3. 万有引力定律的应用教案推荐

万有引力与航天

四川省武胜中心中学校

潘春

高考概况

考什么

1.万有引力定律的理解及应用；

2.天体质量与密度的估算；

3.双星问题，航天器变轨问题等。

怎么考

1.联系当今科技，考查万有引力定律的应用；

2.万有引力定律与曲线运动、功能关系等知识相结合进行综合考查，主要以选择题形式考查，难度中等。

怎么办

1.强化圆周运动知识与万有引力定律、天体运动综合问题的训练；

2.运用两个模型、两条思路是解决天体运动与航天问题的基础。

万有引力定律在天体运动中的应用

1．两条基本思路

GMm(1)天体附近：R2＝

。

(2)环绕卫星

GM1mωr→ω＝→ω∝rrMmGr＝4π4πrmTr→T＝GM→T∝rma→a＝GM→a∝1rr2332223222v2mr→v＝GM1r→v∝r3

当r＝R地ω为最大环绕角速度时T为最小周期a为最大加速度g表v＝7.9 km/s为第一宇宙速度

(3)近地卫星

①轨道越高运行速度

；

②双星运动

相等；

③月球绕地球转动周期约为

天；

④同步卫星与地球自转周期

(1天)。

2．第一宇宙速度v1＝7.9 km/s是人造地球卫星的

发射速度，

运行速度。只有以第一宇宙速度发射的人造卫星绕地球表面运行时，运行速度才与发射速度相等，而对于在离地较高的轨道上运行的卫星，其运行速度与地面发射速度并不相等。

例1．太阳系中的行星受到太阳的引力绕太阳公转，但它们公转的周期却各不相同。若把地球和水星绕太阳的运动轨迹都近似看作圆周，根据观测得知，地球绕太阳公转的周期大于水星绕太阳公转的周期，则由此可以判( ) •

A．地球的线速度大于水星的线速度

•

B．地球的质量小于水星的质量

•

C．地球的向心加速度小于水星的向心加速度

•

D．地球到太阳的距离小于水星到太阳的距离

例2．[2015·四川高考]登上火星是人类的梦想，“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于2020年登陆火星。地球和火星公转视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响。根据下表，火星和地球相比(

) 行星

地球

火星

半径/m

6.4×106

3.4×106

质量/kg

6.0×1024

6.4×1023

轨道半径/m 1.5×1011

2.3×1011

A.火星的公转周期较小

B．火星做圆周运动的加速度较小

C．火星表面的重力加速度较大

D．火星的第一宇宙速度较大

拓展提升

估算中心天体质量和密度的两条思路

(1)利用天体表面的重力加速度和天体半径估算

MmgR2M433g由GR2＝mg得M＝G，再由ρ＝V，V＝3πR得ρ＝4GπR。

v2rv24π2r3Mm4π2M43(2)由Gr2＝mr＝mT2r得M＝G＝GT2，再结合ρ＝V，V＝3πR3v2r3πr3天体表面3π得ρ＝4GπR3＝GT2R3――→ρ＝GT2。

例4．美国航天局与欧洲航天局合作，发射的火星探测器已经成功登录火星。荷兰企业家巴斯兰斯多普发起的“火星一号”计划打算将总共24人送上火星，创建一块长期殖民地。若已知万有引力常量G，那么在下列给出的各种情景中，能根据测量的数据求出火星密度的是(

) A．在火星表面使一个小球做自由落体运动，测出落下的高度H和时间t

B．火星探测器贴近火星表面做匀速圆周运动，测出运行周期T

C．火星探测器在高空绕火星做匀速圆周运动，测出距火星表面

的高度H和运行周期T

D．观察火星绕太阳的匀速圆周运动，测出火星的直径D和运行周期T 卫星变轨问题

v2(1)当F供＝F需＝mr时，卫星做匀速圆周运动。

(2)当F供

F需时，卫星做近心运动。

mv2当卫星的速度突然减小时，所需向心力r减小，即万有引力

卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，到中心天体的距离变小，引力做

，引力势能

，进入新轨道运行时，由v＝

机械能均

(3)当F供

F需时，卫星做离心运动。

v2当v增大时，所需向心力mr增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，到中心体的距离增大，克服引力做功，引力势能

。卫星一旦进入新的轨道运行，由v＝GMr知其运行速度要

，但引力势能、机械能均

。

求航天器的变轨问题的五点注意

(1)卫星的a、v、ω、T是相互联系的，其中一个量发生变化，其他各量也随之发生变化。

(2)a、v、ω、T均与卫星的质量无关，只由轨道半径r和中心天体质量共同决定。

(3)卫星变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新轨道上的运行速度变化由v＝GMr判断。

GM但引力势能、r知运行速度将

，(4)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。

(5)航天器经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。

类题演练

例6 (多选)2013年12月2日，我国探月卫星“嫦娥三号”在西昌卫星发射中心成功发射升空，沿地月转移轨道直奔月球，飞行轨道如图所示。“嫦娥三号”经过地月转移轨道在P点调整后进入环月圆轨道，再调整后进入环月椭圆轨道，最后由近月点Q沿抛物线下降，于2013年12月14日在月球虹湾成功软着陆。在实施软着陆过程中，“嫦娥三号”离月球表面4 m高时最后一次悬停，确认着陆点。已知“嫦娥三号”总质量为M在最后一次悬停时，反推力发动机对其提供的反推力为F，引力常量为G，月球半径为R，忽略月球自转及地球对月球的影响。以下说法正确的是(

) A．“嫦娥三号”在环月圆轨道的P点加速，才能进入环月椭圆轨道

FRB．月球的质量为MG

C．月球的第一宇宙速度为

FRM

D．“嫦娥三号”沿椭圆轨道运动至P点和沿圆轨道运动至P点时，加速度相同

课后练习题：

1．[2015·邢台四模]为研究太阳系内行星的运动，需要知道太阳的质量，已知地球半径为R，地球质量为m，太阳与地球中心间距为r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期为T。则太阳的质量为(

) 4π2r3A.T2R2g

4π2mgr2C.r3T2

T2R2gB.4π2mr3

4π2mr3D.T2R2g

2．[2015·宜宾一诊]按照我国整个月球探测活动的计划，在第一步“绕月”工程圆满完成各项目标和科学探测任务后，第二步是“落月”工程。已在2013年以前完成。假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞船沿距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B时再次点火进入月球近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动。下列判断正确的是(

) g0RA．飞船在轨道Ⅰ上的运行速率v＝2

B．飞船在A点处点火变轨时，动能增大

C．飞船从A到B运行的过程中机械能增大

D．飞船在轨道Ⅲ绕月球运动一周所需的时间T＝πgg0

3．[2015·石家庄二模]如图所示，人造卫星A、B在同一平面内绕地心O做匀速圆周运动，已知A、B连线与A、O连线间的夹角最大为θ，则卫星A、B的线速度之比为(

)

A．sinθ

1B.sinθ

C.sinθ

D. 1sinθ

4．[2015·江淮十校联考]太阳系中某行星运行的轨道半径为R0，周期为T0。但天文学家在长期观测中发现，其实际运行的轨道总是存在一些偏离，且周期性地每隔t0时间发生一次最大的偏离(行星仍然近似做匀速圆周运动)。天文学家认为形成这种现象的原因可能是该行星外侧还存在着一颗未知行星。假设两行星的运行轨道在同一平面内，且绕行方向相同，则这颗未知行星运行轨道的半径R和周期T是(认为未知行星近似做匀速圆周运动)(

) t20A．T＝

t0－T0C．R＝R03T02

t0－T0t0B．T＝T

t0－T003D．R＝R0t0－T02t

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