复习参考题课堂实录及点评

3.3三角恒等变换-----小结与复习

教学设计

一、教学目标

知识与技能

1、熟练掌握三角恒等变形的公式，理解三角恒等变换的基本思想，培养的定向思考和逆向思维能力，理解化归思想。

2、能独立分析和解决一些简单的三角问题。

过程与方法

理解并掌握两角和与差、二倍角、半角、降幂升倍公式，并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三角恒等变换在数学中的应用. 情感、态度与价值观

通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力. 二．重点难点 重点

三角恒等变换的常用模式

难点

对变换方法的理解和掌握

三、教材与学情分析

本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上,从而使三角函数性质的研究得到延伸.三角恒等变换不同于代数变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换，变换内容比较单一.而对于三角变换，不仅要考虑三角函数是结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换.从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三角恒等变换的重要特点. 四、教学方法

问题引导，主动探究，启发式教

五、教学过程

（一）回顾反思，构建知识

络

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（二）典例解析，形成技能

专题一

三角函数式的求值问题

三角函数式求值主要有以下三种题型．

(1)给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题．

(2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋

β

)－

β，2α＝(α＋

β)＋(α－

β)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论．

(3)给值求角：实质上是转化为“给值求值”问题，由所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角．

sin 15°＋cos 15° [例1] (1)的值是(

) sin 15°－cos 15°A.32＋62－6

B.

C.

D．－3 344(2)在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6，4sin B＋3cos A＝1，

则C的大小为________．

tan 15°＋11＋tan 15°tan 45°＋tan 15°解析：(1)原式＝＝－＝－＝

tan 15°－11－tan 15°1－tan 45°tan 15°－tan (45°＋15°)＝－tan 60°＝－3. 第

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1(2)两式左右两边分别平方相加，得sin(A＋B)＝，

21π5π则sin C＝sin[π－(A＋B)]＝，所以C＝或C＝. 26621又3sin A＝6－4cos B＞2，得sin A

＞＞，

32π5π所以A＞，所以C＜π，故C＝. 666π答案：(1)D (2)

6归纳升华

对于给值求角的问题，角的范围分析很重要，是防止出现增解的重要手段．

π727[变式训练] 已知sinα－＝，cos 2α＝，则sin α＝(

) 410254433A. B．－ C．－ D.

5555π722272解析：因为sinα－＝，所以sin α－cos α＝，

41022107即sin α－cos α＝，

57722因为cos 2α＝，所以cos

α－sin

α＝，

25257即(cos α－sin α) (cos α＋sin α)＝，

2513所以cos α＋sin α＝－，可得sin α＝. 55答案：D 专题二

三角函数式的化简与证明

三角函数式的化简的基本思想方法是统一角、统一三角函数的名称．在具体实施过程中，应着重抓住“角”的统一．通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简．

三角函数式的证明实质上也是化简，具有方向目标的化简；根本原则：由繁到简，消除两端差异，达到证明目的. cos 10°[例2] 化简(tan 10°－3)·.

sin 50°解：原式＝＝sin 10°－3·cos 10°

sin 50°cos 10°sin 10°－3cos 10°

sin 50°第

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312sin 10°－cos 10°22＝

sin 50°＝＝2sin（10°－60°）

sin 50°－2sin 50°＝－2. sin 50°归纳升华

本题中既有弦函数，又有切函数，由于涉及弦函数的公式较多，采用了切化弦的方法，有利于化简的进行；并用特殊角的三角函数表示特殊值，为逆用正弦的差角公式创造了条件，解法简捷，明快．

1－2sin xcos x1－tan x[变式训练] 求证：＝. 22cos

x－sin

x1＋tan xsin x1－2cos xcos x－sin x（cos x－sin x）证明：法一：右边＝＝＝＝

sin xcos x＋sin x（cos x－sin x）（cos x＋sin x）1＋cos xcosx＋sin

x－2sin xcos x1－2sin xcos x＝＝左边．所以原命题成立．

2222cos

x－sin

xcos

x－sin

xsin

x＋cos

x－2sin xcos x（cos x－sin x）法二：左边＝＝＝

2222cosx－sinxcos

x－sin

xcos x－sin x1－tan x＝＝右边，所以原命题成立．

cos x＋sin x1＋tan x22222专题三

三角恒等变换的综合应用

高考常以三角恒等变形为主要的化简手段，考查三角函数的性质．当给出的三角函数关系式较为复杂，我们要先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，将函数表达式变形为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．

π2 [例3] (2015·重庆卷)已知函数f(x)＝sin－xsin x－3cosx. 2(1)求f(x)的最小正周期和最大值；

(2)讨论f(x)在π，2π上的单调性．

363π2解：(1)f(x)＝sin－xsin x－3cosx＝cos xsin x－(1＋cos 2x)＝

22π1333sin 2x－cos 2x－＝sin2x－－，

322222－3因此f(x)的最小正周期为π，最大值为. 2ππ2π(2)当x∈，时，0≤2x－≤π，从而

336第

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πππ5π当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增，

32612ππ5π2π当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减．

23123π5π5π，2π上单调递减．

综上可知，f(x)在，上单调递增，在361212归纳升华

高考对三角函数性质的考查主要涉及单调性、奇偶性、周期性等．解答时通常是先将函数简化为形如f(x)＝Asin (ωx＋φ)＋B的形式，然后根据正弦函数的图象与性质求解．

[变式训练] (2015·浙江卷)函数f(x)＝sinx＋sin x·cos x＋1的最小正周期是________，最小值是________．

解析：f(x)＝sinx＋sin xcos x＋1 ＝1－cos 2x132π＋sin 2x＋1＝＋sin(2x－)．

22224222ππ故最小正周期T＝＝π.当sin(2x－)＝－1时，

24f(x)取得最小值为－答案：π

3－2

23223－2＝. 22专题四

转化与化归思想

本章以两角差的余弦公式为基础利用换元法，将两角和的余弦公式转化为两角差的余弦公式的形式，即α＋

β＝α－(－

β)，从而推导出两角和的余弦公式．然后利用诱导公式实现正弦余弦的转化，推导出两角和(差)的正弦公式．以及二倍角公式的推出都体现了转化与化归的思想．应用该思想解决了三角函数式化简、求值、证明中角的变换、函数名称变换问题，解决了三角函数最值问题．

ππ1π[例4] 已知sin＋α·sin－α＝，α∈，π，求sin 4α. 4462πππ解：因为α＋＋－α＝，

442ππ所以sin－α＝cos＋α. 44ππ所以sin＋α·sin－α44ππsin＋α·cos＋α＝

441π11sin＋2α＝cos 2α＝，

2262＝

第

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1又因为π＜2α＜2π，cos 2α＝，

32所以sin 2α＝－2. 342所以sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝－. 9归纳升华

πππ解三角函数求值问题，要优先考虑角与角之间的关系，＋α与－α互余，从而化为同角“＋44α”．

[变式训练] 已知sin

βα－42＝5，cosα2－

β＝－1213，

且α－

β2和α2－

β分别为第二、第三象限角，求tan α＋

β2的值．

解：因为sin

β

βα－2＝45，且α－2为第二象限角，

所以cos

β

β3α－2＝－

1－sin2α－2＝－5. 又cosα2－

β＝－1213，且α2－

β为第三象限角，

所以sinα2－

β＝－

1－cos2α2－

β5＝－13. 所以tan

βα－2＝－43，tanα2－

β＝512，

所以tan α＋

β

βα2＝tanα－2－2－

β＝

tanα－

β2－tanα2－

β－453－12631＋tan

βα－2tanα2－

β＝45＝－16. 1－3×12

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