测试教学设计及教案分析

第十七章 综合能力检测卷

时间:60分钟 满分:100分

一、选择题(每题3分,共30分) 1.下列各组线段中,能构成直角三角形的是 ( ) A.5,9,12 B.7,12,13 C.0.3,0.4,0.5 D.3,4,6 2.如图所示的各直角三角形中,其中边长x=5的个数是 ( )

A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图,数轴上点A,B分别表示数1,2,过点B作PQ⊥AB,以点B为圆心、AB长为半径画弧,交PQ于点C,以原点O为圆心、OC长为半径画弧,交数轴于点M,则点M表示的数是 ( )

A.3 B.5 C.6 D.7

4.下列命题的逆命题成立的是

( ) A.全等三角形的对应角相等 B.如果两个数相等,那么它们的绝对值相等

C.两直线平行,同位角相等

D.如果两个角都是45°,那么这两个角相等

5.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,D是线段BC上的动点(不含端点B,C),若线段AD的长为正整数,则点D共有 ( )

A.5个 B.4个 C.3个 D.2个

6.如图,梯子AB靠在墙上,底端A到墙根O的距离为2m,顶端B到地面的距离为1/13

7m,现将梯子的底端A向外移动到A′,使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3 m,同时梯子的顶端B下降至B′,那么BB′ ( )

A.小于1m B.大于1m C.等于1m D.小于或等于1m 7.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,点D在BC上,∠ADC=2∠B,AD=5,则BC的长为 ( )

A.3-1 B.3+1 C.5+1 D.5+1 8.图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个完全相同的直角三角形围成的.在直角三角形ABC中,若直角边AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到图2所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长是

( )

A.12 B.36 C.66 D.76 9.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点,过点P作PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,则PD+PE的长是

( ) 2/13

A.4.8 B.4.8或3.8 C.3.8 D.5 10.如图,正方形ABCD的边长为2,其面积标为S1,以CD为斜边向外作等腰直角三角形,以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积记为S2……按照此规律继续下去,则S2018的值为

( )

A.(11220152) B.()2016 C.()2015 D.()2016

2222二、填空题(每题3分,共18分) 11.一个三角形的三边长之比为5:12:13,它的周长为120,则它的面积为 . 12.如图,点E在正方形ABCD的边CD上.若△ABE的面积为8,CE=3,则线段BE的长为 .

13.已知m,n,d为一个直角三角形的三边长,且m58nn216,则此三角形的面积为

. 14.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6cm,AC=8cm,按图中所示方法将△BCD沿BD折叠,使点C落在AB边的C′处,那么△ADC′的面积是 . 3/13

15.如图,Rt△ABC的面积为20cm2,在斜边AB的同侧,分别以AB,BC,AC为直径作三个半圆,则阴影部分的面积为 .

16.如图,圆柱形容器的高为18cm,底面周长为24cm,在容器内壁离下底面4cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,离容器上底面2cm的A处,则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为 cm.

三、解答题(共52分) 17.(6分)如图,在5×5的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,请在所给网格中按下列要求画出图形. (1)从点A出发的一条线段AB,使它的另一个端点落在格点(即小正方形的顶点)上,且长度为22; (2)以(1)中的AB为边的一个等腰三角形ABC,使点C落在格点上,且另两边的长都是无理数.

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18.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,在D处有甲、乙两人同时出发,甲沿DA,AB过桥到达B处,乙沿DC过桥由C处直达B处.已知DA=6km,AB=6km,DC=2km,假设甲、乙两人速度相同,问甲、乙两人谁先到达B处?

19.(8分)如图,在△ABC中,AB=6,AC=10,边BC上的中线AD=4,延长AD到点E,使DE=AD,连接CE. (1)求证:△AEC是直角三角形; (2)求BC边的长.

20.(8分)在△ABC中,AB=25.AC=4,BC=2,以AB为边向△ABC外作△ABD,使

△ABD为等腰直角三角形,求线段CD的长. 21.(10分)清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王.近日,西安发现了他的数学专著,其中有一文《积求勾股法》,它对“三边长分别为3,4,5的整数倍的直角三角形,已知面积求边长”这一问题提出了解法:“若所设者为积数(面积),以积率六除之,平方开之得数,再以勾股弦各率乘之,即得勾股弦之数”.用现在的数学语言表述:“若直角三角形的三边长分别为3,4,5的整数倍,设其面积为S,则第一步,S=m;第二步,m=k;第三步,分别用3,4,5乘k,得三边长”.

6(1)当面积S等于150时,请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长; (2)你能证明“积求勾股法”的正确性吗?请写出证明过程. 22.(12分)我们新定义一种三角形:若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方,则称这个三角形为勾股高三角形,两边交点为勾股顶点. 5/13

特例感知

①等腰直角三角形

勾股高三角形;(填“是”或“不是”) ②如图1,已知△ABC为勾股高三角形,其中C为勾股顶点,CD是AB边上的高,若BD=2AD=2,试求线段CD的长度; 深入探究

如图2,已知△ABC为勾股高三角形,其中C为勾股顶点且CA>CB,CD是AB边上的高,试探究线段AD与CB的数量关系,并给予证明; 推广应用

如图3,等腰三角形ABC为勾股高三角形,其中AB=AC>BC,CD为AB边上的高,过点D作BC边的平行线与AC边交于点E,若CE=a,试求线段DE的长度.

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参考答案

1.C 【解析】A项,52+92≠122,不能构成直角三角形;B项,72+122≠132,不能构成直角三角形;C项,0.32+0.42=0.52,能构成直角三角形;D项,32+42≠62,不能构成直角三角形.故选C. 2.B 【解析】A项,x32425;B项,x2522427;C项,x172152

=8;D项,x132122=5.故选B. 3.B 【解析】由题中作图知,∠OBC=90°,0B=2,BC=1,由勾股定理得OC= 22125,所以OM=5.故选B. 4.C 【解析】A项,逆命题是三个角对应相等的两个三角形全等,不成立;B项,逆命题是绝对值相等的两个数相等,不成立;C项,逆命题是同位角相等,两直线平行,成立;D项,逆命题是相等的两个角都是45°,不成立.故选C. 5.C 【解析】过点A作AE⊥BC于点E,因为AB=AC,所以BE=CE=4.在Rt△ABE中,由勾股定理得AEAB2BE225163,因为垂线段最短,所以AD的取值范围是3≤AD＜5,又线段AD的长为正整数,所以AD=3或4.由对称性可知,使AD=4的点D有2个,所以点D共有3个.故选C. 6.A 【解析】在Rt△AOB中,∵OA=2m,0B=7m,∴ABOA2OB253m.由题意可知A′B′=AB=53m,又OA′=3m,∴OBAB2OA2211m,∴BB′= (7-211)m<1m.故选A. 名师点睛:对于实际问题,首先根据题意建立数学模型,然后利用直角三角形的三边之间的关系和一些常识(如:墙与地面垂直、梯子的长度不变等)来完成题中7/13

的问题. 7.D 【解析】∵∠ADC=2∠B,∠ADC=∠B+∠BAD.∴∠B=∠BAD,∴DB=DA=5.在Rt△ADC中,DCAD2AC2(5)222541.∴BC=BD+DC=5+1.故选D. 8.D 【解析】根据题意,得将边长为6的直角边分别向外延长一倍所得的四个直角三角形的斜边长都是1225213,,所以这个风车的外围周长为13×4+6×4

=76.故选D. 9.A 【解析】如图,过点A作AF⊥BC于点F,连接AP.在△ABC中,∵AB=AC=5,BC= 8,∴BF=4.在△ABF中,由勾股定理,得AFAB2BF23.∵S△ABC=S△ABP+S△APC, 1111∴×8×3=×5PD+×5PE,即12=×5(PD+PE),则PD+PE=4.8.故选A. 2222

10.C 【解析】利用等腰直角三角形的斜边与一直角边之间的数量关系可得到规律:从第二个正方形起每一个正方形的面积都是上一个正方形面积的1,即2111111S2=S1,S3=S2=()2S1,…,Sn=()n-1S1,∴S2018=22×()20l8-1=()2015.故选C. 22222211.480 【解析】设该三角形的三边长分别为5x,12x,13x,则5x+12x+13x=120,解得x=4,所以该三角形的三边长分别为20,48,52.因为202+482=522,所以该三角形是直角三角形,所以它的面积是12.5 1×20×48=480. 28/13

【解析】如图,过点E作EM⊥AB于点M,∵四边形ABCD是正方形,∴AD=BC=CD= AB,∴EM=AD,BM=CE.∵△ABE的面积为8,∴1×AB×EM=8,∴EM=4,即AD=DC=BC= 2AB=4,∵CE=3,∴由勾股定理得,BE2=42+32=25,∴BE=5.

13.6或10 【解析】∵m58nn216,∴m58nn2160,∴

m5(n4)20,∴m=5,n=4.(1)当m为直角三角形的斜边长时,d=5242= 3,∴三角形的面积为1×3×4=6;(2)当d为直角三角形的斜边长时,三角形的面

21积为×5×4=10.故此三角形的面积为6或10. 214.6cm2 【解析】在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6cm,AC=8cm,由勾股定理得AB= 1AC2BC2=10cm.由折叠的性质知,DC=DC′,DC′⊥AB,∵S△BCD=BC⋅CD, 21S△ABDAB·DC,S△BCD:S△ABDBC:AB6:103:5,S△BCDS△ABDS△ABC218624(cm2),S△BDCS△BCD9cm2,S△ABD15cm2,S△ADCS△ABDS△BDC215-9=6(cm2). 名师点睛:本题主要考查勾股定理的应用,先利用比例关系求出△BCD与△ABD的面积,再利用面积之差求△ADC′的面积. 15.cm2 1AC21BC2)()S△ABC- 【解析】由题图可知,阴影部分的面积S(22221AB2()(AC2BC2AB2)S△ABCS△ABC20cm2. 22816.20 9/13

【解析】将圆柱形容器展开(过点A竖直剖开)后侧面是一个长24cm、宽18cm的长方形,如图,作点A关于MN的对称点A′,连接A′B交MN于点P,连接AP,过点B作BH⊥MA于点H.由轴对称的性质和三角形三边关系知A′B的长度为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离.由题意知BH=12cm,A′H=16cm.在Rt△A′BH中,由勾股定理得ABAH2BH220cm.即蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为20cm.

17.【解析】(1)如图,AB2222822. (2)如图,ACBC123210.

18.【解析】甲走的路程为DA+AB=6+6=12(km). 在Rt△ABC中,由勾股定理得BC2=AB2+AC2=AB2+(AD+DC)2=62+(6+2)2=100, 所以BC=10km, 则乙走的路程为BC+CD=10+2=12(km), 故甲、乙两人所走的路程相等. 又甲、乙两人速度相同,所以甲、乙两人同时到达B处. 19.【解析】(1)∵D为BC的中点,∴BD=CD. 又∠ADB=∠EDC,AD=ED, ∴△ABD≌△ECD,∴CE=AB=6. ∵AE=2AD=8,AC=10, ∴AC2=AE2+CE2,∴∠E=90°, ∴△AEC是直角三角形. (2)在Rt△CDE中,由勾股定理得CDCE2DE26242213,

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∴BC=2CD=413.

20.【解析】∵AC=4,BC=2,AB=25, ∴AC2+BC2=AB2,∴△ACB为直角三角形,∠ACB=90°. 分三种情况讨论: 如图1,AB=BD,∠ABD=90°, 过点D作DE⊥CB,交CB的延长线于点E, 则∠ABC+∠DBE=90°, 又∠ABC+∠BAC=90°,所以∠BAC=∠DBE,

所以△ACB≌△BED,所以BE=AC=4,DE=BC=2, 所以CE=6. 在Rt△CDE中,由勾股定理得CDCE2DE2210.

如图2,AB=AD,∠BAD=90°, 过点D作DF⊥CA,交CA的延长线于点F, 同理可证△ACB≌△DFA,同理可得CD=213.

如图3,AD=BD,∠ADB=90°, 过点D作DG⊥CB,交CB的延长线于点G,过点A作AH⊥GD,交GD的延长线于点H, 同理可证△AHD≌△DGB,∴AH=DG,DH=BG. 设BG=x,则CG=2+x,AH=DG=4-x, 易知CG=AH,∴2+x=4-x,解得x=1, ∴CG=3,DG=3, 在Rt△CGD中,由勾股定理,得CDCG2DG232. 因此,线段CD的长为210或213或32.

名师点睛:解答此题的关键是通过作图,画出三种可能情况,再逐一进行讨论求11/13

解. 21.【解析】(1)当S=150时,mS15025,

66km255,

3×5=15,4×5=20,5×5=25. 所以这个直角三角形的三边长分别为15,20,25. (2)能.证明如下: 设直角三角形的三边长分别为3k，4k,5k(k>0), 则S=1⋅3k⋅4k=6k2, 2SS,所以k=. 66所以k2=22.【解析】 特例感知

①是

②根据勾股定理,得CB2=CD2+4,CA2=CD2+1, ∵△ABC为勾股高三角形, ∴CD2=CB2-CA2=(CD2+4)-(CD2+1)=3, ∴CD=3. 深入探究

AD=CB.证明如下: ∵△ABC为勾股髙三角形,CA>CB, ∴CA2-CB2=CD2,∴CA2-CD2=CB2. CA2-CD2=AD2,∴AD2=CB2,∴AD=CB. 推广应用

如图,过点A作AG⊥DE于点G, ∵等腰三角形ABC为勾股高三角形,且AB=AC>BC, ∴AC2-BC2=CD2,由深人探究中的结论,可知AD=BC. ∵ED//BC,∴∠ADE=∠B. 又∠AGD=∠CDB=90°,∴△AGD≌△CDB,∴DG=BD. 12/13

易知△ADE为等腰三角形,∴ED=2DG=2BD. 又AB=AC,AD=AE,∴BD=EC=a,∴ED=2a.

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