想，并说出猜想的方法）

①三角形的中位线与第三边有怎样的关系？

②你是怎样猜想出这一结论的？

归纳猜想方法：①直观感觉

②度量

③推理

④多画几个图观察

⑤借助几何画板拖动原三角形的顶点观察（感受猜想策略的多样性）

教师用几何画板演示：

①拖动点A，随着△ABC形状的改变，DE还是△ABC的中位线吗？线段BC的长度是否发生改变？DE和BC的关系还成立吗？

②拖动点B，随着△ABC形状的改变，DE还是△ABC的中位线吗？线段BC的长度是否发生改变？DE和BC的关系还成立吗？

得出结论：

三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。（板书）

（3）小组合作证明这一命题（教师巡视、指导）

（4）交流证明方法

1）学生交流解题思路后，将证明过程用实物投影展示（引导学生找出证明过程的优点和不足，进一步规范文字命题的证明步骤）（若无实物投影，在了解学生的一些证明思路后A 抽学生上黑板板演，与学生证明同步进行）

方法一：（由已知想可知）证△ADE∽△ABC 方法二：“加倍法”①延长DE至F,使EF=DE,连接FC. B D E C

②过点C作AB的平行线交DE的延长线于点F.（如图1）先证△ADE≌△CFE，再证四边形BCFD是平行四边形

③延长DE至F,使EF=DE,连接FC.、DC、AF.(如图2) 先证四边形ADCF是平行四边形，再证四边形BCFD是平行四边形

A

D

A A G D E E G A D F E E F D 2 B B C B 图2 C B C F C 图4

方法三：“折半法”①取BC的中点F,连接EF并延长至G，使EG=FG，连接AG（学生课后完成证明）

②取BC的中点F,连接EF，过点A作AG∥BC交FE的延长线于点G（如图3）

③取BC的中点F,连接EF并延长至G，使EG=FG，连接AG、GC、AF（如图4）

2）归纳总结解题思路：

①证明线段平行：可以由角相等或互补得平行，由平行四边形得出平行

②证明一条线段等于另一条线段的一半，当根据条件和图形直接证明困难时可添加辅助线，通常采用“加倍法”（将较短线段延长一倍）或“折半法”（将较长线段折半）构造全等三角形、平行四边证明

（5）得出定理

把这一真命题作为一个定理——三角形中位线的性质定理。

分清定理的条件和结论，并用符号语言表示定理

∵DE是△ABC的中位线

（或AD=BD,AE=CE或D为AB的中点，E为AC的中点）

1∴DE∥BC, DE=BC

2（三）练习巩固，深化拓展

1.如图，D为AB的中点，E为AC的中点

B B A D E C D E C A （1）若∠B=50°，则∠ADE=

, ∠BDE=

;为什么？

（2）若BC=12cm，则DE=

cm，为什么？

2.

已知:如图,A,B两地被池塘隔开,在没有任何测量工具的情况下,小明通过学习,估测A 出了A,B两地之间的距离:先在AB外选一点C,然后步测出AC、BC 的中点M,N,并测出MN的长,由此他就知道了A,B间的距离. （1）你能说出其中的道理吗? （2）若M、N之间有阻隔，你有什么解决的办法？

C N B M （注意:当有两边的中点时，可添加辅助线构造三角形中位线定理的基本图形解决问题）

A 3.如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点

（1）若AC=4cm,BC=6cm，AB=8cm，

则△DEF的周长=______；

D E 3

（2）若△ABC的周长为24，则△DEF的周长=______；

（3）三角形三条中位线围成的三角形的周长与原

三角形的周长有什么关系？

（4）图中有哪几个平行四边形？请证明。

（5）图中的四个三角形有什么关系？请证明你的结论？

（你能把一个三角形分成四个全等的三角形吗？应怎样分？）

（6）三角形三条中位线围成的三角形的面积与原三角形的面积有什么关系？为什么？

4.探究活动二：探索梯形的中位线与梯形两底的关系（小组合作，若时间不够，课后探究）

（1）梯形中位线的定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线. （2）探索：梯形的中位线与两底的关系. （四）归纳小结，反思提高

通过本节课的学习，你有什么收获？

你学到了哪些知识？你学会了哪些方法？你发现了哪些规律？

教师强调：1.三角形中位线定理是三角形中位线的性质定理，它揭示了三角形的中位线与第三边的位置关系和数量关系，利用中位线定理可以证明线段平行或倍分，两个结论可以分开使用，也可以联合使用；

2.证明线段倍分：可采用加倍法或折半法添加辅助线构造全等三角形、平行四边形证明；

3.若图中有两个中点，可设法构造三角形中位线定理的基本图形，利用三角形中位线定理解决问题。

（五）布置作业：课本习题3.3第2——5题

（六）板书设计：

三角形的中位线

定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线

定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。

∵DE是△ABC的中位线

A

练习区：

（或AD=BD,AE=CE）

(或D为AB的中点，E为AC的中点）

∴DE∥BC, DE=1BC

2B D E C

4