2.1.2 向量的几何表示优秀教案设计

1.4

平面向量

高考命题规律

1.高考必考考题.选择题或填空题,5分,中低档难度,主要考查向量的坐标运算.

2.全国高考有4种命题角度,分布如下表.

2014年

2015年

2016年

2019年高考必备

命题

角度1

命题

角度2

命题

角度3

命题

角度4

平面向量的线性运算、平面向量基本定理

平面向量的坐标运算

2017年

2018年

ⅠⅡⅠⅡⅠⅡⅢⅠⅡⅢⅠⅡⅢ卷

卷

卷

卷

卷

卷

卷

卷

卷

卷

卷

卷

卷

6

7

2

4

13

13

3

13

13

13

计算平面向量的数量积

4

4

平面向量数量积的应用

4

命题角度1平面向量的线性运算、平面向量基本定理

高考真题体验·对方向

=(

) 1.(2018全国Ⅰ·7)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则

A.

C.

答案

A 解析

B.

D.

=-

如图,

=-

) 1

=

) =

.

=

=(

)

2.(2014全国Ⅰ·6)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则 A.

答案

A

=-

)-

)=-

解析

由于D,E,F分别是BC,CA,AB的中点,所以

B.

C.

D.

)=

)=

×2

,故选A.

3.(2014福建·10)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一

等于(

) 点,则

A. 答案

D

=2

=2 ,所以解析

因为M是AC和BD的中点,由平行四边形法则,得

=4 .故选D.

B.2

C.3

D.4 新题演练提能·刷高分

1.(2018重庆二诊)已知两个非零向量a,b互相垂直,若向量m=4a+5b与n=2a+λb共线,则实数λ的值为

(

) B.3 C.2.5 D.2

A.5 答案

C 解析

∵向量m=4a+5b与n=2a+λb共线, ∴存在实数t,使得m=tn,即4a+5b=t(2a+λb), 又向量a,b互相垂直,故a,b不共线.

∴

解得

故选C.

=a, 2.(2018山西一模)在平行四边形ABCD中,点E为CD的中点,BE与AC的交点为F,设 =b,则

=(

) 向量 A.

a+

b

C.-

a+

b

B.-

a-

b

D.

a-

b

2

答案

C

)=

(b-

a)=-

a+

b,故选C.

解析

3.(2018安徽安庆二模)在△ABC中,点D是边BC上任意一点,M是线段AD的中点,若存在实数λ和μ, +μ

,则λ+μ=(

) 使得 =λ A.

答案

B

=t(

).

=t 解析

因为点D在边BC上,所以存在t∈R,使得

, 因为M是线段AD的中点,所以

)=(- +t -t )=-(t+1)

B.-

C.2 D.-2

+μ

,所以λ=-

(t+1),μ=

t,所以λ+μ=-

.故选B.

又 =λ

4.(2018福建福州3月质量检测)如图,在平面四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠DCA=2∠BAC,若 +y

(x,y∈R),则x-y=

.

=x

答案

-1 解析

过点D作BC的垂线,交BC的延长线于点M,设∠BAC=α,则∠ACD=2α,∠ACB=90°-α, ∴∠DCM=180°-2α-(90°-α)=90°-α.

∴Rt△ABC∽Rt△DMC, ∴

=k.

3

+y

,

=x ∵

∴x= =k,y=

=k+1, ∴x-y=-1.故答案为-1.

+y

,则x+y的值是

.

=x

5.(2018河南濮阳二模)如图,有5个全等的小正方形,

答案

1 ,而

,所以

=2 解析

由平面向量的运算可知

=2

=2

-(2

)=3

-2

,注意到

不共线,且

+y

,即

=x

+y

=3

-2

,所以x=3,y=-2,即x+y=1.

x

6.

(2018四川“联测促改”)在平面向量中有如下定理:设点O,P,Q,R为同一平面内的点,则P、Q、R三点 =(1-t)

+t .试利用该定理解答下列问题:如图,在△ABC中,点共线的充要条件是:存在实数t,使

+y

,则E为AB边的中点,点F在AC边上,且CF=2FA,BF交CE于点M,设 =x

x+y=

.

答案

解析

∵B,M,F三点共线, =(1-t) +t

, ∴存在实数t,使得 =2

, 又

, ∴ =2(1-t)

又E,M,C三点共线,

∴2(1-t)+

t=1,解得t=

.

+t

, ∴ =2(1-t)

∴x=

,y=

,x+y=

.

命题角度2平面向量的坐标运算

4

高考真题体验·对方向

1.(2016全国Ⅲ·3)已知向量

,则∠ABC=(

) A.30°

B.45°

C.60°

D.120°

答案

A 解析

因为

, 所以

.

又因为

=| |·|

|cos∠ABC

=1×1×cos∠ABC=cos∠ABC, 所以cos∠ABC=

,即∠ABC=30°.故选A.

2.(2018全国Ⅲ·13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=

.

答案

解析

2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,λ), 由c∥(2a+b),得4λ-2=0,得λ=

.

3.(2017全国Ⅲ·13)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a⊥b,则m=

.

答案

2 解析

∵a⊥b,∴a·b=(-2,3)·(3,m)=-2×3+3m=0,解得m=2.

4.(2017全国Ⅰ·13)已知向量a=(-1,2),b=(m,1),若向量a+b与a垂直,则m=

.

答案

7 解析

因为a=(-1,2),b=(m,1), 所以a+b=(m-1,3).

因为a+b与a垂直,所以(a+b)·a=0,即-(m-1)+2×3=0,解得m=7.

5.(2016全国Ⅱ·13)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m=

.

答案

-6 解析

因为a∥b,所以-2m-4×3=0,解得m=-6.

新题演练提能·刷高分

1.(2018东北三省三校二模)已知向量a=(1,1),b=(-1,2),若(a-b)∥(2a+tb),则t=(

) A.0 B.

C.-2 D.-3 答案

C 解析

因为a-b=(2,-1),2a+tb=(2-t,2+2t),又因为(a-b)∥(2a+tb),所以2(2+2t)=-(2-t),∴t=-2,故选C.

5

2.(2018山东济南一模)已知向量a=(1,1),b=(2,x),若a+b与3a-b平行,则实数x的值是

.

答案

2 解析

∵a=(1,1),b=(2,x),a+b与3a-b平行,∴a+b=(3,x+1),3a-b=(1,3-x),所以3(3-x)-(x+1)=0,解得x=2.

3.(2018江西上饶二模)已知向量a=(2,-1),b=(6,x),且a∥b,则|a-b|=

.

答案

2

解析

由题得2x+6=0,即x=-3.则a-b=(-4,2),∴|a-b|=

-

=2

.

4.(2018贵州凯里二模)已知a=(-1,1),b=(2,-1),c=(1,2),若a=λb+μc,则

=

.

答案

-3 解析

由a=λb+μc可知(-1,1)=λ(2,-1)+μ(1,2)=(2λ+μ,-λ+2μ),

∴

-

解得λ=-

,μ=

,∴

=-3.

-

=(1,2),

,且|

|=2

,则

的坐标为

.

5.(2018百校联盟全国联考)向量 答案

(3,6)或(-1,-2)

,∴

=t =(t,2t).

解析

∵

|=2

,∴t2+4t2=5t2=20,解得t=±2.

又|

=(1,2)+(-2,-4)=(-1,-2); 当t=2时,

=(1,2)+(2,4)=(3,6).

当t=-2时, 命题角度3计算平面向量的数量积

高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅱ·4)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=

A.4 答案

B 解析

a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3.

2.(2016天津·7)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长

的值为(

) 到点F,使得DE=2EF,则 A.-

答案

B 解析

B.3 C.2 D.0 B.

C.

D.

6

为基底,则

方法1(基向量法):如图所示,选取

)+

.

=

·

)=

×1×1×

.

故

(

方法2(坐标法):建立如图所示的平面直角坐标系,

则A

,B

-

,C

,F

-

-

=(1,0),

.

,于是

的最大值3.(2017北京·12)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则

为

.

答案

6 =(2,0),

=(cos α+2,sin α),

=2cos α+4.

解析

方法1:设P(cos α,sin α),α∈R,则 当α=2kπ,k∈Z时,2cos α+4取得最大值,最大值为6.

的最大值为6.

故

=(x+2,y),

=2x+4,故

的最大值为6.

方法2:设P(x,y),x2+y2=1,-1≤x≤1, =(2,0),

=λ

(λ∈R),且

=-4,

=2 4.(2017天津·14))在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2,若 则λ的值为

.

答案

,∴

)=

.

=2

解析

∵

=λ

,∠A=60°,AB=3,AC=2,

=-4.

又

=3×2×=3,

·

)=-4, ∴ (λ

7

即

-

=-4, ∴

×4-

×9+

-

×3=-4,即

λ-5=-4,解得λ= .

新题演练提能·刷高分

=(

) 1.(2018河北石家庄一模)点B是以线段AC为直径的圆上的一点,其中|AB|=2,则

A.1 答案

D 解析

由圆的性质知∠ABC=90°, 所以cos∠BAC=

B.2 C.3 D.4

,

=|

|·

|·

|·

|·

=4,故选D.

所以

|

cos∠BAC=| |

|=|

|,AB=1,AC=3,M,N分别为BC的三等分2.(2018山东烟台期末)在△ABC中,已知|

=(

) 点,则

A.

答案

B

|=|

|,∴∠BAC=90°.又M,N分别为BC的三等分点, 解析

∵|

=

·

B.

C.

D.

=0+

×1×

×3×

=

+3-

.故选B.

,|

|=3,| |=3,M,N分别是BC边上3.(2018陕西西安八校第一次联考)在△ABC中,已知

的值是(

) 的三等分点,则 A.

答案

B

,|

|=3,| |=3, 解析

∵

=| ||

|cos A=3×3cos A=, ∴

B.

C.6 D.7 ∴cos A=

.∵A∈(0,π),∴A=

, 8

|=3.

∴△ABC是等边三角形,即| ∵M、N分别是BC边上的三等分点,

,

∴

=

·

=

, ∴

=3×3cos 60°=

=3×3×cos 120°=-

=3×3cos 60°=, ∵

=

·

=

×-

+

-1= ,故选B.

∴

的最大值为(

) 4.(2018河北唐山一模)在△ABC中,∠C=90°,|AB|=6,点P满足|CP|=2,则 A.9 答案

B

与 的夹角为α,则

)·

)=

=(

解析

取AB的中点D,连接CD.设

(

·

)+

·

)=22+

· =4+2

=4+2|

|· |cos ( ( 2 | α=4+2×2×3cos α=4+12cos α,

的最大值为16.故选B.

所以当α=00时, 5.

B.16 C.18 D.25

(2018湖南衡阳二模)如图,在正方形ABCD中,AB=2,点E为BC的中点,点F为CD的中点,则

的值是

.

答案

0

·

=

=0+2-2-

= 解析

由题得

=0,故填0.

0=0,所以

,点F为6.(2018吉林长春质量监测)已知菱形ABCD的一条对角线BD长为2,点E满足

=

.

=-2,则 CD的中点,若

答案

-7 解析

如图,建立平面直角坐标系, 9

设C(t,0),A(-t,0),B(0,-1),D(0,1),E-t,

,F

=(-t,1),

=

, =-

t,

, , =(t,1),

=-t2+=-7.

=-2,∴-t2+=-2,解得t2=5, ∵

命题角度4平面向量数量积的应用

高考真题体验·对方向1.(2017全国Ⅱ·4)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则(

) A.a⊥b

答案

A 解析

由|a+b|=|a-b|,平方得a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,即a·b=0.

又a,b为非零向量,故a⊥b,故选A.

2.(2014全国Ⅱ·4)设向量a,b满足|a+b|=

,|a-b|=

,则a·b=(

) A.1 答案

A 解析

∵|a+b|=

,∴(a+b)2=10.

B.2 C.3 D.5 B.|a|=|b|

C.a∥b

D.|a|>|b|

∴|a|2+|b|2+2a·b=10, ∵|a-b|=

,∴(a-b)2=6, ∴|a|2+|b|2-2a·b=6, 由①-②得a·b=1,故选A.

①

②

新题演练提能·刷高分

1.(2018河南八市学评)已知a,b,c均是单位向量,若a-b+c=0,则向量a,b的夹角为(

)

A.

答案

D 解析

∵a-b+c=0,∴c=b-a.∴1=1+1-2a·b.

B.

C.

D.

∴a·b=

.

10

∴cos=

.∴=

,故选D.

=λ

,且

,则实2.(2018安徽宣城二调)已知在△ABC中,∠A=120°,且AB=3,AC=4,若 数λ的值为(

) A.

答案

A

, 解析

因为

=λ

·

=-λ

+(λ-1)

=0, 所以 因此-λ·32+42+(λ-1)·3·4·cos 120°=0, 所以λ=.

,则△ABC是(

) 3.(2018吉林四平质量检测)在△ABC中,若 A.等边三角形

C.钝角三角形

答案

D

, 解析

∵在△ABC中,

·

)+

, ∴ (

,∴

=0, ∴ B.锐角三角形

D.直角三角形

B.

C.6 D.

∴∠C=90°,∴△ABC为直角三角形,故选D.

4.(2018安徽江淮十校4月联考)已知|a|=1,|b|=

,且(2a+b)⊥b,则向量a与向量b的夹角是

.

答案

解析

设a与b的夹角为θ,则(2a+b)·b=2a·b+b2=2

cos θ+2=0⇒θ=.

5.(2018山东济南一模)已知向量a,b满足|b|=5,|2a+b|=5

,|a-b|=5

,则|a|=

.

答案

22解析

由已知有

将b=|b|=25代入方程组,

-

解得|a|=

.

6.(2018湖南、江西十四校第二次联考)已知向量a,b满足|a|=5,|a-b|=6,|a+b|=4,则向量b在向量a上的投影为

.

答案

-1 解析

∵|a-b|=6,∴a2-2a·b+b2=36,同理a2+2a·b+b2=16, 11

∴a·b=-5,设向量a,b的夹角为θ,则cos θ=,向量b在向量a上的投影为|b|cos θ==-1.

12