2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学实录及点评

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2.3 平面向量基本定理及坐标表示

林日平

年

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星期

第

节课

1.了解平面向量基本定理及其意义．

2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示．

3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．

4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 平面向量基本定理的应用及坐标表示下向量共线条件

向量的坐标运算与其他知识点交汇，其中以与三角和解析几何知识结合为常见．

讲练结合

优化设计材料

教学设计

备注

[知识疏理]

一、平面向量基本定理及坐标表示

1．平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

2．平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．

3．平面向量的坐标表示

(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝x

i＋yj，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．

(2)设OA＝xi＋yj，则向量OA的坐标(x，y)就是终点A的坐标，即若OA＝(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立．(O是坐标原点) 二、平面向量坐标运算

1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．

2．向量坐标的求法

(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝x2－x12＋y2－y12. 三、平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.若a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.

考点一：平面向量基本定理及其应用

[例1]

(2012·苏北四市联考)如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设AD＝a，AB＝b，若AB＝2DC，则AO＝________(用向量a和b表示)．

AN变式1．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，＝λAB＋μAC，则λ＋μ的值为(

) 111A.2

B.3 C.4

考点二：平面向量的坐标运算

[例2]

(1)已知向量a＝(3，1)，b＝(0，－2)．若实数k与向量c满足a＋2b＝kc，则c可以是(

) A．(3，－1)

B．(－1，－3) C．(－3，－1)

D．(－1, 3) D．1 (2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c. ①求3a＋b－3c；

②求满足a＝mb＋nc的实数m，n.

变式：本例中第(2)题增加条件CM＝3c，ON＝2b，求M，N的坐标及向量MN的坐标．

考点三：平面向量共线的坐标表示

[例3]

已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a

＋λb)∥c，则λ＝(

) 11A.4

B.2 C．1

变式：在本例条件下，问是否存在非零常数λ，使a＋λb和a－λc平行？若平行，

是同向还是反向？

D．2 课堂检测

1．若向量AB＝(1,2)，BC＝(3,4)，则AC＝(

) A．(4,6)

B．(－4，－6)

C．(－2，－2)

D．(2,2) 2．已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－2)，若a∥b，则a＋b等于(

) A．(－2，－1)

B．(2,1)

C．(3，－1)

D．(－3,1) 3．已知两点A(4,1)，B(7，－3)，则与AB同向的单位向量是(

) 433443A.5，－5

B.－5，5 C.－5，5

34D.5，－5

4．在平行四边形ABCD中，若AB＝(1,3)，则AD＝________，AC＝(2,5)，BD＝________. 5．梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别是CD，AB的中点，设AB＝a，AD＝b.若MN＝ma＋nb，n则m＝________. 课后作业

1.已知a＝(1,2)，b＝(2,3)，若a＋λb和b+λa平行,则λ=_______

2．已知向量a＝(6,4)，b＝(0,2)，OC＝a＋λb，O为坐标原点，若点C在函数πy＝sin12x的图象上，则实数λ的值为________．

m3．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则n＝

预习布置

课时跟踪检测以及4.3 【课后反思】