构建知识体系第二课时 公开课

第十七章《勾股定理》小结与复习

江西省于都中学 黄雪兰

【本章教材分析】

本章主要内容是勾股定理及其逆定理。勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系，是

直角三角形非常重要的性质，有极其广泛的应用，从而搭建起了几何图形与数量关系之间的一座桥梁，他在数学发展中起着重要作用，在现实生活中的地位也有举足轻重的作用。学生通过对本章的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解，也是后续学习的基础，因此勾股定理被认为是平面几何乃至整个数学领域中最重要的定理之一，它在知识体系中起着重要作用。

【学情分析】

学生已经学过了三角形，全等三角形，等腰三角形以及简单多边形的***帮助。本章内容思维量较大，对思维的严谨、归纳推理等能力有较高要难度。

【教学目标】

1、理清本章的知识结构和重要知识点，进一步熟练掌握和运用勾股定 2、掌握本章的重要解题技巧、方法和数学思想

【教法学法】

本节是单元复习课，根据教材的重难点，目标及学生的实际情况分析知识点，以题组形式复习，以学生为主体，教师引领，由浅到深引导学生自主归习过程成为主动的认知过程。

【教学重点】

勾股定理及其逆定理的理解和掌握

【教学难点】

利用勾股定理及其逆定理解决实际问题

【教学过程】

课前热身：比一比,看谁快!

1、

在Rt△ABC中，∠C=90°

①若a=8，b=6，

则c=___ ②若a=40,c=41，则b=____ ③若a:b=2:1,c= 2 5 ，则S△ABC=____

④∠A=30°,a=2,c=____,b=___ ⑤若∠A= 1∠C,c= 22 ,则a=__,△ABC的周长=____ 方法归纳：利用勾股定理求直角三角形的边只要已知其中两边或一边和其它边之间的关系即可，但是在使用时要多注意与其它知识之间的联系。

2、下列各组数不能构成直角三角形的是（

）

A．4，5，3 B.2，3，13 C．17，8，15 D.10，20，16

3、已知△ABC中AC=15，AB=20，BC=25，则∠___=90°

方法归纳:运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形先找出最长边，再计算出a2＋b2和c2的值(c边最大)，最后判断a2＋b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；否则就不是直角三角形。

4、说出下列命题的逆命题．并判断是否成立? (1)两条直线平行，内错角相等．

(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等．

(3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．

(4)全等三角形的对应角相等

【设计意图】通过练习的形式让学生初步回忆本章的知识点构建知识结构图，对所学知识能熟练运用

一、梳理知识结构

（一）勾股定理

1、如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么

a2 + b2 =c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

∵在Rt△ABC中∠C=90°

∴a2 + b2 = c2 2、勾股定理表达式的常见变形：

a2＝c2－b2, b2＝c2－a2

cab,acb,bca

222222

注意：勾股定理只有在直角三角形中才可以运用，它一般用来计算直角三角形中一些有关的线段或面积等

（二）勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形. ∵在△ABC中a2+b2

∴∠C=90°或△ABC 为Rt△ABC 注意：勾股定理逆定理一般用来证明三角形是否是直角三角形

（三）常用的勾股数：

3、4、5； 5、12、13； 7、24、25； 8、15、17； 9、40、41； 15、20、25 （四）互逆命题和互逆定理：

1、如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题. 2、如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆定理, 其中一个叫做另一个的逆定理. 每一个命题都有逆命题，但每一个定理不一定有逆定理

二、直击中考

1、已知直角三角形的两边长分别是3和4，则第三条边的长度是_____ 2、三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高AD=8,则BC的长=______ 3、一个三角形三边的长分别是15cm,20cm,25cm，则这个三角形的面积是_____ 4、如图，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D．则BD的长为_____

方法归纳：（1）直角三角形中，已知两条边,不知道是直角边还是斜边时，应分类讨论。（2）当已知条件中没有给 出图形时，应认真读句画图，避免遗漏另一种情况。

【设计意图】复习完知识点后呈现四道中考题，一方面是想让学生进一步熟练掌握本章所学知识并会运用，另一方面是 想让学生多接触一点中考题，为中考做准备。

三、课

堂

精

讲

例1、如图，有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m.则这块地的面积为 _____

B

1

C

3

D

13

4

A

例2、折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CE的长

变式：如图，把长方形ABCD沿BD对折，使C点落在C’的位置时，BC’

与AD交于E，若AB=6，BC=8，求重叠部分△BED的面积

方法归纳：直角三角形中，当无法已知两边求第三边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中的等量关系，利用勾股定理列方程. 例3、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=20，BC=15，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，设点D运动的时间为t秒，速度为每秒2个单位长度

（1）填空：当t=_____时，△CBD是直角三角形

（2）若△CBD是等腰三角形，求t的值

【设计意图】通过对例题的讲解进一步体会勾股定理在生活中和

数学几何中的作用，提高运用知识的能力及建模、分类等数学思想。

四、总

结

归

纳

1、数学知识：

2、数学思想：分类讨论思想和方程思想

五、课后提升

1、如图在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，若点P在边AC上移动，BP是否存在最小值，若存在，则BP最小值是___ 2、如图在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-1，2），点B的坐标为（2，1），有一点C在x轴上移动，则点C到A、B两点的距离之和的最小值为______

六、课后反思

查漏补缺

1．收获：____________________________________________________________ 2．存在困惑：____________________________________________________________