2.1.3 相等向量与共线向量教学设计一等奖

1 个性化教学辅导教案

课

题

教学目标

必修4第二章平面向量的概念以及线性运算

（1）平面向量的概念

（2）平面向量的线性运算

（3）共线定理的应用

1、

本章网络结构

1．向量的有关概念

名称

向量

零向量

单位向量

平行向量

共线向量

相等向量

相反向量

2.向量的线性运算

向量运算

定义

法则(或几何意义) 运算律

(1)交换律：

a＋b＝b＋a.

(2)结合律：

(a＋b)＋c ＝a＋(b＋c)．

减法

求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

a－b＝a＋(－b)

(1)|λa|＝|λ||a|；

(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 (1)λ(μa)＝(λμ)a；

(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；

(3)λ(a＋b)＝λa＋λb

定义

既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)

长度为0的向量；其方向是任意的

长度等于1个单位的向量

方向相同或相反的非零向量

方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量

长度相等且方向相同的向量

长度相等且方向相反的向量

0与任一向量平行或共线

两向量只有相等或不等，不能比较大小

0的相反向量为0 备注

平面向量是自由向量

记作0 a非零向量a的单位向量为±

|a|加法

求两个向量和的运算

数乘

求实数λ与向量a的积的运算

3.共线向量定理

1．向量的数乘

(1)长度：|λa|＝|λ||a|.

1

(2)方向

当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；

当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；

当λ＝0时，λa＝0，其方向是任意的．

2．向量的数乘的运算律

设λ，μ为实数，则①λ(μ a)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb. 3．向量共线定理

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa. a4．若a为非零向量，a0为其单位向量，则有a＝|a|·a0或a0＝. |a|[必会结论] →1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A1A2＋→→→A2A3＋A3A4＋…＋An－1An＝A1An.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．

12．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP＝(OA＋OB)．

2→→→3．若A、B、C是平面内不共线的三点，则PA＋PB＋PC＝0⇔P为△ABC的重心．

→→→题型分类

题型一

平面向量的概念

【例1】有下列几个命题：

1互为相反向量的两个向量模相等；

○2

若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合

○

，

∥

3

∥

则

∥

○

，

=

4

=

则

=

○5模相等的两个平行向量是相等向量

○6若向量○7若|○与是共线的向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上；

|=||，则=或=﹣；

8共线向量一定在同一条直线上；

○9若四边形ABCD是平行四边形,则ABCD,BCDA

○10若a与b平行，则ab|a||b|

○11零向量没有方向,单位向量都相等

○其中正确结论个数是（

）

2

【变1-1】设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是(

) A．0

B．1 C．2

D．3 答案

D 解析

向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. 题型二

平面向量的线性运算

【例2】

化简以下各式：

【变2-1】化简

【例3】

3

，则△ABC的形状为 【变3-1】若O是△ABC所在平面内一点，且满足

题型三

共线定理的应用

知识点：三点共线常见的表现形式主要有两种：

形式1：对于同一平面内不同三点

A，B，C ，

A，B，C 三点共线，其中

；

如果 形式2：已知

O，A，B，C 为平面内不同的四点，

（ ，

）

且

，

A，B，C 三点共线

且

【例4】设两个非零向量a与b不共线，

→→→(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；

(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

→→→(1)证明

∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，

→→→∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b) →＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB. →→∴AB、BD共线，又∵它们有公共点B，

∴A、B、D三点共线．

(2)解

∵ka＋b和a＋kb共线，

∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，

即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b. ∵a、b是两个不共线的非零向量，

∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1. 思维升华

(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．

(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a、b不共线．

【变

4-1】已知两个不共线向量

，

，且

,

,

= 2

，若A,B,D三点共线，求 的值为

.

4

答案

6 →→→|OC|＝4. cos30°解析

以OC为对角线，OA，OB的方向为边的方向作平行四边形ODCE(图略)．

→→由已知，得∠COD＝

30°，∠COE＝∠OCD＝90°.在Rt△OCD中，|OC|＝23，|OD|＝→→→→→→在Rt△OCE中，|OE|＝|OC|tan30°＝2.OD＝4OA

，OE＝2OB. →→→→→因为OC＝OD＋OE＝4OA

＋2OB，所以λ＝4，μ＝2.所以λ＋μ＝6. →→→14．设点O在△ABC内部，且有4OA＋OB＋OC＝0，求△ABC与△OBC的面积之比．

→→→解

取BC的中点D，连接OD，则OB＋OC＝2OD，

→→→1∵4OA＋OB＋OC＝0，∴4OA＝－(OB＋OC)＝－2OD，∴OA＝－OD.∴O、A、D三点共线，且|OD|＝2|OA

2∴O是中线AD上靠近A点的一个三等分点，∴S△ABC∶S△OBC＝3∶2. →→→→→→→→

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