复习参考题名师教学设计1

第二节

古典概型

【最新考纲】

1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会用列举法计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率．

1．基本事件的特点

(1)任何两个基本事件是互斥的．

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．

2．古典概型

具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．

(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．

(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．

3．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现1的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件nmA包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝．

n4．古典概型的概率公式

A包含的基本事件的个数P(A)＝．

基本事件的总数

1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在一次试验中，每个基本事件发生的可能性一定相等．(

) (2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．(

) (3)从－3，－2，－1，0，1，2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同. (

) (4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率(

) 答案：(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

2．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于(

) 11A.

B.

18911C.

D.

612解析：掷两颗骰子，点数有以下情况：

(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，

(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，

(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共36种，其中点数和为5的有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种，故所求概率为答案：B

3．(2017·豫东名校联考)在集合A＝{2，3}中随机取一个元素m，41＝. 369

在集合B＝{1，2，3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为(

) 11A.

B.

2332C.

D.

45解析：点P(m，n)共有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，6种情况，只有(2，1)，(2，2)这2个点在圆x2＋y2＝9的内211部，所求概率为＝，故填. 633答案：B

4．(2015·课标全国Ⅰ卷)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为(

) 31A.

B.

10511C.

D.

1020解析：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，其中勾股数只有{3，4，5}．

所以这3个数构成一组勾股数的概率P＝答案：C

5．(2014·广东卷)从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为________．

解析：总的取法有：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de1. 10

4共10种，其中含有a的有ab，ac，ad，ae共4种，故所求概率为102＝.

52答案：

5

一点提醒

在计算古典概型中基本事件与要发生事件的事件数时，切莫忽视它们是否是等可能的．

两种方法

基本事件个数的确定方法

1．列举法：适用于较简单的试验．

2．树状图法：适用于较为复杂的问题中的基本事件的探求．另外在确定基本事件时，(x，y)若看成是有序的，则(1，2)与(2，1)不同；{x，y}若看成无序的，则{1，2}与{2，1}相同．

两个技能

处理较为复杂的概率问题的两种技能

一是转化为几个互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式进行求解；

二是采用间接法，先求事件A的对立事件A的概率，再由P(A)＝1－P(A)求事件A的概率．

一、选择题

1．集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是(

) 21A.

B.

3211C.

D.

36解析：从A，B中任意取一个数，共有{2，1}，{2，2}，{2，3}，{3，1}，{3，2}，{3，3}6种情形．其中两数和等于4的情形只有{2，212}，{3，1}两种，∴P＝＝.

63答案：C

2．(2017·石家庄一模)某单位计划在3月1日至7日举办人才交流会，某人随机选择其中的连续两天参加交流会，那么他在1日至3日期间连续两天参加交流会的概率为(

) 11A.

B.

2311C.

D.

46

解析：在1日至7日选连续两天，有基本事件(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，(6，7)共6个．

其中满足条件的基本事件为(1，2)，(2，3)共2个．

21因此所求事件的概率P＝＝. 63答案：B

3．(2015·广东卷)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为(

) A．0.4

B．0.6 C．0.8

D．1 解析：记3件合格品分别为A1，A2，A3；2件次品为B1，B2.

从中取2件，有{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}共10种可能结果．

其中恰有一件次品的事件有6种可能．

故所求事件的概率P＝答案：B

4．(2014·陕西卷)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为(

) 12A.

B.

5534C.

D.

55解析：设正方形的四个顶点分别为A，B，C，D，中心为点O.任取两点的线段分别为AB、AC、AD、AO、BC、BD、BO、CD、CO、DO共10条，其中线段长度(2个点的距离)小于正方形边长的6＝0.6. 10

分别是AO、BO、CO、DO共4种．

43故所求事件的概率P＝1－＝. 105答案：C

5．从1，2，3，4，5，6六个数中任取2个数，则取出的两个数不是连续自然数的概率是(

) 32A.

B.

5512C.

D.

33解析：记“取出的两个数不是连续自然数”为事件A，则A表示“取出的两个数是连续自然数”．

∵事件A有5种情况，且从6个数中任取2个有15种情况．

512∴P(A)＝＝，因此P(A)＝1－P(A)＝. 1533答案：D

二、填空题

6．(2014·课标全国Ⅱ卷)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．

解析：甲、乙两名运动员选择运动服颜色有(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，白)，(白，红)，(白，蓝)，(蓝，蓝)，(蓝，白)，(蓝，红)，共9种．

而同色的有(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种．

31所以所求概率P＝＝. 931答案：

3

nπ7．在集合xx＝，n＝1，2，3，…，10中任取一个元素，31所取元素恰好满足方程cos x＝的概率是________．

21解析：基本事件总数为10，满足方程cos x＝的基本事件数为2，221故所求概率为P＝＝.

1051答案：

58．(2014·浙江卷)在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖. 甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．

解析：记“两人都中奖”为事件A，

设中一、二等奖及不中奖分别记为1，2，0，那么甲、乙抽奖结果有(1，2)，(1，0)，(2，1)，(2，0)，(0，1)，(0，2)，共6种．其中21甲、乙都中奖有(1，2)，(2，1)，2种，所以P(A)＝＝.

631答案：

39．(2016·青岛调研)将号码分别为1，2，3，4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为b，则使不等式a－2b＋4<0成立的事件发生的概率为________．

解析：由题意知(a，b)的所有可能结果有4×4＝16个．其中满足a－2b＋4<0的有(1，3)，(1，4)，(2，4)，(3，4)共4种结果．

41故所求事件的概率P＝＝.

1641答案：

4

三、解答题

10．(2015·天津卷)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．

(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数．

(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．

①用所给编号列出所有可能的结果；

②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．

解：(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3，1，2.

(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．

②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种．

93因此，事件A发生的概率P(A)＝＝. 15511．先后掷一枚质地均匀的骰子，分别记向上的点数为a，b.事件A：点(a，b)落在圆x2＋y2＝12内；事件B：f(a)<0，其中函数f(x)3＝x2－2x＋. 4

(1)求事件A发生的概率；

(2)求事件A、B同时发生的概率．

解：(1)先后掷一枚质地均匀的骰子，有6×6＝36种等可能的结果．

满足落在圆x2＋y2＝12内的点(a，b)有：(1，1)、(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，2)、(3，1)共6个．

61∴事件A发生的概率P(A)＝＝.

366313(2)由f(a)＝a－2a＋<0，得

4222又a∈{1，2，3，4，5，6}，知a＝1.所以事件A、B同时发生时，有(1，1)，(1，2)，(1，3)共3种情形．

故事件A、B同时发生的概率为P(AB)＝

31＝. 3612