2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教案范文

2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算

教学目标：

1、掌握向量的正交分解，理解向量坐标表示的定义；掌握向量的坐标与表示该有向线段起、终点坐标的关系；理解向量与坐标之间是一一对应关系；经历向量的几何表示——线性表示——坐标表示的实现过程，从中体会由特殊到一般的研究问题的方法，体会由“形”到“数”的数形结合思想及与点与坐标关系的类比思想。

2、掌握向量的坐标与表示该有向线段起、终点坐标的关系；在实现平面向量坐标表示的过程中，学生独立探索、参与讨论交流，从中加深对知识的理解，体验学习数学的乐趣。

教学重点：平面向量坐标表示的定义

教学难点：对平面向量坐标表示生成过程的理解

教学过程：

一、复习引入：

1．平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1

，2使a1e12e2

(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；



(2)基底不惟一，关键是不共线； (3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一.

1

，2是被a、e1、e2唯一确定的数量

（设计意图：通过对已学知识在回顾，激发学生在学习兴趣，很好地融入课堂）

二、讲解新课：

同学们，我们学***面向量基本定理，涉及到了一个向量分解。大家思考一下你们所学的知识中在什么地方涉及到向量的分解。（提醒学生力的分解）

如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2，这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？

F1F2G

重力G产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力的作用F1，沿斜面下滑；二是木块产生垂直于斜面的压力F2.也就是说，重力G的效果等价于F1和F2得合力效果，即

GF1F2



在物理中，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算.力也可以分解，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向且垂直的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来，就会形成一个新的数学理论. 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且a4以向量i、j为基底，向量a如何表示？

a23i2jB aP 30jO i

A 如果说我们把这个这两个单位向量放入到直角坐标系中，能不能表示出其他在向量呢？

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得

axiyj…………○1

我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作

a(x,y)…………○2

2式叫其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标○做向量的坐标表示

在定义中，要注意axiyj(x,y)

定义实际上给出了求向量坐标的方法：写出向量在正交基底i、j方向的分解形式，就得到了向量的坐标；反过来，知道了一个向量的坐标，就相当于知道了它在i、j方向的分解形式.

思考：你能给出单位向量在坐标表示吗？

i1,0 j0,1

（设计意图：由特殊到一般，引发学生思考，培养学生的数学思维。）

三、例题讲解

如图，分别用基底i、它们的坐标。

解：如图可知：a2i3j

j表示向量a、b、c、d，并求出a(2,3)

同理：

b2i3j(2,3)

c2i3j(2,3)



d2i3j(2,3)

探究：向量的坐标由哪几个点确定？向量在起点在原点，它

的坐标与终点坐标什么关系？如果起点不再原点呢？

引导学生得出结论：

1.起点在原点的向量其坐标就是其终点的坐标；

2.相等向量的坐标相同，坐标相同的向量是相等向量；

3.个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标. （设计意图：突出学生课堂在主体地位，加深学生对知识的理解，激发学生的学习兴趣）

四、随堂练习：

1.如图，在直角坐标系中，

已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7).分别用单位向量i,j表示出OA、BC、CD。

（设计意图：进一步通过变式训练强化学生对向量坐标表示在理解与应用）

五、课堂小结.（先请学生归纳，再由教师完善）

1.平面向量的坐标的概念；

2.几个重要结论：

(1)相等的向量坐标相同；坐标相同的向量是相等向量；

(2)起点在原点的向量的坐标等于其终点的坐标. (3)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点

的坐标减去始点的坐标. 3.新知探索中的数学思想

（设计意图：总结本节所学知识以及所蕴含的数学思想）

六、布置作业. 课本P114. 2.3.4