2.5.2 向量在物理中的应用举例含PPT的教学设计及点评

2．5

平面向量应用举例

2．5.1

平面几何中的向量方法

2．5.2

向量在物理中的应用举例

1.理解用向量方法解决简单的平面几何问题、物理问题及其他一些实际问题．

2．掌握用向量方法解决问题的步骤，体会向量解决问题的优越性．

,

1．用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”

2．向量在物理学中的应用

(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决．

(2)物理学中的功是一个标量，即为力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角)．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)求力F1和F2的合力可按照向量加法的平行四边形法则．

(

) →→(2)若△ABC为直角三角形，则有AB·BC＝0.(

) →→(3)若向量AB∥CD，则AB∥CD.(

) 答案：(1)√

(2)×

(3)×

→→→→

在△ABC中，若(CA＋CB)·(CA－CB)＝0，则△ABC(

) A．是正三角形

C．是等腰三角形

答案：C

已知三个力F1＝(3，4)，F2＝(2，－5)，F3＝(x，y)和合力F1＋F2＋F3＝0，则F3的坐标为________．

答案：(－5，1) B．是直角三角形

D．形状无法确定

探究点1

向量在几何中的应用

如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD交BC于点E，求BE∶EC. →→解：法一：设BA＝a，BC＝b，|a|＝1，|b|＝2，

→则a·b＝|a||b|cos 60°＝1，BD＝a＋b.

→→→→→设BE＝λBC＝λb，则AE＝BE－BA＝λb－a.

→→由AE⊥BD，得AE·BD＝0，

即(λb－a)·(a＋b)＝0，

223解得λ＝，所以BE∶EC＝∶＝2∶3.

555法二：以B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，

13设B(0，0)，C(2，0)，则A，，

22535313→→D，.设E(m，0)，则BD＝，，AE＝m－，－，

222222→→由AE⊥BD，得AE·BD＝0，

1533m－－×＝0，

即2222446解得m＝，所以BE∶EC＝∶＝2∶3.

555

用向量方法解决平面几何问题的步骤

1.已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形为(

) A．梯形

C．矩形

B．菱形

D．正方形

3→→→→→→→→解析：选A.AB＝(3，3)，CD＝(－2，－2)，所以AB＝－CD，AB与CD共线，但|AB|≠|CD|，2故此四边形为梯形．

2．如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．

→→→→解：设AD＝a，AB＝b，则BD＝a－b，AC＝a＋b，

→而|BD|＝|a－b|＝a2－2a·b＋b2＝1＋4－2a·b＝5－2a·b＝2，

1→所以5－2a·b＝4，所以a·b＝，又|AC|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，

2→所以|AC|＝6，即AC＝6. 探究点2

向量在物理中的应用

两个力F1＝i＋j，F2＝4i－5j作用于同一质点，使该质点从点A(20，15)移动到点B(7，0)(其中i，j分别是与x轴、y轴同方向的单位向量)．求：

(1)F1，F2分别对该质点做的功；

(2)F1，F2的合力F对该质点做的功. →解：AB＝(7－20)i＋(0－15)j＝－13i－15j.

→(1)F1做的功W1＝F1·s＝F1·AB＝(i＋j)·(－13i－15j)＝－28.

→F2做的功W2＝F2·s＝F2·AB＝(4i－5j)·(－13i－15j)＝23.

→(2)F＝F1＋F2＝5i－4j，所以F做的功W＝F·s＝F·AB＝(5i－4j)·(－13i－15j)＝－5.

用向量方法解决物理问题的“三步曲”

1.已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为(

) A．53 N

C．10 N

`B．5 N

D．52 N 解析：选B.画出图形，如图，由题意|F1＋F2|＝10 N，所以|F1|＝|F1＋F2|cos 60°＝5 N，故选B.

2．中国青岛世界杯帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动．如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度大小为20 km/h，此时水的流向是正东方向，流速大小为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度．

解：如图建立平面直角坐标系xOy，风的方向为北偏东30°，速度大小为|v1|＝20 km/h，水流的方向为正东，流速大小为|v2|＝20 km/h，

设帆船行驶的速度为v，则v＝v1＋v2.

由题意，可得向量v1＝(20cos 60°，20sin 60°)＝(10，103)，向量v2＝(20，0)，

则帆船行驶速度v＝v1＋v2＝(10，103)＋(20，0)＝(30，103)，

所以|v|＝302＋（103）2＝203 km/h.

设v与v2的夹角为α，

1033则tan α＝＝，又α为锐角，所以α＝30°.

303所以帆船向东偏北30°方向行驶，速度大小为203 km/h.

1．向量方法在平面几何中应用的五个主要方面

→2＝→2. (1)要证明两线段相等，如AB＝CD，则可转化为证明ABCD→→(2)要证明两线段平行，如AB∥CD，则只要证明存在实数λ≠0，使AB＝λCD成立，且AB与CD无公共点．

→→(3)要证明两线段垂直，如AB⊥CD，则只要证明数量积AB·CD＝0. →→(4)要证明A，B，C三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使AB＝λAC. →→(5)要求一个角，如∠ABC，只要求向量BA与向量BC的夹角即可．

2．向量方法研究物理问题的相关知识

(1)力、速度、加速度和位移都是向量．

(2)力、速度、加速度和位移的合成和分解就是向量的加、减法．

(3)动量mv是数乘向量．

(4)功是力F与在力F的作用下物体所产生的位移s的数量积．

1．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3，2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝(

) A．(－1，－2)

C．(－1，2)

B．(1，－2)

D．(1，2) 解析：选D.由物理知识知f1＋f2＋f3＋f4＝0，故f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1，2)．

→→→→→→2．P是△ABC所在平面上的一点，若PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则P是△ABC的(

) A．外心

C．重心

B．内心

D．垂心

→→→→→→→解析：选D.由PB·(PA－PC)＝PB·CA＝0，得PB⊥CA.

→→→→→→→→→又PC·(PB－PA)＝PC·AB＝0，所以PC⊥AB，同理可得PA⊥CB，故P是△ABC的垂心．

3．已知力F＝(2，3)作用于一物体，使物体从A(2，0)移动到B(－2，3)，则力F对物体所做的功是________．

→解析：因为AB＝(－4，3)，

→所以W＝F·s＝F·AB＝(2，3)·(－4，3)＝－8＋9＝1.

答案：1 4．设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点，AB∥DC，试用向量证明：PQ∥AB. →→→→→→→→→1→→证明：设DC＝λAB(λ＞0且λ≠1)，因为PQ＝AQ－AP＝AB＋BQ－AP＝AB＋(BD－AC)

2→1→→→→＝AB＋[(AD－AB)－(AD＋DC)]

2→1→→＝AB＋(CD－AB)

21→→1→＝(CD＋AB)＝(－λ＋1)AB，

22→→所以PQ∥AB，又P，Q，A，B四点不共线，所以PQ∥AB. ,

→→→→1．已知平面内四边形ABCD和点O，若OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，且a＋c＝b＋d，则四边形ABCD为(

) A．菱形

C．矩形

B．梯形

D．平行四边形

→→解析：选D.由题意知a－b＝d－c，所以BA＝CD，所以四边形ABCD为平行四边形．故选D.

2．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3的作用而处于平衡状态．已知F1与F2的夹角为60°，且F1，F2的大小分别为2 N和4 N，则F3的大小为(

) A．6 N

C．25 N

B．2 N

D．27 N 解析：选D.由向量的平行四边形法则及力的平衡，得|F3|2＝|－F1－F2|2＝|F1|2＋|F2|2＋12|F1|·|F2|·cos 60°＝22＋42＋2×2×4×＝28，所以|F3|＝27 N. 23．河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为(

) A．10 m/s

C．46 m/s

解析：选B.由题意知|v水|＝2 m/s，|v船|＝10 m/s，作出示意图如图．

所以小船在静水中的速度大小

|v|＝102＋22＝104

＝226(m/s)．

→→4．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝5，AC·AB＝5，则AC的长为(

) A．1

C．3

→→→1→→解析：选B.因为BD＝AD－AB＝AC－AB，

22→21→→1→2→→→2所以BD＝2AC－AB＝AC－AC·AB＋AB，

4 B．226 m/s

D．12 m/s B．2

D．4 1→→即AC2＝1，所以|AC|＝2，即AC＝2. 45．在△ABC中，有下列四个命题：

→→→①AB－AC＝BC；

→→→②AB＋BC＋CA＝0；

③若(AB＋AC)·(AB－i)＝0，则△ABC为等腰三角形；

④若AC·AB>0，则△ABC为锐角三角形．

其中正确的命题有(

) A．①②

C．②③

B．①④

D．②③④

→→→→→

解析：选C.因为AB－AC＝CB＝－BC≠BC，所以①错误.AB＋BC＋CA＝AC＋CA＝AC－AC＝0，所以②正确．由(AB＋AC)·(AB－AC)＝AB2－AC2＝0，得|AB|＝|AC|，所以△ABC为等腰三角形，③正确.AC·AB>0⇒cos

A>0，所以A为锐角，但不能确定B，C的大小，所以不能判定△ABC是否为锐角三角形，所以④错误．故选C. 6．如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10牛，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米时，力F做的功为________焦耳．

→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→

解析：设小车位移为s，则|s|＝10米，

1WF＝F·s＝|F||s|·cos 60°＝10×10×＝50(焦耳)．

2答案：50 7．点P在平面上做匀速直线运动，速度v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P0的坐标为(－10，10)，则5秒后点P的坐标为________．

→解析：由题意知，P0P＝5v＝(20，－15)，

x＋10＝20，设点P的坐标为(x，y)，则

y－10＝－15，解得点P的坐标为(10，－5)．

答案：(10，－5) 8．一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子的速度是40 m/s，则鹰的飞行速率为________．

解析：设鹰的飞行速度为v1，鹰在地面上的影子的速度为v2，则|v2|＝40 m/s，因为鹰的运动方向是与水平方向成30°角向下，

故|v1|＝|v2|803＝(m/s)．

332803答案：

m/s 39.已知在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝FC1＝AC，试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形．

4→→证明：设AD＝a，AB＝b，

13→→→1→则DE＝AE－AD＝AC－a＝b－a，

444

3→13→→→FB＝AB－AF＝b－AC＝b－a，

444→→所以DE＝FB，且D，E，F，B四点不共线，所以四边形DEBF是平行四边形．

10．设作用于同一点的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，若|F1|＝1，|F2|＝2，且F1与F2的2夹角为π，如图所示．

3

(1)求F3的大小；

(2)求〈F3，F2〉的大小．

解：(1)由F1，F2，F3处于平衡状态，知F1＋F2＋F3＝0，

那么|F3|＝|－F1－F2|＝|F1＋F2|2＝21＋4＋2×1×2cos π＝3.

3π(2)建立如图所示的平面直角坐标系xOy，设〈F3，F2〉＝π－θ(0<θ<)，由该点受力平衡，2知

＝|F|，|F|cos θ＋|F|cos π3

2ππ|F|sin θ＝|F|cos3－2，31231即13cos θ＝2－，2π解得θ＝，

633sin θ＝，25π故〈F3，F2〉＝. 6[B

能力提升] →→11．在▱ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，若AC·BE＝1，则AB的长为(

) 1A．1

B.

213C.

D.

32解析：选B.设AB的长为a(a>0)，

→→→→→→→1→因为AC＝AB＋AD，BE＝BC＋CE＝AD－AB，

211→→→→→1→1→→1→2→2所以AC·BE＝(AB＋AD)·(AD－AB)＝AB·AD－AB＋AD＝－a2＋a＋1.

22224

11由已知，得－a2＋a＋1＝1.

2411又因为a>0，所以a＝，即AB的长为. 22→1→2→12．已知P为△ABC所在平面内一点，且满足AP＝AC＋AB，则△APB的面积与△APC的55面积之比为________．

→→→解析：5AP＝AC＋2AB，

→→→→→2AP－2AB＝AC－AP－2AP，

→→→－2(PA＋PB)＝PC，如图所示，以PA，PB为邻边作▱PAEB，

→→→则C，P，E三点共线，连接PE交AB于点O，则PC＝2EP＝4OP，

S△APB2S△APO2|OP|1所以＝＝＝.

|PC|2S△APCS△APC答案：1∶2 13．一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m．已知|F1|＝2 N，方向为北偏东30°，|F2|＝4 N，方向为北偏东60°，|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，求这三个力的合力F所做的功．

解：以三个力的作用点为原点，正东方向为x轴正半轴，正北方向为y轴正半轴建立平面直角坐标系，如图所示．

由已知可得F1＝(1，3)，F2＝(23，2)，F3＝(－3，33)．

所以F＝F1＋F2＋F3＝(23－2，43＋2)．

又位移s＝(42，42)，

所以F·s＝(23－2)×42＋(43＋2)×42＝246(J)．

故这三个力的合力F所做的功是246 J. 14．(选做题)如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD1＝DC. 2

求：(1)AD的长；

(2)∠DAC的大小．

→→解：(1)设AB＝a，AC＝b，

→→→→1→→1→→2→1→21则AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b.

333333

124221421→2→22所以|AD|＝AD＝3a＋3b＝a＋2×a·b＋b2＝×9＋2××3×3×cos 120°＋×9＝3.

999999故AD＝3.

(2)设∠DAC＝θ，

→→则θ为向量AD与AC的夹角．

→→AD·AC因为cos θ＝

→→|AD||AC|1222a＋1b·b＋a·bb33333×3＝33＝

所以θ＝90°，

即∠DAC＝90°.