阅读与思考 向量的运算（运算律）与图形性质教案3

2.2.1 向量加法运算及其几…

高中数学 人教A版2003课标版

1教材分析

《向量的加法运算及其几何意义》选自人教版《必修4》第2.2.1节，内容包括向量加法的平行四边形法则、三角形法则及应用，向量加法的运算律及应用。本节课是学***面向量基本概念之后的一节比较重要的课,通过类比数的运算，研究向量的运算及运算律，渗透数学建模的思想。向量的加法更是后续学习的铺垫。这一节充分体现了向量既是代数的对象，又是几何的对象，作为代数对象，可以像数一样进行运算，作为几何对象，可以刻画出三角形与平行四边形等几何对象，是数学中数形结合思想的典型体现。

2学情分析

学生通过对前面的学习，对向量的概念、几何表示、相等向量、共线向量有一定的掌握。在物理学科的学习中，也知道位移、速度、力等物理量也是向量（矢量），而且知道这些矢量的合成遵循平行四边形法则，为本节课学习提供了较好的条件。但是学生容易把向量加法运算与实数加法运算混淆。

3教学目标：

知识目标：

1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；

2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量。

3、掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算。

能力目标：

通过向量加法运算培养学生数形结合的能力，通过类比位移的合成与力的分析引入向量的加法，探

索向量加法的性质、规律，培养学生合情推理能力。

情感目标：

通过向量加法运算及其几何意义及物理学科联系，养成学生能综合运用所学知识，解决实际问题

4重点难点

教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义. 5教学过程 5.1 第一学时 教学活动

活动1【导入】情景设置

一、设置情景：

1、复习：向量的定义，几何表示，相等向量，共线向量等有关概念

【设计意图：复习前面所学内容，为本节课内容学习做知识铺垫】

2、情景设置1：

春运一票难求

，“曲线回家”走红：说一个在北京工作的白领，为了从北京回昆明回家过春节，由于直飞航班一票难求，竟然先“借道”曼谷，然后再转机回家，全程的价格与直飞持平，而且顺利买到两段的机票。

3、情景设置2：

图1表示橡皮条在两个力F1和F2的作用下，沿MC方向伸长了EO；图2表示橡皮条在一个力F的作用下，沿相同方向伸长了相同长度.从力学的观点分析，力F与F1、F2之间的关系如何？

【设计意图：通过一个新闻（物理的位移）和一个典型的物理实验（物理的力的分析）出发，让学生熟知该知识背景。情景1让学生更容易理解向量加法的三角形法则，情景2让学生理解向量加法的平行四边形法则。】

活动2【活动】探索研究

二、探索研究：

１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

２、向量加法的三角形法则：

根据情景设置1，由此得出向量加法的定义和向量加法的三角形法则，

如图已知两个向量

，试做出它们的和向量。

做法：________________________________________

_____________________________________________ 归纳：____首尾相接，首尾连_________ 【设计意图：让学生更好的理解向量加法的三角形法则，熟悉做法步骤，培养学生的总结与归纳能力。在不同学生的做图中初窥向量加法的交换律。】

练习：（1）

（2）

【设计意图：让学生更好的熟悉向量加法的三角形法则，尤其向量的字母运算及规律。】

3．向量加法的平行四边形法则：

根据情景设置2，由此得出向量加法的平行四边形法则。

试用平行四边形法则做出前面所给两向量的和向量，并总结出做法及规律

做法：_______________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ 归纳：____两向量共起点，和向量是与这两个向量有公共起点的一条对角线_________ 【设计意图：让学生更好的理解向量加法的平行四边形法则，熟悉做法步骤，培养学生的总结与归纳能力。并能比较三角形法则。】

4. 合作与探究：

（1）如图已知两个共线向量

，试做出它们的和向量。

（2）当向量

与

不共线时， + 、

、

的方向________，且| + | | |+| |；

（3）当

与

同向时，则 + 、

、

的方向 ，且| + | | |+| |，

当

与

反向时，若| |>| |，则 + 的方向与 相同，且| + |= ；

若| |<| |，则 + 的方向与 相同，且| + |=______。

（4）由（2）（3）得| + | | |+| | 【设计意图：让学生理解共线向量的加法，培养学生的合作与探究能力。并能比较向量的加法与数的加法的区别与联系。】

５．向量加法的交换律与结合律：

交换律： + = + 结合律：( + ) + = + ( + ) 你能作图证明结合率吗？

【设计意图：通过作图证明帮助学生更好的熟悉向量加法法则的作法，培养学生数形结合的思想。】

活动3【活动】应用举例

例、长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输。如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以

的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2 km/h 。求船实际航行速度的大小与方向（用与江水速度间的夹角表示）．

【设计意图：通过例题深化对向量加法的理解，并能运用向量的加法解决一些简单的实际应用题。】

练习巩固：

P84 第1、2、3、4题。

活动4【讲授】小结与作业

四、小结 1、向量加法的几何意义；

２、交换律和结合律；

３、注意：| + | ≤ | | + | |，当且仅当方向相同时取等号.

五、课后作业：

P91第２、4（1）（2）（3）题

2.2.1 向量加法运算及其几何意义

课时设计

课堂实录

2.2.1 向量加法运算及其几何意义

1第一学时 教学活动

活动1【导入】情景设置

一、设置情景：

1、复习：向量的定义，几何表示，相等向量，共线向量等有关概念

【设计意图：复习前面所学内容，为本节课内容学习做知识铺垫】

2、情景设置1：

春运一票难求

，“曲线回家”走红：说一个在北京工作的白领，为了从北京回昆明回家过春节，由于直飞航班一票难求，竟然先“借道”曼谷，然后再转机回家，全程的价格与直飞持平，而且顺利买到两段的机票。

3、情景设置2：

图1表示橡皮条在两个力F1和F2的作用下，沿MC方向伸长了EO；图2表示橡皮条在一个力F的作用下，沿相同方向伸长了相同长度.从力学的观点分析，力F与F1、F2之间的关系如何？

【设计意图：通过一个新闻（物理的位移）和一个典型的物理实验（物理的力的分析）出发，让学生熟知该知识背景。情景1让学生更容易理解向量加法的三角形法则，情景2让学生理解向量加法的平行四边形法则。】

活动2【活动】探索研究

二、探索研究：

１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

２、向量加法的三角形法则：

根据情景设置1，由此得出向量加法的定义和向量加法的三角形法则，

如图已知两个向量

，试做出它们的和向量。

做法：________________________________________ _____________________________________________ 归纳：____首尾相接，首尾连_________ 【设计意图：让学生更好的理解向量加法的三角形法则，熟悉做法步骤，培养学生的总结与归纳能力。在不同学生的做图中初窥向量加法的交换律。】

练习：（1）

（2）

【设计意图：让学生更好的熟悉向量加法的三角形法则，尤其向量的字母运算及规律。】

3．向量加法的平行四边形法则：

根据情景设置2，由此得出向量加法的平行四边形法则。

试用平行四边形法则做出前面所给两向量的和向量，并总结出做法及规律

做法：_______________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ 归纳：____两向量共起点，和向量是与这两个向量有公共起点的一条对角线_________ 【设计意图：让学生更好的理解向量加法的平行四边形法则，熟悉做法步骤，培养学生的总结与归纳能力。并能比较三角形法则。】

4. 合作与探究：

（1）如图已知两个共线向量

，试做出它们的和向量。

（2）当向量

与

不共线时， + 、

、

的方向________，且| + | | |+| |；

（3）当

与

同向时，则 + 、

、

的方向 ，且| + | | |+| |，

当

与

反向时，若| |>| |，则 + 的方向与 相同，且| + |= ；

若| |<| |，则 + 的方向与 相同，且| + |=______。

（4）由（2）（3）得| + | | |+| | 【设计意图：让学生理解共线向量的加法，培养学生的合作与探究能力。并能比较向量的加法与数的加法的区别与联系。】

５．向量加法的交换律与结合律：

交换律： + = + 结合律：( + ) + = + ( + ) 你能作图证明结合率吗？

【设计意图：通过作图证明帮助学生更好的熟悉向量加法法则的作法，培养学生数形结合的思想。】

活动3【活动】应用举例

例、长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输。如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以

的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2 km/h 。求船实际航行速度的大小与方向（用与江水速度间的夹角表示）．

【设计意图：通过例题深化对向量加法的理解，并能运用向量的加法解决一些简单的实际应用题。】

练习巩固：

P84 第1、2、3、4题。

活动4【讲授】小结与作业

四、小结 1、向量加法的几何意义；

２、交换律和结合律；

３、注意：| + | ≤ | | + | |，当且仅当方向相同时取等号. 五、课后作业：

P91第２、4（1）（2）（3）题