小结课堂实录【1】

第三章概率《概率》小结与复习(第一课时)

一

教学目标：

1．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件的概率的意义，了解等可能性事件的概率的意义，会用排列、组合的公式计算一些等可能性事件的概率 2．了解互斥事件与相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率，会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

3. 识别事件间的相互关系，把实际问题抽象成数学概率模型、判断出相互独立事件或独立重复试验，进而利用相应的概率公式解决问题

二

教学重点：事件的概率的求解方法

三

教学难点：事件的概率的综合应用

四

教学方法：启发式

五

数学过程：

I. 复习与引入

1. 事件的定义： 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；

必然事件：在一定条件下必然发生的事件；

不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件

说明：三种事件都是在“一定条件下”发生的，当条件改变时，事件的性质也可以发生变化

2．随机事件的概率：

一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率m/n总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A)．

随机事件概率反映的是，这个事件发生可能性的大小．即一个随机事件的发生既有随机性（对单次试验来说）又有规律性（对大量重复试验来说）．规律性体现在m/n 的值具有稳定性．当随机试验的次数不断增多， m/n 的值总在这个常数附近摆动且摆动的幅度越来越小．所以，概率可以看作是频率在理论上的期值．

3. 概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率

4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0

一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A）称为一个基本事件

例如：投掷硬币出现2种结果叫2个基本事件，通常试验中的某一事件A由几个基本事件组成（例如：投掷一枚骰子出现正面是3的倍数这一事件由“正面是3”、“正面是6”这两个基本事件组成）． 6．等可能性事件：

等可能性事件指：一次试验中所有可能出的n个基本结果出现的可能性都相等，这n个结果对应着n个基本事件，每个基本事件的概率都是1/n ，如果某事件A包含着这n个等可能基本事件中的m个基本事件，称事件A为等可能随机事件

7．等可能性事件的概率：

如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A包含m个结果，那么事件A的概率P(A)＝m/n（m≤n），

①一个基本事件是一次试验的结果，且每个基本事件的概率都是1/n，即是等可能的；

②公式P(A)＝m/n是求解公式，也是等可能性事件的概率的定义，它与随机事件的频率有本质区别。随机事件的频率，一般地不是一个常数，只有在大量重复试验下，它总在某个常数附近摆动，才把这个常数叫做随机事件的概率。因此，可以说概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值。

③可以从集合的观点来考察事件A的概率：P(A) ＝card(A)/card(I) ＝事件I

事件A

m/n 1

对古典概率来说，一次试验中等可能出现的n个结果组成一个集合I，包括m个结果的事件A为I的含有m个基本事件的子集A ，从而从集合角度来看：事件A的概率是子集A的元素个数与集合I的元素个数的比值，即P(A)＝m/n (其中各基本事件均为集合I的含有一个元素的子集)。

④一次试验中等可能性随机事件A和B发生的概率P（A）、P（B）未必相等，若事件A和B所含的基本事件的个数相同，则有P（A）＝P（C）。

如事件A表示投掷一枚骰子出现正面是奇数这一事件，事件B表示投掷一枚骰子出现正面是3的倍数这一事件，则事件A和B发生的概率P（A）、P（B）就不相等P（A）≠P（B）；若事件C表示投掷一枚骰子出现正面是偶数这一事件，则事件A和C发生的概率P（A）、P（C）就相等，P（A）＝P（C）． 8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法 ⑴计算所有基本事件的总结果数n; ⑵计算事件A所包含的结果数m; ⑶计算P(A)＝m/n 9. 计算等可能事件的概率应注意：

分清所有基本事件的总和（n）和事件A所包含的基本事件总和（m）．运用排列、组合公式时应仔细分析：①所研究的对象是否可区分；②排列方式是否有序；③抽取方式是否有“放回”．以便做到不杂、不漏、不重．

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什么叫做互斥事件？

在一次试验中,不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件．

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什么叫做对立事件？

一次试验中，若两个互斥事件必有一个发生时，这样的两个互斥事件叫做对立事件．

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什么叫做相互独立事件？

事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

13 ①事件A+B发生表示的意义是什么？②事件A·B发生表示的意义是什么？ 事件A+B发生

，表示事件A 与事件B 中至少有一个发生。 不能想当然地认为是事件A 与B 同时发生，事实上当A 与B 互斥时

，它们不可能同时发生;事件A·B发生表示事件A 与B 同时发生。

14 怎样计算n 个互斥事件A1,A2，…，An中 有一个发生的概率？

两个事件A,B 互斥，

则P (A+B)=P(A)+P(B) 事件A1,A2，…，An彼此互斥，则 P(A1+A2 +…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) 15 两个对立事件间的概率关系？

P(A)

P(A)P(AA)1

16 怎样计算n 个相互独立事件A1，A2 ，…，An同时发生的概率？

两个相互独立事件A,B同时发生，则P(A·B) =P(A)·P(B)

相互独立事件A1 ，A2 ，…，An同时发生，则P(A1·A2…·An)= P(A1) ·P(A2) …·P(An) 17 概率的和与积的互补公式? P(A1A2An)1-

P(A1A2An)，它在概率的计算中常用来简化计算．

18 n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率公式? 如果在一次试验中某事件A发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率kk计算公式：

PnkCnp1pnkkknk　或PnkCnpqq1p

上面的公式恰为[(1P)P]n中的第k＋1项，又叫二项分布公式，可见排列组合、二项式定理及概率间存在着密切的联系. 19 理解并领会下列结论：

2

展开式

P(AB）＝P(ABABAB)　　　 P(AB)P(AB)P(AB)或　P(AB)1－P(AB),　或　P(AB)P(A)P(B)P(AB)当A，B互斥时，还有P(AB）＝P(A)P(B)P(ABC)1P(ABC)　　注意： P(AB)1P(AB)P(AB)， 而 P(AB)1P(AB),

, 　　当A与B独立时，还有P(AB)P(A)P(B)　　

一般地，P(AB)P(AB)3

Ⅱ. 讲授新课

例题1 在某次花样滑冰比赛中，由于发生裁判受贿事件，所以竞赛委员会决定将裁判人数由原来的9名增14名，计分时只任取7名裁判的评分作为有效分．若14名裁判中有2人受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率

解：基本事件的总数____nC14，

“没有受贿裁判的评分”所含基本事件的数量为______mC12，

7mC123“没有受贿裁判的评分”的概率为：P7.

nC141377例题2 同时掷四枚均匀硬币，求下列事件的概率：⑴事件A：恰有两枚正面向下；⑵事件B：至少有两枚正面向下. 解：⑴方法一:每枚硬币抛下都有“正面向下”或“正面向上”两种结果，根据乘法原理，共有16种结果，对于事件A，应是从四枚中选两枚“正面向下”，有6种结果，在16种结果中，每个结果出现的可能性都相等，根据等可能性事件概率的意义得：P(A)=6/16=3/8 ⑴方法二:如果把抛掷四枚硬币当作先后四次试验，每次试验只有两种结果，这种试验是独立重复试验，根据独立重复试验的意义得：

P(A)C4()(1)21221242613.

16823C4C464⑵方法一：①恰有两枚“正面朝下”，P.②恰有三枚“正面朝下”，P.

③恰有16161616464111C41四枚“正面朝下”，P.P(B).

161616161616⑵方法二：P(B)C4()()C4()()C4()()2122122312312412412011.

16答：恰有两枚正面向下的概率为3/8 ；至少有两枚正面向下的概率为11/16 推广：若同时掷 n 枚硬币，情况如何？

例题3 将并排的四个房间安排给3个旅游者住，且每个人可住进任何一个房间，住进各房间是等可能的，试分别求下列各事件发生的概率：⑴事件A：指定的三个房间中各有1人；⑵事件B：指定的一个房间中有2人，余下的1人可住剩 下三间中的任一间；⑶事件C：恰有3个房间中各住1人. 3133A3C32C3C4A3393解：

(1) P(A)3;(2) P(B);(3) P(C).

3343246448注：本题可推广到有n个房间安排给m个(m＜n)人住入的情况，请自行命题并解答. 例题4 袋中有红、黄、白3种颜色的球各一只，从中每次取1只，有放回地抽取3次，计算：⑴ 3只全是红球的概率；⑵ 3只颜色全相同的概率；⑶ 3只颜色不全相同的概率；⑷ 3只颜色全不相同的概率. 11113138C3C2C12;(2)P(B);(3)P(C)1;(4)P(D)解：(1)P(A).

27279279279注：求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种解法：一是分拆直接求解；二是对立间接求解. Ⅲ. 课堂练习

1、抛掷一均匀的正方体骰子（各面分别标有数1，2，3，4，5，6），事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上的一面的数不大于3”，求P(A+B) 2. 抛掷一均匀的正方体骰子两次，事件A表示“第

一次抛，朝上一面的数是奇数”，事件B表示“第

二次抛，朝上的一面的数不大于3”，求事件A、B至少有一个发生的概率.(注意与上题的区别) 3、甲、乙两人参加普法知识竞赛，共设10个题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙两人依次各抽一题.⑴甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？⑵甲乙两人至少有一人抽到选择题概率是多少？

4

1. 法一：P(AB）＝P(ABABAB)P(AB)P(AB)P(AB)1/61/62/62/3法二：P(AB)1－P(AB)12/62/3;　法三：P(AB)P(A)P(B)P(AB)3/63/62/6; 注意：(1)A，B不互斥，P(AB）P(A)P(B);(2)

本题A、B不相互独立，P(AB)P(A)P(B)，P(A)P(B)＝（1/2）（1/2）＝1/4,

而P(AB)2/62. 法一：P(AB）＝P(ABABAB)P(AB)P(AB)P(AB)1111113＝P(A)P(B)P(A)P(B)P(A)P(B)2222224法二：P(AB)1－P(AB)1(1－1/2）(1－1/2）3/4,　法三：P(AB)P(A)P(B)P(AB)1/21/2（1/2）（1/2）＝3/4注意：(1)

A，B不互斥，P(AB）P(A)P(B);(2)　本题A、B相互独立，P(AB)P(A)P(B)＝（1/2）（1/2）＝1/43.

4/15,

13/15 IV. 课时小结

1、使用公式P(A)=m/n 时，关键在于求出m、n，在求n时必须注意n种结果必须是等可能的； 2、要注意何时用“排列”，何时用“组合”； 3、解题时不要就题论题，要联想、发挥、推广； 4、注意用集合的思想方法分析事件的概率. V. 课后作业

1．课本课本P150 A组 No.4、6、8、10

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