3. 简谐运动的图像和公式评课稿

第2讲

简谐运动的图像和公式

[目标定位]

1.知道所有简谐运动的图像都是正弦(或余弦)曲线.2.会根据简谐运动的图像找出物体振动的周期和振幅，并能分析有关问题.3.理解简谐运动的表达式，能从该表达式中获取振幅、周期(频率)、相位、初相等相关信息．

一、简谐运动的图像

1．坐标系的建立：以横坐标表示时间，纵坐标表示位移，描绘出简谐运动中振动物体离开平衡位置的位移x随时间t变化的图像，称为简谐运动的图像(或称振动图像)．

2．图像形状：严格的理论和实验都证明所有简谐运动的运动图像都是正弦(或余弦)曲线．

3.

由简谐运动图像，可找出物体振动的周期和振幅．

想一想

在描述简谐运动图像时，为什么能用薄板移动的距离表示时间？

答案

匀速拉动薄板时，薄板的位移与时间成正比，即x＝vt，因此，一定的位移就对应一定的时间，这样匀速拉动薄板时薄板移动的距离就能表示时间．

二、简谐运动的表达式

x＝Asin(ωt＋φ) 2π1其中ω＝T，f＝T，综合可得

2πx＝Asin(Tt＋φ)＝Asin(2πft＋φ)．

式中A表示振动的振幅，T和f分别表示物体振动的周期和频率．物体在不同的初始位置开始振动，φ值不同．

三、简谐运动的相位、相位差

1．相位

在式x＝Asin(2πft＋φ)中，“2πft＋φ”这个量叫做简谐运动的相位．

t＝0时的相位φ叫做初相位，简称初相．

2．相位差

指两振动的相位之差．

一、对简谐运动图像的认识

1．形状：正(余)弦曲线

2．物理意义

表示振动质点在不同时刻偏离平衡位置的位移，是位移随时间的变化规律．

3．获取信息

1(1)简谐运动的振幅A和周期T，再根据f＝求出频率．

T(2)任意时刻质点的位移的大小和方向．如图1－3－1所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2.

图1－3－1

图1－3－2 (3)任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图1－3－2中a点，下一时刻离平衡位置更远，故a此刻质点向x轴正方向振动．

(4)判断质点的速度、加速度、位移的变化情况：若远离平衡位置，则速度越来越小，加速度、位移越来越大；若靠近平衡位置，则速度越来越大，加速度、位移越来越小．

注意：振动图像描述的是振动质点的位移随时间的变化关系，而非质点运动的轨迹．比如弹簧振子沿一直线做往复运动，其轨迹为一直线，而它的振动图像却是正弦曲线．

图1－3－3

【例1】

如图1－3－3所示为某物体做简谐运动的图像，下列说法中正确的是(

) A．由P→Q，位移在增大

B．由P→Q，速度在增大

C．由M→N，位移先减小后增大

D．由M→N，加速度先增大后减小

解析

由P→Q，位置坐标越来越大，质点远离平衡位置运动，位移在增大而速度在减小，选项A正确，选项B错误；由M→N，质点先向平衡位置运动，经Fkx平衡位置后又远离平衡位置，因此位移先减小后增大，由a＝m＝－m可知，加速度先减小后增大，选项C正确，选项D错误．

答案

AC 借题发挥

简谐运动图像的应用

(1)可以从图像中直接读出某时刻质点的位移大小和方向、速度方向、加速度方向、质点的最大位移．

(2)可比较不同时刻质点位移的大小、速度的大小、加速度的大小．

(3)可以预测一段时间后质点位于平衡位置的正向或负向，质点位移的大小与方向，速度、加速度的大小和方向的变化趋势．

针对训练1

一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图1－3－4所示，由图可知(

)

图1－3－4 A．质点振动的频率是4 Hz B．质点振动的振幅是2 cm C．t＝3 s时，质点的速度最大

D．在t＝3 s时，质点的振幅为零

解析

由题图可以直接看出振幅为2 cm，周期为4 s，所以频率为0.25 Hz，所以选项A错误，B正确；t＝3 s时，质点经过平衡位置，速度最大，所以选项C正

确；振幅等于质点偏离平衡位置的最大位移，与质点的位移有着本质的区别，t＝3 s时，质点的位移为零，但振幅仍为2 cm，所以选项D错误．

答案

BC 二、简谐运动的表达式与相位、相位差

做简谐运动的物体位移随时间t变化的表达式

x＝Asin(2πft＋φ) 11．由简谐运动的表达式我们可以直接读出振幅A，频率f和初相φ.可根据T＝f求周期，可以求某一时刻质点的位移x. 2．关于两个相同频率的简谐运动的相位差Δφ＝φ2－φ1的理解

(1)取值范围：－π≤Δφ≤π.

(2)Δφ＝0，表明两振动步调完全相同，称为同相．

Δφ＝π，表明两振动步调完全相反，称为反相．

(3)Δφ>0，表示振动2比振动1超前．

Δφ<0，表示振动2比振动1滞后．

π【例2】

一个小球和轻质弹簧组成的系统按x1＝5sin8πt＋4cm的规律振动．



(1)求该振动的周期、频率、振幅和初相．

58πt＋(2)另一简谐运动的表达式为x2＝5sincm，求它们的相位差．

4π2π1解析

(1)已知ω＝8π rad/s，由ω＝T得T＝4

s，

1πf＝T＝4 Hz.A＝5 cm，φ1＝4. 5π(2)由Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)＝φ2－φ1得，Δφ＝4π－4＝π.

1π答案

(1)4

s

4 Hz

5 cm

4

(2)π

π针对训练2

有两个振动，其表达式分别是x1＝4sin100πt＋3cm，x2＝π5sin100πt＋6cm，下列说法正确的是

A．它们的振幅相同

B．它们的周期相同

(

)

C．它们的相位差恒定

D．它们的振动步调一致

解析

由简谐运动的公式可看出，振幅分别为4 cm、5 cm，故不同；ω都是100π 2π1πππrad/s，所以周期(T＝ω)都是50

s；由Δφ＝(100πt＋3)－(100πt＋6)＝6得相位差(为π6)恒定；Δφ≠0，即振动步调不一致．

答案

BC

简谐运动的图像

图1－3－5 1．如图1－3－5表示某质点简谐运动的图像，以下说法正确的是(

) A．t1、t2时刻的速度相同

B．从t1到t2这段时间内，速度与位移同向

C．从t2到t3这段时间内，速度变大，位移变小

D．t1、t3时刻的回复力方向相反

解析

t1时刻振子速度最大，t2时刻振子速度为零，故A不正确；t1到t2这段时间内，质点远离平衡位置，故速度、位移均背离平衡位置，所以二者方向相同，则B正确；在t2到t3这段时间内，质点向平衡位置运动，速度在增大，而位移在减小，故C正确；t1和t3时刻质点在平衡位置，回复力为零，故D错误．

答案

BC

图1－3－6 2．装有砂粒的试管竖直静立于水面，如图1－3－6所示，将管竖直提起少许，

然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动．若取竖直向上为正方向，则如图所示描述试管振动的图像中可能正确的是(

)

解析

试管在竖直方向上做简谐运动，平衡位置是在重力与浮力相等的位置，开始时向上提起的距离，就是其偏离平衡位置的位移，为正向最大位移．故正确答案为D. 答案

D 简谐运动的表达式

3．一弹簧振子A的位移y随时间t变化的关系式为y＝0.1sin 2.5πt，位移y的单位为m，时间t的单位为s.则(

) A．弹簧振子的振幅为0.2 m B．弹簧振子的周期为1.25 s C．在t＝0.2 s时，振子的运动速度为零

πD．若另一弹簧振子B的位移y随时间变化的关系式为y＝0.2 sin2.5πt＋4，则π振动A滞后B4

解析

由振动方程为y＝0.1 sin2.5πt，可读出振幅A＝0.1 m，圆频率ω＝2.5π，2π2π故周期T＝ω＝2.5π＝0.8 s，故A、B错误；在t＝0.2 s时，振子的位移最大，故ππ速度最小，为零，故C正确；两振动的相位差Δφ＝φ2－φ1＝2.5πt＋4－2.5πt＝4，ππ即B超前A4，或说A滞后B4，选项D正确．

答案

CD

π4．物体A做简谐运动的振动方程是xA＝3sin100t＋2

m，物体B做简谐运动的π振动方程是xB＝5sin100t＋6

m．比较A、B的运动(

) A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m B．周期是标量，A、B周期相等，都为100 s C．A振动的频率fA等于B振动的频率fB

πD．A的相位始终超前B的相位3

解析

振幅是标量，A、B的振动范围分别是6 m,10 m，但振幅分别为3 m,5 m，2π2πA错；A、B的周期均为T＝ω＝100

s＝6.28×10－2 s，B错；因为TA＝TB，故fAπ＝fB，C对；Δφ＝φA－φB＝3，为定值，D对．

答案

CD

题组一

简谐运动的图像

1．关于简谐运动的图像，下列说法中正确的是(

) A．表示质点振动的轨迹是正弦或余弦曲线

B．由图像可判断任一时刻质点相对平衡位置的位移大小与方向

C．表示质点的位移随时间变化的规律

D．由图像可判断任一时刻质点的速度方向

解析

振动图像表示位移随时间的变化规律，不是运动轨迹，A错，C对；由振动图像可判断质点位移和速度大小及方向，B、D正确．

答案

BCD 2．如图1－3－7所示是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法正确的是(

)

图1－3－7

A．振动周期是2×10－2 s B．第2个10－2 s内物体的位移是－10 cm C．物体的振动频率为25 Hz D．物体的振幅是10 cm 解析

振动周期是完成一次全振动所用的时间，在图像上是两相邻极大值间的距1离，所以周期是4×10－2 s．又f＝T，所以f＝25 Hz，则A项错误，C项正确；正、负最大值表示物体的振幅，所以振幅A＝10 cm，则D项正确；第2个10－2

s的初位置是10 cm，末位置是0，根据位移的概念有x＝－10 cm，则B项正确．

答案

BCD

图1－3－8 3．一质点做简谐运动的振动图像如图1－3－8所示，则该质点(

) A．在0～0.01 s内，速度与加速度同向

B．在0.01 s～0.02 s内，速度与回复力同向

C．在0.025 s时，速度为正，加速度为正

D．在0.04 s时，速度最大，回复力为零

解析

F、a与x始终反向，所以由x的正负就能确定a的正负．在x－t图像上，图线各点切线的斜率表示该点的速度，由斜率的正负又可确定v的正负，由此判断A、C正确．

答案

AC 4．图1－3－9甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是(

)

图1－3－9

A．在t＝0.2 s时，弹簧振子可能运动到B位置

B．在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子的速度相同

C．从t＝0到t＝0.2 s的时间内，弹簧振子的动能持续地增加

D．在t＝0.2 s与t＝0.6 s两个时刻，弹簧振子的加速度相同

答案

A

图1－3－10 5．如图1－3－10所示是某一质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是(

) A．在第1 s内，质点速度逐渐增大

B．在第1 s内，质点加速度逐渐增大

C．在第1 s内，质点的回复力逐渐增大

D．在第4 s内质点的动能逐渐增大

E．在第4 s内质点的势能逐渐增大

F．在第4 s内质点的机械能逐渐增大

解析

在第1 s内，质点由平衡位置向正向最大位移处运动，速度减小，位移增大，回复力和加速度都增大；在第4 s内，质点由负向最大位移处向平衡位置运动，速度增大，位移减小，动能增大，势能减小，但机械能守恒，选项B、C、D正确．

答案

BCD 6．一个弹簧振子沿x轴做简谐运动，取平衡位置O为x轴坐标原点．从某时刻开始计时，经过四分之一周期，振子具有沿x轴正方向的最大加速度．能正确反映振子位移x与时间t关系的图像是(

)

Fk解析

根据F＝－kx及牛顿第二定律得a＝m＝－mx，当振子具有沿x轴正方向的最大加速度时，具有沿x轴负方向的最大位移，故选项A正确，选项B、C、D错误．

答案

A

图1－3－11 7．图1－3－11为甲、乙两单摆的振动图像，则(

) A．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l甲∶l乙＝2∶1 B．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l甲∶l乙＝4∶1 C．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝4∶1 D．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝1∶4 解析

由图像可知T甲∶T乙＝2∶1，若两单摆在同一地点，则两摆长之比为l甲∶l乙＝4∶1；若两摆长相等，则所在星球的重力加速度之比为g甲∶g乙＝1∶4. 答案

BD 8．如图1－3－12甲、乙所示为一单摆及其振动图像，由图回答：

图1－3－12

(1)单摆的振幅为________，频率为________，摆长约为________；图中所示周期内位移x最大的时刻为____________．

(2)若摆球从E指向G为正方向，α为最大摆角，则图像中O、A、B、C点分别对应单摆中的________点．一个周期内加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是________．势能增加且速度为正的时间范围是________．

解析

(1)由纵坐标的最大位移可直接读取振幅为3 cm.从横坐标可直接读取完成1gT2一个全振动的时间即周期T＝2 s，进而算出频率f＝T＝0.5 Hz，算出摆长l＝4π2＝1 m. 从题图中看出纵坐标有最大值的时刻为0.5 s末和1.5 s末．

1(2)题图中O点位移为零，O到A的过程位移为正，且增大，A处最大，历时4周期，显然摆球是从平衡位置E起振并向G方向运动的，所以O点对应E点，A点对应G点．A点到B点的过程分析方法相同，因而O、A、B、C点对应E、G、E、F点．摆动中EF间加速度为正，靠近平衡位置过程中速度逐渐减小且加速度与速度方向相同，即从F到E的运动过程对应题图中C到D的过程，时间范围是1.5 s～2 s．摆球远离平衡位置势能增加，即从E向两侧摆动，又因速度为正，显然是从E到G的过程．对应题图中为O到A的过程，时间范围是0～0.5 s. 答案

(1)3 cm

0.5 Hz

1 m

0.5 s末和1.5 s末

(2)E、G、E、F

1.5 s～2 s

0～0.5 s 题组二

简谐运动的表达式与相位、相位差

9．有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向最大加速度，则它的振动方程是(

) πA．x＝8×10－3sin4πt＋2m πB．x＝8×10－3sin4πt－2m 3πt＋C．x＝8×10sinm 2π－14πD．x＝8×10－1sinπt＋2m 2ππ解析

ω＝T＝4π，当t＝0时，具有负向最大加速度，则x＝A，所以初相φ＝2，π4πt＋表达式为x＝8×10·sin m，A对．

2－3答案

A π10．某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝Asin 4t，，则质点(

)

A．第1 s末与第3 s末的位移相同

B．第1 s末与第3 s末的速度相同

C．第3 s末与第5 s末的位移方向相同

D．第3 s末与第5 s末的速度方向相同

π解析

根据x＝Asin 4t可求得该质点振动周期为T＝

8 s，则该质点振动图像如右图所示，图像的斜率为正表示速度为正，反之为负，由图可以看出第1 s末和第3 s末的位移相同，但斜率一正一负，故速度方向相反，选项A正确，B错误；第3 s末和第5 s末的位移方向相反，但两点的斜率均为负，故速度方向相同，选项C错误，D正确．

答案

AD 11．一个质点做简谐运动的图像如图1－3－13所示，下列叙述中正确的是(

)

图1－3－13 A．质点的振动频率为4 Hz B．在10 s内质点经过的路程为20 cm 3C．在5 s末，质点做简谐运动的相位为2π

D．t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点的位移大小相等，都是2 cm 1解析

由振动图像可直接得到周期T＝4 s，频率f＝T＝0.25 Hz，故选项A错误；一个周期内做简谐运动的质点经过的路程是4A＝8 cm,10 s为2.5个周期，故质点经过的路程为20 cm，选项B正确；由图像知位移与时间的关系为x＝Asin(ωtπ5π＋φ0)＝0.02sin 2tm.当t＝5 s时，其相位ωt＋φ0＝2×5＝2π，故选项C错误；

2在1.5 s和4.5 s两时刻，质点位移相同，与振幅的关系是x＝Asin 135°＝2A＝2 cm，故D正确．

答案

BD

图1－3－14 12．如图1－3－14所示，一弹簧振子在M、N间沿光滑水平杆做简谐运动，坐标原点O为平衡位置，MN＝8 cm.从小球经过图中N点时开始计时，到第一次经过O点的时间为0.2 s，则小球的振动周期为________s，振动方程为x＝________cm . TT2π5π解析

从N点到O点刚好为4，则有4＝0.2 s，故T＝0.8 s；由于ω＝T＝2，而5π振幅为4 cm，从最大位移处开始振动，所以振动方程为x＝4cos 2t cm. 5π答案

0.8

4cos 2t

13.

图1－3－15 如图1－3－15所示为A、B两个简谐运动的位移－时间图像．请根据图像写出：

(1)A的振幅是________ cm，周期是________ s；B的振幅是________cm，周期是________s. (2)这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式；

(3)在时间t＝0.05 s时两质点的位移分别是多少？

解析

(1)由图像知：A的振幅是0.5 cm，周期是0.4 s；B的振幅是0.2 cm，周期是0.8 s. (2)由图像知：t＝0时刻A中振动的质点从平衡位置开始沿负方向振动，φ＝π，2π由T＝0.4 s，得ω＝T＝5π.则简谐运动的表达式为xA＝0.5sin(5πt＋π) cm.t＝0时

1π刻B中振动的质点从平衡位置沿正方向已振动了4周期，φ＝2，由T＝0.8 s得ωπ2π＝T＝2.5π，则简谐运动的表达式为xB＝0.2sin2.5πt＋2cm. (3)将t＝0.05 s分别代入两个表达式中得：xA＝0.5sin(5π×0.05＋π) cm＝－π2252.5π×0.05＋0.5×2

cm＝－4

cm，xB＝0.2sincm＝0.2sin28π cm.

π答案

(1)0.5

0.4

0.2

0.8

(2)xA＝0.5sin(5πt＋π)cm，xB＝0.2sin2.5πt＋2cm

(3)xA＝－2

cm，

45xB＝0.2sin8π cm.

14．有一弹簧振子在水平方向上的B、C之间做简谐运动，已知B、C间的距离为20 cm，振子在2 s内完成了10次全振动．若从某时刻振子经过平衡位置时开1始计时(t＝0)，经过4周期振子有正向最大加速度．

图1－3－16 (1)求振子的振幅和周期；

(2)在图1－3－16中作出该振子的位移—时间图像；

(3)写出振子的振动方程．

xBC20 cm解析

(1)xBC＝20 cm，t＝2 s，n＝10，由题意可知：A＝2＝2＝10 cm，Tt2 s＝n＝10＝0.2 s.

1(2)由振子经过平衡位置开始计时经过4周期振子有正向最大加速度，可知振子此时在负方向最大位移处．所以位移—时间图像如图所示．

2π(3)由A＝10 cm，T＝0.2 s，ω＝T＝10π rad/s，故振子的振动方程为x＝10sin(10πt＋π)cm.

答案

(1)10 cm

0.2 s (2)如解析图所示

(3)x＝10sin(10πt＋π)cm