2.1.3 相等向量与共线向量优秀教学设计内容

2.1.3

相等向量与共线向量

英德市田家炳中学

数学组

高一级

苏卫强

教学目标：

1.

掌握相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 2.

通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 3.

通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点：理解并掌握相等向量、共线向量的概念，

教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 教学思路：

一、情景设置：

(一)、复习引入

1.向量与数量有什么联系和区别？

向量有哪几种表示？

联系：向量与数量都是有大小的量；

区别：向量有方向且不能比较大小，数量无方向且能比较大小.

表示：向量可以用有向线段表示，也可以用字母符号表示.

2.什么叫向量的模？零向量、单位向量、平行向量分别是什么概念？

向量的模：表示向量的有向线段的长度.

零向量：模为0的向量.

单位向量：模为1个单位长度的向量.

平行向量：方向相同或相反的非零向量.

3.引进向量概念后，我们就要建立相关的理论体系，为了研究的需要，我们必须对向量中的某些现象作出合理的约定或解释，特别是两个向量的相互关系.对此，我们将作些研究. (二)、新课学习 1、有一组向量，它们的方向相同、大小相同，这组向量有什么关系？

2、任一组平行向量都可以移到同一直线上吗？这组向量有什么关系？

二、探究学习

探究（一）：相等向量

思考1：因为向量完全由它的方向和模确定.对于两个非零向量a、b，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？ 1、模相等,方向相同;

2、模相等,方向不相同;

3、模不相等, 方向相同;

4、模不相等, 方向不相同;

思考2：我们知道两个向量不能比较大小，只有模等与不等，方向同与不同的区1

别,你认为如何规定两个向量相等？

相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；

（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向．．．线段的起点无关. ．．．．．．．思考3：对于非零向量 AB和CD，如果 ABCD，通过平移使起点A与C重合，那么终点B与D的位置关系如何？

说明：（4）在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量；因为向量完全由它的方向和模确定. (5)向量或有向线段平移,不会改变其长度和方向

思考4：用有向线段表示非零向量 AB和CD，如果ABCD，那么A、B、C、D四点的位置关系有哪几种可能情形？

探究（二）：平行向量与共线向量 思考1：如果两个非零向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？

方向相同或相反

思考2：我们知道方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a与b平行记作a//b，那么平行向量所在的直线一定互相平行吗？

思考3：零向量0与向量a平行吗？

零向量与任一向量平行.

思考4：将向量平移，不会改变其长度和方向.如图，设a、b、c是一组平行向量，任作一条与向量a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，分别作 

OAa,OBb,OCc,那么点A、B、C的位置关系如何？

结论：点A、B、C在同一条直线上

上述分析表明，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量。

共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）. ．．．．．．．．．．．2

说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；

（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 思考5：如果非零向量 那么点A、B、C、D是否一定共线？

AB和CD是共线向量，

思考6：若向量a与b平行（或共线），则向量a与b相等吗？反之，若向量

a与b相等，则向量a与b平行（或共线）吗？

思考7：对于向量a、b、c，若a // b，

b // c，那么a // c吗？

思考8：对于向量a、b、c，若a =b，

b =c，那么a = c吗？

三、理论迁移

例1．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA、OB、OC相等的向量. 变式一：与向量OA长度相等的向量有多少个？（11个）

变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）

变式三：与向量共线的向量有哪些？（CB,DO,FE）

例2 判断下列命题是否正确：

①若两个单位向量共线,则这两个向量相等（ ）

②不相等的两个向量一定不共线 （ ）

③ａ与ｂ共线,ｂ与ｃ共线,则ａ与c也共线（ ） ④任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行

四边形的四顶点（ ）

⑤向量ａ与ｂ不共线,则ａ与ｂ都是非零向量（ ） ⑥有相同起点的两个非零向量不平行（ ）

例3下列命题正确的是（ ）

A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行

解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定3

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点

形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C. 四、课堂练习：

1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由

①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；

③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB＝DC ⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；

⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. 解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB、AC在同一直线上. ②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定. ③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图AC与BC共线，虽起点不同，但其终点却相同.

2．课本77页练习2、4题

五、课堂小结

：

1.相等向量--长度相等且方向相同的向量.平行向量与共线向量是同一概念，相等向量与平行向量是包含概念. 2.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示,并且与有向线段的起点无关. 3.向量的平行、共线与平面几何中线段的平行、共线是不同的概念，平行向量（共线向量）对应的有向线段既可以平行也可以共线. 4.平行向量不具有传递性，但非零平行向量和相等向量都具有传递性. 六、课后作业：

P77～78习题2.1 A组：3，4, 6. B组：1，2.

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