信息技术应用 利用正切线画函数y=tan x，x∈（-π/2, π/2)的图象优秀教案案例

1.4.3正切函数的性质与图像教案

灵台一中 郭涛 2019年5月13日

一、教材分析

背景：众所周知函数是高中数学学习的一条主线，在教学中占有很重要的地位。必修一主要讲了6大类基本初等函数中的指数函数、对数函数、幂函数；必修四主要讲了三角函数；剩下的常函数在初中已经学过，而反三角函数已经退出了高中课本。在上本节课之前我们已经积累了研究函数图像与性质的基本方法，而且在1.4三角函数的图像与性质的前三节课中我们刚学完正弦函数和余弦函数的图像与性质.这些都为我们学习本节课奠定了基础。

教材定位：函数的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式.一般来说,对函数性质的研究总是先作图象,通过观察图象获得对函数性质的直观认识,然后再从代数的角度对性质作出严格表述.但对正切函数的性质与图像,教科书换了一个新的角度,采取了先根据已有的知识(如正切函数的定义、诱导公式、正切线等)研究性质,然后再根据性质研究正切函数的图象.这样处理,主要是为了给学生提供研究数学问题更多的视角,在性质的指导下可以更加有效地作图、研究图象,加强了理性思考的成分,并使数形结合的思想体现得更加全面.所以,应该在学生探究活动过程中引导学生体会这种解决问题的方法. 课标要求：通过多媒体教学,让学生通过对图象的动态观察,对知识点的理解更加直观、形象.以提高学生的学习兴趣,提高课堂教学质量.从学生的实际情况为教学出发点,通过各种数学思想的渗透,合理运用各种教学课件,逐步培养学生养成学会通过对图象的观察来整理相应的知识点的能力,学会运用数学思想解决实际问题的能力.这样既加强了类比这一重要数学思想的培养,也有利于学生综合运用能力的提高,有利于学生把新旧知识前后联系,融会贯通,提高教学效果。

其他版本教材：本节是人教A版必修四，第一章三角函数第四大节，1.4.3正切函数的性质与图像，和苏教版有所不同，且课题是性质与图像而非前两节的图像与性质，所以在侧重点上有变化。

二、学情分析：

高一学生的认知水平从形象到抽象、从特殊到一般过渡，思维能力的提高是一个转折期,但是,学生的自主意识强,有主动学习的愿望与能力;有好奇心、好胜心、进取心,富有激情、思维活跃.由于学生已经有了研究正

弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,这种经验完全可以迁移到对正切函数性质的研究中,因此,我们可以通过“探究”提出,引导学生根据前面的经验研究正切函数的性质,让学生深刻领悟这种迁移与类比的学习方法.也可以从学生已有的知识出发得出性质，根据性质画出图像；不管采用那种方法学生的能力都是具备的,所以本节课才尝试将两种方法大胆结合. 三、学习目标

知识与能力: 1.了解利用正切线画出正切函数图像的方法；

2.了解正切曲线的特征,能利用正切曲线解决简单问题；

3.从性质到图像和从图想到性质往复中利用归纳类比、数形结合的思想熟练掌握正切函数的性质与图像. 过程与方法: 先通过对已有知识的回顾得出正切函数的主要性质;再利用性质类比正弦,余弦函数图象的作法,通过单位圆中的正切线得到正切函数的图象,进一步理解性质;在往复研究,的过程中提升数学素养、激发学习数学的兴趣. 情感态度价值观：

培养学生归纳、分析的能力和主动探究的学习态度;会用联系的观点看问题,体会数形结合、类比的数学思想,激发数学的对称美.让学生体验自身探索成功的喜悦感,培养学生的自信心;培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神. 四、重点与难点

重点:正切函数的主要性质及图象．

难点:正切函数性质的应用；对正切函数单调性的理解. 五、教学方法与手段：5.21循环穿插教学法+多媒体展示问题式教学

六、教学过程

（一）、知识回顾

本节引入

函数

三角函数

解析式

周期性 定义域 奇偶性 值 域 图像与性质 单调性

正弦函数 最值性

余弦函数 对称性

正切函数 其他性质

【设置意图】:以旧引新激发兴趣,从知识体系中给出本节课所研究的内容所处的地位,也可以让学生明晰本节课的研究方法和学习的主要内容。

（二）、温故知新

知识迁移

思考1:什么是单位圆,在单位圆中怎样定义正切?正切函数又怎样

定义,它的定义域是什么? 【设置意图】:以旧引新,激发兴趣,得出正切函数解析式和定域. 思考2:与正切函数有关的诱导公式有哪些? 【设置意图】: 以旧引新，得出正切函数的周期性和奇偶性。

yAsin(x)h的周期,能否猜想函数 思考3:类比 yAtan(x)h的周期? 【设置意图】:激发学生归纳类比的数学思想,得出正切型函数周期. 思考4:如何在单位圆中画出正切线？

观察：当角在,

这一个周期内变化时,其正切线发生了怎样的22变化?这与正切函数的单调性有什么关系? 【设置意图】:通过多媒体课件演示,由正切线的变化规律可以得出,正切函数在,内是增函数,又由正切函数的周期性可知,正切函数在22开区间

(+kπ,+kπ),k∈Z内都是增函数. 22

探究：能利用正切函数在,上的性质,尝试正切线画出其在这一

22周期内的图象吗？

【设置意图】:

由多媒体课件演示正切线的变化规律,从正切线知,当x大于且无限接近时,正切线AT向Oy轴的负方向无限延伸;当x22小于且无限接近时,正切线AT向Oy轴的正方向无限延伸.因此,tanx在(,)内可以取任意实数,但没有最大值、最小值.因此,正切函数的值域2222是实数集R.

根据正切函数的周期性,把图2向左、右扩展,得到正切函数y=tanx的图象,我们称正切曲线,如图3.通过观察和探究的设置培养了学生归纳、分析的能力和主动探究的学习态度;会用联系的观点看问题,体会数形结合、类比的数学思想,从而达到重点突出,难点突破.

图（2） 图（3）

（三）典例讲解、知识应用：

例1:见幻灯片及课本

（四）课后检测、拓展练习：

练习题详见幻灯片

七、课堂小结、认知升华：

1.方法总结: 正切函数性质与图像

2.数学思想：归纳类比、化归转化的思想、数形结合的思想

八、作业布置、新课导学: 1.作业:①课本P46页

习题1.4 A组

第6、8题; ②每位同学结合今天研究的内容,自己设计一道作业并完成. 2.练习:

①课本P45页练习题

第3、6题

②完成《活页作业》层级一，层级二选做. yAtan(x)hT3.新课导学:①用周期函数的定义试着证明

 ②怎样借助信息技术画出正切函数图像?从中能否找见关键的“三点和两线”画出正切函数的简图？