复习参考题教学设计

必修四

第二章

向量

——章末复习课

日喀则市拉孜高级中学 燕浩

一、知识网络

二、知识要点归纳

1．平面向量的基本概念

主要应掌握向量的概念、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念，这些概念是考试的热点，一般都是以选择题或填空题出现，尤其是单位向量常与向量的平行与垂直的坐标形式结合考查，往往一些学生只求出一个而遗漏另一个．

2．向量的线性运算

主要应掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则，甚至推广到向量加法的多边形法则；掌握向量减法的三角形法则；数乘向量运算的性质和法则及运算律．同时要灵活运用这些知识解决三点共线、两线段相等及两直线平行等问题．

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3．向量的坐标运算

主要应掌握向量坐标运算的法则、公式进行向量加、减与数乘运算；能用向量共线的坐标表示证明两向量平行或证明三点共线；能用平面向量基本定理和基底表示平面内任意一个向量．

4．平面向量的数量积

平面向量的数量积是向量的核心内容，主要应掌握向量的数量积的定义、法则和公式进行相关运算，特别是向量的模、夹角、平行与垂直等运算；能用向量数量积的坐标形式求向量的模、夹角，证明向量平行或垂直，能解答有关综合问题．

5．平面向量的应用

一是要掌握平面几何中的向量方法，能用向量证明一些平面几何问题、能用向量求解一些解析几何问题；二是能用向量解决一些物理问题，如力、位移、速度等问题.

专题一：向量的共线问题

运用向量平行(共线)证明常用的结论有：(1)向量a、b(a≠0)共线⇔存在唯一实数λ，使b＝λa；(2)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线⇔x1y2－x2y1＝0；(3)向量a与b共线⇔|a·b|＝|a||b|；(4)向量a与b共线⇔存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0. 判断两向量所在的直线共线时，除满足定理的要求外，还应说明此两直线有公共点．

【例1】

设坐标平面上有三点A、B、C，i、j分别是坐标平面→→上x轴，y轴正方向的单位向量，若向量AB＝i－2j，BC＝i＋mj，那么是否存在实数m，使A、B、C三点共线．

解

法一

假设满足条件的m存在，由A、B、C三点共线，即→→→→AB∥BC，∴存在实数λ，使AB＝λBC，i－2j＝λ(i＋mj)，λ＝1，λm＝－2，

∴m＝－2，∴当m＝－2时，A、B、C三点共线．

法二

假设满足条件的m存在，根据题意可知：i＝(1,0)，j＝→→(0,1)，∴AB＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，BC＝(1,0)＋m(0,1)＝→→(1，m)，由A、B、C三点共线，即AB∥BC，故1·m－1·(－2)＝0，解得m＝－2，∴当m＝－2时，A、B、C三点共线．

【例2】

已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋2b与2a－4b平行，求实数k的值．

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解

法一

向量ka＋2b与2a－4b平行，则存在唯一实数λ，使ka＋2b＝λ(2a－4b)．

∵ka＋2b＝k(1,2)＋2(－3,2)＝(k－6,2k＋4)，2a－4b＝2(1,2)－4(－3,2)＝(14，－4)，

∴(k－6,2k＋4)＝λ(14，－4)．

k－6＝14λ，∴2k＋4＝－4λ，

1λ＝－，2解得k＝－1.

∴实数k的值为－1.

法二

∵ka＋2b＝k(1,2)＋2(－3,2)＝(k－6,2k＋4)，2a－4b＝2(1,2)－4(－3,2)＝(14，－4)，ka＋2b与2a－4b平行，

∴(k－6)×(－4)－(2k＋4)×14＝0. 解得k＝－1.

专题二

向量的夹角及垂直问题

1．求两个向量的夹角主要利用两个公式：

a·b(1)cos θ＝|a||b|，求解的前提是：求出这两个向量的数量积和模．

(2)cos θ＝向量的坐标．

x1x2＋y1y2，求解的前提是：可以求出两个x12＋y12x22＋y22

2．解决垂直问题，其关键在于将问题转化为它们的数量积为零，与求夹角一样，若向量能用坐标表示，将它转化为“x1x2＋y1y2＝0”较为简单．

3．用向量方法解决平面几何中的夹角与垂直问题的关键在于：选用适当向量为基底，把所要研究的问题转化为两向量的夹角与垂直问题，再利用向量知识求角．

【例3】

已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．

(1)求证：AB⊥AD；

(2)若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．

(1)证明

∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，

→→∴AB＝(1,1)，AD＝(－3,3)．

→→∵AB·AD＝1×(－3)＋1×3＝0，

→→∴AB⊥AD，即AB⊥AD.

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【例4】 (2012·北京密云高一期末)已知向量a＝(4，－2)，b＝(x,1)．

(1)若a，b共线，求x的值；

(2)若a⊥b，求x的值；

(3)当x＝2时，求a与b夹角θ的余弦值．

解

(1)∵a，b共线，∴－2x＝4. ∴x＝－2. 1(2)∵a⊥b，∴4x－2＝0.∴x＝2. (3)当x＝2时，a·b＝6，|a|＝20，|b|＝5. a·b63∴cos θ＝＝＝5. |a||b|20×5

专题三

向量的长度(模)与距离的问题

向量的模不仅是研究向量的一个重要量，而且是利用向量的方法解决几何问题的一个交汇点．一般地，求向量的模主要利用公式|a|2＝a2，将它转化为向量的数量积问题，再利用数量积的运算律和运算性质进行展开、合并，使问题得以解决，或利用公式|a|＝x2＋y2，将它转化为实数问题，使问题得以解决．

【例5】

设|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，求|3a＋b|的值．

解

法一

∵|3a－2b|＝3，

∴9a2－12a·b＋4b2＝9. 1又∵|a|＝|b|＝1，∴a·b＝3. ∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2＝9a2＋6a·b＋b2

1＝9＋6×3＋1＝12. ∴|3a＋b|＝23. 法二

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．

∵|a|＝|b|＝1，∴x12＋y12＝x22＋y22＝1. ∵3a－2b＝(3x1－2x2,3y1－2y2)，

∴|3a－2b|＝3x1－2x22＋3y1－2y22＝3. 1∴x1x2＋y1y2＝3. ∴|3a＋b|＝3x1＋x22＋3y1＋y22

＝

19＋1＋6×3＝23. 第

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专题四

平面向量与函数的综合问题

平面向量既反映了数量关系，又体现了几何图形的位置关系，从而将数和形有机地结合起来，因此以平面向量的相关知识为载体，在知识交汇处设计创新力度较大、综合性较强的试题，有效地沟通了知识间的横向联系，有助于知识网络的构建，有力地考查了学生的综合能力．

【例6】

设0<|a|≤2，f(x)＝cos2x－|a|sin x－|b|的最大值为0，最小值为－4，且a与b的夹角为45°，求|a＋b|. 解

f(x)＝1－sin2x－|a|sin x－|b| |a|2|a|2＝－sin x＋2＋4－|b|＋1. ∵0<|a|≤2，

|a||a|2∴当sin x＝－2时，4－|b|＋1＝0；

当sin x＝1时，－|a|－|b|＝－4. |a|2－|b|＋1＝0，由4－|a|－|b|＝－4

|a|＝2，得|b|＝22.

∴|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2

＝22＋2×2×2cos 45°＋22＝8＋42，

∴|a＋b|＝8＋42＝22＋2.

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