6. 能源的开发与利用教学设计第二课时

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能源》导学案 班级 姓名： 小组 教师寄语：面对困难，有志者自千方百计，无志者只感千难万难，相信2018级同学是勇敢的智者

第五节

机械能守恒定律（第2课时）

合作展示提升1：单个物体的机械能守恒

所谓单个物体的机械能守恒是指某个物体和地球组构的系统机械能守恒，在这种情况下，物体只有重力做功

例题1．如图，长度为d的轻绳，一端固定在O点，另一端拴着一个质量为m的小球。现在瞬间给小球一个初速度V，让小球在竖直平面内做圆周运动，若要让小球做完整的圆周运动，则V的最小值是多少？

O

变式．如图所示，半径为R、圆心角为60°的光滑圆弧槽，固定在高为h的平台上，小物块从圆弧槽的最高点A静止开始滑下，滑出槽口B时速度水平向左，小物块落在地面上C点，O2在B点正下方地面上，B、C两点到O2的距离相等(

) A．4R＝h

B．2R＝h

C．R＝h

D．R＝2h

练习．过山车是游乐场中常见的设施。下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半径R12.0m、，从轨道的左侧A点以v012.0m/s的初速度R21.4m。一个质量为m1.0kg的小球（视为质点）沿轨道向右运动，A、B间距L16.0m。小球与水平轨道间的动摩擦因数0.2，圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠。重力加速度取g10m/s，计算结果保留小数点后一位数字。试求

（1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小

（2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距L应是多少

（3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径R3应满足的条件；小球最终停留点与起点A的距离

2合作展示提升2：有关物体与弹簧组成系统的机械能守恒

例题2．竖直放置的轻弹簧下端固定在地面上，上端与轻质平板相连，平板与地面间的距离为H1，如图所示．现将一质量为m的物体轻轻放在平板中心，让它从静止开始向下运动，直至物块速度为零，此时平板与地面间的距离为H2，若取弹簧无形变时为弹性势能的零点，则此时弹簧的弹性势能为

变式．一个质量ｍ=0.2kg的小球系于轻质弹簧的一端，且套在光滑竖立的圆环上，弹簧的上端固定于环的最高点Ａ，环的半径Ｒ=0.5ｍ，弹簧的原长l00.5m，劲度系数为k=4.8Ｎ/ｍ.如图所示.若小球从图中所示位置Ｂ点由静止开始滑动到最低点Ｃ时，弹簧的弹性势能Ep弹0.6J.ｇ=10ｍ/ｓ，求：

（1）小球到Ｃ点时的速度vC的大小 （2）小球在Ｃ点对环的作用力.

2

练习．如图，质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上升一质量为m3的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升。若将C换成另一个质量为(m1m2)的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为g（v=

合作展示提升3：多个物体组成系统的机械能守恒

例题3．质量为2kg高50cm的斜台放在光滑的水平面上，一质量为0.5k的光滑木块从光滑斜面的顶端滑下，当木块滑到斜台低端时速度大小为2m/s，求此时斜台的速度有多大？（不计木块的大小，g取10 m/s）

1 22m1(m1+m2)g

）

(2m1+m3)k2A m1 k B m2



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变式．如图所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2m的小球，B处固定质量为m的小球．支架悬挂在O点，可绕过O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动．开始时OB与地面相垂直，放手后开始运动，在不计任何阻力的情况下，下列说法正确的是（ ）

A．A球到达最低点时速度为零

B．A球机械能减少量等于B球机械能增加量

C．B球向左摆动所能达到的最高位置应高于A球开始运动的高度

D．当支架从左向右回摆时，A球一定能回到起始高度

0变式.如图所示，半径R=0.40 m的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与粗糙的水平地面相切于圆环的端点A.一质量m=0.10 kg的小球，以初速度v0=7.0 m/s在水平地面上向左做加速度a=3.0 m/s2O A

B

的匀减速直线运动，运动4.0 m后，冲上竖直半圆环，最后小球落在C点.求A、C间的距离（取重力加速度g=10 m/s）

练习1．如图所示，在光滑水平桌面上有一质量为M的小车，小车跟绳一端相连，绳子另一端通过滑轮吊一个质量为m的砖码，则当砝码着地的瞬间（小车未离开桌子）小车的速度大小为___________，A θ

B 在这过程中，绳的拉力对小车所做的功为______________

练习2．“炒板栗”是遂宁商务区美食的一大特色，周末东辰荣兴高一某班同学小王和班上同学到商务区品尝可口的板栗，回到学校后小王和班上的同学把炒板栗的情景简化为下图特“萌”的物理模型，：将板栗在地面小平台上以一定的初速经两个四分之一圆弧衔接而成的轨道，从最高点P飞出进入炒锅内，利用来回运动使其均匀受热。他们用质量为m的小滑块代替栗子，设两个四分之一圆弧半径分别为R和2R，小平台和圆弧均光滑。把过锅底的纵截面看作是两个倾角θ均为37°的斜面AB、CD和一段光滑圆弧BC组成，两斜面动摩擦因数均为0.25且不随温度变化。AB=CD=2R，A、D等高，D端固定一小挡板，碰撞不损失机械能。滑块的运动始终在包括锅底最低点的竖直平面内，重力加速度为g. （1）如果滑块恰好能经P点飞出，为了使滑块恰好沿AB斜面进入锅内，应调节锅底支架高度使斜面的A、D点离地高为多少？

（2）接（1）问，求滑块在锅内斜面上走过的总路程

（3）对滑块的不同初速度，求其通过最高点P和小圆弧最低点Q时受压力之差的最小值

2 2例题4．如图，一固定的楔形木块，其斜面的倾角为θ=30，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮，一柔软的细线跨过[定滑轮，两端分别与物块A和B连结，A的质量为4m，B的质量为m。开始时将B按在地上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升。物块A与斜面间无摩擦。设当A沿斜面下滑S距离后，细线突然断了。求物块B上升的最大高度。

变式．如图所示，质量为2m和m的可看作质点的小球A、B，用不计质量、不可伸长的细线相连，跨

在固定的光滑圆柱两侧。开始时，A球和B球与圆柱轴心同高，然后释放A球，则B球到达最高点时

的速率是多大？

练习．如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑的轻小定滑轮与直杆的距离为d，杆上的A点与定滑轮等高，杆上的B点在A点下方距离为d处。现将环从A处由静止释放，不计一切摩擦阻力，下列说法正确的是(

) dA．环到达B处时，重物上升的高度h＝

2B．环到达B处时，环与重物的速度大小相等

C．环从A到B，环减少的重力势能等于重物增加的机械能

4D．环能下降的最大高度为d

3合作展示提升4：机械能守恒（能量守恒）定律和动能定理在力学综合问题中的应用

例题5．如图所示，光滑1/4圆弧的半径为0.8m，有一质量为1.0kg的物体自A点从静止开始下滑到B点，然后沿水平面前进4.0m，到达C点停止。g取10m/s，求：

(1)物体到达B点时的速率 (2)物体与水平面间的动摩擦因数

2

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机械能守恒定律（课时作业2）

1．如图所示，一轻弹簧竖直放置，下端固定在水平面上，上端处于a位置，一重球（可视为质点）无初速放在弹簧上端静止时，弹簧上端被压缩到b位置。现让重球从高于a位置的c位置沿弹簧中轴线自由下落，弹簧被重球压缩至d，以下关于重球下落运动过程中的正确说法是（不计空气阻力）（

）

A．整个下落a至d过程中，重球均做减速运动

B．重球落至b处获得最大速度

C．在a至d过程中，重球克服弹簧弹力做的功

等于重球由c至d的重力势能的减小量

D．重球在b处具有的动能等于重球由c至b处减小的重力势能

2．如图所示，质量、初速度大小都相同的A、B、C三个小球，在同一水平面上，A球竖直上抛，B球以倾斜角θ斜向上抛，空气阻力不计，C球沿倾角为θ的光滑斜面上滑，它们上升的最大高度分别为hA、hB、hC，则(

) A．hA＝hB＝hC

B．hA＝hB

C．hA＝hB>hC

D．hA＝hC>hB

3．

如图，游乐场中，从高处A到水面B处有两条长度相同的光滑轨道，甲、乙两小孩沿不同轨道同时从A处自由滑向B处，下列说法正确的有(

) A．甲的切向加速度始终比乙的大

B．甲、乙在同一高度的速度大小相等

C．甲、乙在同一时刻总能到达同一高度

D．甲比乙先到达B处

4．如图所示，小球以初速度v0从光滑斜面底部向上滑，恰能到达最大高度为h的斜面顶部．图中A是内轨半径大于h的光滑轨道、B是内轨半径小于h的光滑轨道、C是内轨直径等于h的光滑轨道、D1是长为h的轻棒，其下端固定一个可随棒绕O点向上转动的小球．小球在底端时的初速度都为v0，则2小球在以上四种情况中能到达高度h的有(

)

5．如图，质量分别为m和3m的小球A和B，系在长为L细线两端，放在高为h(h

6．如图，固定于小车上的支架上用细线悬挂一小球．线长为L．小车以速度V0做匀速直线运动，当小车突然碰到障障碍物而停止运动时．小球上升的高度的可能值是

A.

等于vo/2g B. 小于vo/2g

22L C. 大于vo/2g D等于2L 27．如图所示，下列四个选项的图中，木块均在固定的斜面上运动，其中A、B、C中的斜面是光滑的，

D中的斜面是粗糙的，A、B中的F为木块所受的力，方向如图中箭头所示，A、B、D中的木块向下运

动，C中的木块向上运动.在这四个图所示的运动过程中，机械能守恒的是（

）

8．如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，圆环与竖直放置的轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，弹簧处于原长时的长度为L0

，现让圆环从静止开始沿杆下滑，滑到低端时的速度为零，则在圆环下滑过程中正确的是（ ） A、杆与地面的倾角α一定小于45° B、圆环的加速度先一直增大然后一直减小

C、弹簧的弹性势能一直在增加，全过程弹性势能的增加量

为mgh L0

m D、圆环刚滑到杆的底端时弹簧的弹性势能最大

α

A

9．如图所示在水平地面上固定一个半径为R的半圆形轨道，其中圆弧部分光滑，水平段长为L，一质量为m的小物块紧靠一根被压缩的弹簧固定在水平轨道的最右端，小物块与水平轨道间的动摩擦因数为μ，现突然释放小物块，小物块被弹出，恰好能够到达圆弧轨道的最高点A，取g＝10 m/s2，且弹簧长度忽略不计．求：

(1)小物块的落点距O′的距离；

(2)小物块释放前弹簧具有的弹性势能．

3 ghA. B. 2gh

2C. B L A h ghgh D.

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10．如图，半径为R、竖直放置的半圆形光滑轨道在B点跟水平轨道AB相切，木块m跟AB间的动摩

擦因数为，AB长度为s，木块从A点出发以初速v0向B点滑出，如果木块能沿原路返回重新经过A 点，则v0应满足什么条件？R、、s之间还应满足什么条件？

11、质量为m的小球，由长为L的细线系柱，细线的另一端固定在A点，AB是过A的竖直线，E为AB上的中点，过E作水平线EF，在EF上钉一铁钉D，如图所示，若线能承受的最大拉力是9mg，现将小球悬线拉至水平，然后由静止释放，若小球能绕钉子在竖直平面内做圆周运动，求钉子位置在水平线上距E的水平距离x的取值范围.不计线与钉碰撞时的能量损失。

12、如图所示为放置在竖直平面内游戏滑轨的模拟装置，滑轨由四部分粗细均匀的金属杆组成，其中倾斜直轨AB与水平直轨CD长均为L＝3m，圆弧形轨道APD和BQC均光滑，BQC的半径为r＝1m，APD的半径为R，AB、CD与两圆弧形轨道相切，O2A、O1B与竖直方向的夹角均为＝37°。现有一质量为m＝1kg的小球穿在滑轨上，以Ek0的初动能从B点开始沿AB向上运动，小球与两段直轨道间的动摩擦因数均为μ=1/3，设小球经过轨道连接处均无能量损失。（g＝10m/s，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，sin18.5°=0.32，cos18.5°=0.95，tan18.5°=1/3，cot18.5°=3）求：

（1）要使小球完成一周运动回到B点，初动能Ek0至少多大？

（2）小球第二次到达D点时的动能

（3）小球在CD段上运动的总路程

213、光滑曲面的末端与一长L=1m的水平传送带相切，传送带离地面的高度h =1.25m，传送带的滑动摩擦因数μ=0.1，地面上有一个直径D=0.5m的圆形洞，洞口最左端的A点离传送带右端的水平距离S

=1m，B点在洞口的最右端。传动轮作顺时针转动，使传送带以恒定的速度运动。现使某小物体从曲面上距离地面高度H处由静止开始释放，到达传送带上后小物体的速度恰好和传送带相同，并最终恰好由A点落入洞中。求：（1）传送带的运动速度v是多大。（2）H的大小。

14、图所示，水平传送带水平段长L＝6m，两皮带轮直径D均为0.2m，距地面高H＝5m，与传送带等高的光滑水平台上有一小物块以v0＝5m/s的初速度滑上传送带，物块与传送带间动摩擦因数μ＝0.2，g取10m/s2.求(1)若传送带静止,物块滑到B端后做平抛运动的水平距离S(2)若皮带轮顺时针以角速度ω＝60rad/s转动，物块滑到B端后做平抛运动的水平距离S’。

4

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9、解析：设小物块被弹簧弹出时的速度大小为v1，到达圆弧轨道的最低点时速度大小为v2，到达圆弧轨道的最高点时速度大小为v3. mv23(1)因为小物块恰好能到达圆弧轨道的最高点，故向心力刚好由重力提供，有＝mg①

R小物块由A射出后做平抛运动，由平抛运动的规律有

x＝v3t②

12R＝gt2③

2联立①②③解得：x＝2R，即小物块的落点距O′的距离为2R. (2)小物块在圆弧轨道上从最低点运动到最高点的过程中，由机械能守恒定律得

121mv2＝mg×2R＋mv2④

223小物块被弹簧弹出到运动到圆弧轨道的最低点的过程由功能关系得：

1212mv＝mv＋μmgL⑤

2122小物块释放前弹簧具有的弹性势能就等于小物块被弹出时的动能，故有

1Ep＝mv2⑥

21由①④⑤⑥联立解得：

5Ep＝mgR＋μmgL. 25答案：(1)2R

(2)mgR＋μmgL

2

10、分析隐含于题设条件“木块能沿原路返回重新经过A点”的含义，是解决问题的关键。其中有两重含义：一是木块能沿原路返回，故滑块沿圆轨道上滑时，其上升的高度不能越过轨道的圆心O，所以v0不能太大；二是要使木块能回到A点，必须要有足够的动能，所以v0不能太小。这就决定本题有两个临界点，找出这两种情形的临界点，即可求解得结果。

要使木块沿原路返回，则沿圆轨道上滑时，不能超过位置C点。设木块恰好能上升到C点，即到达C点时的速度为0。

从A点到C点过程中外力所做的总功为W=－(mgs+mgR)，

根据动能定理有 －(mgs+mgR)=0－12mv0，

212则要使木块不超过位置C点，v0应满足 mv0≤

mgs+mgR，

212又要使木块能回到A点，则有 mv0≥2mgs，

2联立两式得 2gs2gRv02gs，

且要使上式成立，则R、、s之间还应满足 R≥s；

【解题策略】 这是关于临界状态的问题。分析寻找临界点是解决这类问题的关键。这也是物理问题的难点之一。解决不同的功能关系问题的基本思路都大致相似，不同的就在于隐含于题干中的特征条件的变化，如本题的设问改为：要求木块能重新回到A点而不必经原路，则结果又如何？

11、解答：

设钉在D点绳刚好能承受最大拉力，ED=x，则

1ADx2()2

2悬线碰到钉子后，绕钉子做圆周运动的半径为r，则

L2rLADLx ①

42当小球落到D点正下方时，绳受到的拉力最大，设此时拉力为F，小球速度为v，由牛顿第二定律有：

5

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v2Fmgm

r又F≤9mg，

v28mg ②

∴

mr由机械能守恒定律有：

L1mg(r)mv2

22即：v22g(Lr) ③

2联立①②③式可解得：x2L. 3

6．如图所示，一轻弹簧左端固定在长木板m2的左端，右端与小木块m1连接，且m1与m2及m2与地面之间接触面光滑，开始时m1和m2均静止，现同时对m1、m2施加等大反向的水平恒力F1和F2，从两物体开始运动以后的整个过程中，对m1、m2和弹簧组成的系统（整个过程中弹簧形变不超过其弹性限度），正确的说法是（

）

A．由于F1、F2等大反向，故系统机械能守恒

B．由于F1、F2分别对m1、m2做正功，故系统动能不断增加

C．由于F1、F2分别对m1、m2做正功，故系统机械能不断增加

D．当弹簧弹力大小与F1、F2大小相等时，m1、m2的动能最大

4．质量为m的物体，从静止开始以a=g/2的加速度竖直向下运动h米，下列说法中错误的是：

．．Ａ．物体的动能增加了mgh/2 Ｂ．物体的机械能减少了mgh/2 Ｃ．物体的势能减少了mgh/2 Ｄ．物体的势能减少了mgh。

【典例】如图4所示，质量为M的木块放在光滑的水平面上，质量为m的子弹以速度v0沿水平射

中木块，并最终留在木块中与木块一起以速度v运动。已知当子弹相对木块静止时，木块前进距离L，子弹进入木块的深度为s。若木块对子弹的阻力f视为恒定，则下列关系式中正确的是

（

）

随着x的减小，即钉子左移，球绕钉做圆周运动的半径越来越大，转至最高点的临界速度gr也越来越大，但根据机械能守恒定律，半径r越大，转至最高点时的瞬时速度越小，当这个瞬时速度小于临界速度时，小球就不能到达圆的最高点。

设钉子在D′点时，小球刚好能绕钉做圆周运动到达

圆的最高点，设速度为v′，ED′=x′，如图所示，小球在最高点的

LADx2()2

2LrLAD2L2x ④

4v2在最高点，mg≤m ⑤

r由机械能守恒定律有：

L1mg(r)mv2 ⑥

22

图4

7联立④⑤⑥式得：xL

6所以，在水平线EF上钉子的位置范围是

6 72LxL. 63

12

Mv21212 C．Ffs=mv0－（M＋m）v22A．FfL=B．Ffs=12 mv2

D．Ff（L＋s）=1212 mv0－mv22

【典例】在离地面高10m的楼顶，将一质量为1kg的小球以20m/s的速度竖直向下扔出，若忽略空气阻力，试求小球离地5.8m时的速度大小？（三种方法）

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【变式】在离地面高10m的楼顶，将一质量为1kg的小球以20m/s的速度竖直向下扔出，若空气阻力恒为重力的0.2倍，试求小球离地5m时的速度大小？

【变式】人在高h处斜向上抛出一个质量为m的物体，物体到达最高点的速度为v1，，落地时的速度为v2，，（不计空气阻力），则人对这个物体做的功为多少？

7