阅读与思考 向量的运算（运算律）与图形性质教案推荐

一、教学目标

知识与技能：

1.理解向量数量积几何意义及求法2.综合运用数量积的知识解决相关问题

过程与方法：通过典型例题的分析、探究、交流，一题多解使学生从不同的角度理解向量的数量积运算及其几何意义

2．体会如何将含变量的向量问题转化为函数或者几何图形的最值问题，树立几何性质的在数学中的应用的意识。

情感态度与价值观：提高学生的数学素养，感受知识之间相互联系的同时体会“变”与“定”的关系。

二、学情分析

本节课是人教A版必修四的第二章《平面向量》的阅读与思考《向量的运算与图形性质》的延伸课，本节课是在高三一轮复习时进行，此时学生已经掌握了高中阶段向量所有运算及其运算姓质，对向量的工具作用也基本了解，会用定义和坐标来解决向量的数量积，也知道数量积的几何意义，给向量和夹角会求一向量在另一向量方向上的投影，但没有整体应用过，也没有在一道综合体中应用过，通过本节课的教学，一方面巩固数量积的定义和坐标求法，一方面旨在使学生感受几何法整体求解数量积的思路同时将含变量的向量问题转化为函数或者几何图形的最值问题，树立几何性质的在数学中的应用的意识。

三、教学重难点

教学重点：向量数量积的三种求法的灵活应用

教学难点：含变量的向量问题的转化函数思想和几何图形问题。

教学过程：

（一）基础复习引入

今天复***面向量运算的最后一种运算：数量积——点积；

【问题1】平面向量a,b的数量积是什么？有坐标的时候呢？

ab|a||b|cos

（为a与b的夹角）abx1x2y1y2

【问题2】你能想起数量积的物理背景吗？你能说明该运算中为什么有cos吗？

功WFSCOS，力与位移方向不同有夹角

FCOS为位移方向上的力，SCOS为力方向上的位移

【问题3】类比数量积的物理意义体会|a|cos与

|b|cos有什么几何意义呢？

|a|cosOA为a在b方向上的投影，

|b|cosOB'为b在a方向上的投影

（二）、典例分析

我们已经对向量的数量积有了初步理解，下面我们在具体问题中加深理解

例题1．在ABC中，ABAC4,BC23，D为BC边的中点，点P为BC所在直线上一动点，

（I）求ABBC和ABAC；

（II）求APAD的值．

（I）

ABBCABBCcos(ABD)6

ABACABACcosBAC10

师生活动：学生独立完成例1（1）教师提出问题

【问题4】对于第（I）问，向量AB,BC和ABAC的夹角是哪个角？如何求这两角的余弦值．

直角三角形或者余弦定理

设计意图：数量积定义的直接应用，巩固基本概念的同时体会向量数量积常规问题的解决方法

【问题5】对于第（II）你认为该题的难点在哪里？

AP是动向量所以向量AP的模以及两个向量的夹角均为变量的

（II）解法1：向量APABBC,ADAB1BC

2

所以：APAD(ABBC)(AB22111BC)ABBC()ABBC

222(

16612)(613)

11ABAC

22解法2：APABBPABBC(1)ABAC,AD

所以：2211111APAD(1)ABAC)(ABAC)ABACABBC

22222

(88)85

1

【教师引导】你为什么要将向量AP,AD转化为AB,BC来表示，这儿用到了什么方法解决向量解决问题？

线性表示法将动向量转化为定的向量，线性表示的理论依据为平面向量基本定理，需确定两不共线的向量为基底，通常选择有夹角的不共线两向量，实现了未知与已知的转化,变与不变的转化．

解法3：建立如图的直角坐标系：

由已知易求得：D(0,0),A(0,13),P(p,0)

所以：AD(0,13),AP(p,13)

所以：APAB(0,13)(p,13)01313

【教师引导】你为什么这样建系？如果动点P的坐标是（x,y），这道题还能这么简单解决吗？从中获得了哪些启发？

有垂直关系让更多的点落到坐标轴上。虽然设了变量但不一定求可以设而不求，控制变量的个数，尽可能的少，

解法4：在直角三角形ADP中可知|AP|cosPAD|AD|

故：APAD|AP||AD|cosPAD|AD|2(13)213

【教师引导】你是怎么想到这的？对于数量积AP,AD的数量积求解，向量AD是“定向量”，动向量APcos看做一整体，为AP在AD方向上的投影，无论p如何变化，利用“直角”可以探知APcos=AD为“定值”——利用几何图形，找到变中有定的几何意义．

【问题6】整体运用|a|cos与|b|cos需要在什么特殊图形中？

有垂直关系的图形中

【问题7】通过以上不同方法的求解我们进一步体会到变中求定的问题常用思路

思路1：

①用变量来表示变，再用变量表示条件和目标；

②利用条件，在目标中消去变量，求出定值．

思路2：利用几何意义发现变中有“定”的几何元素．

设计意图：由数量积的由模有夹角的常规问题向非常规问题的自然过渡，非常规问题如何转化为常规问题，4种方法分别从不同的角度将含有变量的向量问题进行了解决，然后师生共同总结变中有定问题常用思路进一步版主学生建构解题的基本策略方法和套路

（三）、课堂练习

由例题分析我们收获了很多启发，下面我门带着这些启发去解决几个实际问题

课堂练习1：如图，在ABC中，ADAB，BC3BD,|AD|1，点Q在线段AB上（不与A,B重合）求

（I）DQAD；

（II）ACAD．

（I）略

（II）解法一：因为

ACABBCAB3BDAB3(ADAB) 3AD(13)AB

所以ACADAD[3AD(13)AB]3|AD|23

解法二：建立如图所示的直角坐标系，设B(b,0),C(x,y)

则AC(x,y),AD(0,1),BD(b,1),BC(xb,y)

xb3b所以由BC3BD

y3所以：ACADy3．

【教师引导】通过基底，应用平面向量基本定理，将向量分解转化为其他“信息量大”的向量进行运算，从而使问题得以解决

解法三：过C作CC1垂直AD交AD的延长线于点C1，



ACAD|AC1||AD|

由三角形的相似性可得：DCDC1BCAC13AC13AD3

BDADBDAD

ACAD|AC1||AD|133．

设计意图：巩固数量积3种求法的同时帮助学生应用刚刚建构的解决问题的意识、策略、套路、方法，遵循并优化学生的数学思维，提高学生数学素养.

练习２．如图，在圆O中，若弦AB3,弦AC5，

则AOBC的值是

．

【问题7】分析本题AO,BC向量相关的信息都不知道，故想到需要将向量转化，那分解哪个向量呢？转化成什么向量呢？

【问题8】BCACAB，则目标AOBCAO(ACAB)，那么|AO|cosCAO和|AO|cosBAO，需要直角三角形的环境才可以求得，在圆中如何出现相关的直角三角形？

解法一：

BCACAB

AOBCAOACAOAB

22

=1AC-1AB822

解法二：

1AOBC(AGACAGAB)

2

221

(ACAB)=82

【问题9】此题也可以，建立直角坐标系，课后思考：

（1）如何建立合适的直角坐标系，方便沟通条件和目标；

（2）如何大胆假设未知量表示条件和目标；

（3）表达式如何处理．

设计意图：巩固几何法求数量积的基本步骤及关键将动向量及动夹角余弦值看作

一个整体然后利用条件构造直角三角形在直角三角形内解决问题体会转化化归思想的应用问题9的设计目的在于让学生明确坐标法不是不能做同时为学有余力的学生提供更好的反战空间，体现了数学课堂的延伸．

（四）、应用迁移

例题3．已知圆C的方程x(y2)1，点P是圆C上的动点，

定点Q(1,3),

O为坐标原点，求OPOQ的最大值．

【教师引导】分析本题，是动中求最值的问题，一般有代数和几何两种思路：

（1）代数的思路：①设定变量表示“动”

②条件和目标翻译成变量关系

③解决代数关系（可以代数求解，也可以用再转化为几何图形求解）求出最值

——函数方程思想．

（2）几何的思路：①抓住“定”的几何量和“变”的几何量；

②找到变化过程中，目标的最值的临界状态；

③求出最值临界状态的最值．

22

思路一：设P(x0,y0)，则由点P在圆x2(y2)21上得：

x02(y02)21

——条件

则：OQOP(1,3)(x0,y0)x03y0

——目标

x0cos解法一：由x0(y02)1可令([0,2))

y2sin022OQOPx03y0cos3sin23232．

解法二：令zx03y0，则在以x0Oy0的直角坐标系中，要求目标zx03y0的范围，可以看成是圆x02(y02)21与直线有交点时，z的取值范围，故得到：

|023z13|1232z

23．2思路2：由已知可得到，向量OQ为“定”的向量，OP为变化的“动”向量，通过几何画OP在向量OQ上的投影的变化，板演示动点P在运动变化的过程中，观察图形可得到：当最直线与圆相切且垂直于OQ时，投影最大，OPOQ取得最大．

设计意图：在例1变中找定的问题基础上进行应用迁移如果变中有变如何解决？有一般到特殊的过程，符合学生的认知规律，同时将本节课推向了高潮，理解该题型解法的同时教会学生如何应用意识、套路、策略解题，如何寻找解题的策略套路进一步发展学生逻辑推理和数学运算等核心素养．

带着动中求最值的常用解题思路目的去解决巩固提升的问题

（五）、巩固提升

练习3.如图，点P为直线xy4上动点，直线PM与圆x2y24切于点M，求．

POPM的最小值（O为坐标原点）

2

解：POPM=PM

22

POR2PO4

24POd22

min2

POPM4

min

教师引导：本题目中的动的有哪些？不变的有哪些？进一步引导学生发现动中的“定”元素只有垂直关系和

OM

不变，利用投影将

PO



PM

转化为PO的最值，

将动与定建立联系

（六）总结归纳

通过本节课你收获了哪些？

定义知识

几何意义

变中找定

题型动中求最值

线性表示法方法坐标法几何法：垂直关系

投影转化化归思想方法数形结合函数思想

教师引导：通过前面的复习我们可以发现所有向量问题都能转化为代数问题和几何问题通过本节课的复习我们充分体会向量的作用沟通了代数和几何实现了代数和几何的完美集合。

设计意图：教师引导学生归纳本节课的知识要点和思想方法，使学生对本节课的学习有一个较为整体、全面认识，同时，使学生养成良好的学习习惯．

（七）布置作业：

必做：大本P48第

2竖排的3、5、6、8、11 选做：大本P50第

3竖排的6 设计意图：通过作业的设计，可以让学生感受到利用所学的知识可以解决一些问题，充分体现所学知识的必要性．设置选做题可以调动学生学习的积极性，也体现了分层教学，同时对学有余力的同学留出自由发展的空间

八、板书设计

1.定义

2.几何意义

3. 变中找定线性表示法4、题型

转化化归动中求最值

方法坐标法5、思想方法数形结合几何法：垂直关系

投影

函数思想

九、教学反思

本节课的设计因为方法种类较多所以忽视了一部分反映相对慢的学生的感受，其中一孩子下课后与我交流例2其实他还有一种解法特别简单：OPOCCP



OPOQOCCPOQOCOQOQ

C

P模、夹角均固定所以数量OC、OQ积是定值OCOQ=23、CP、OQ的模固定只有夹角不确定所以只需夹角余弦值取最大即当CP、OQ共线同向时取得最大值，思路很清晰简单，而且用了变中找定和线性表示的方法非常合理。但由于时间的仓促没来及在课堂上展示很遗憾！另一方面说明学生的思维激发的不够理想，虽然直接给出这一类问题的常用思路方法可以帮助大部分学生尽快顺利的掌握通行通法，但忽视了学生思维的培养!应该两个方法综合使用对不同学生使用不同的方法。

十、拓展提升

1．已知a,bR,2a2b21,则2ab的最大值为#.

2.ABC是边长为23的等边三角形，P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，APBP的取值范围是