2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示课件配套优秀获奖教案

高中数学平面向量的正交分解及坐标表示

及坐标运算

一、目标解析

1、认知目标：理解平面向量坐标的概念，掌握平面向量的正交分解、坐标表示及坐标运算，会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。

2、能力目标：培养阅读概括、观察猜想、归纳类比、分析综合等思维能力，化归与转化、分类讨论思想的应用及从特殊到一般的研究方法。

3、情感目标：激发学生学习兴趣，体验数学发现和创造历程，培养自主研究，勇于探索、讨论交流、阅读自学等优秀学习品质。

二．教学重点：向量的坐标表示及坐标运算

三、教学难点：坐标表示及运算意义的理解。

四、教学支持条件

多媒体，实物投影仪

六、教学过程

（一）复习回顾，引出课题

平面向量的基本定理：如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1,2，使a1e12e2。

该定理的实质是：对平面内任一向量，在给定基底的前提下，有且只有一个有序实数对与其对应；．．．．．．．而由有序实数对，可以很自然地联想到平面直角坐标系内点的坐标。那么：向量和坐标之间有怎样的关．．．．．．．．．．．系呢？这就是今天要研究的课题：平面向量的坐标表示。

此环节，复习定理过程由学生回忆并作答，教师简单分析，由此引出课题。

（二）建构新知

首先让学生观看问题一：从光滑斜面上木块重力G分解中理解正交分解定义：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。

说明：选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。

问题：

我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示.对直角坐标平面内的每一个向量该如何表示呢？

思考：如图，在直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7）OAi,OB

填空：

j

i=

j=

OC

（2）若用i,j

来表示

OC,OD,

则OC

OD

（3）向量CD能否由

i,j表示出来？可以的话，如何表示？

1

平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得

1

axiyj…………○我们把(x,y)叫做

，记作

2

a(x,y)…………○其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标

问：向量a、b有什么关系?能说出向量b的坐标吗? 教师应引导学生特别注意以下几点: (1)向量a与有序实数对(x,y)一一对应. (2)向量a的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系,只与其相对位置有关系

(3)把坐标原点作为表示向量a的有向线段的起点,这时向量a的坐标就由表示向量a的有向线段的终点唯一确定了,即点A的坐标就是向量a的坐标, 【例1】

如图,分别用基底i、j表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标.

变式：如图，正方形ABCD中，O为中心，且OA(1,1)

试求

OB,OC,OD

的坐标。

问题3：当向量用有向线段表示时，我们可以对其进行加、减、数乘等运算，向量用坐标表示了之后，相应的运算法则是什么？即：若a(x1,y1),b(x2,y2)，则ab?,ab?a?

给学生充分时间进行自主探究，利用实物投影展示部分学生探究证明过程。

结论：若a(x1,y1),b(x2,y2)，则ab(x1x2,y1y2),a(x1,y1)。

以加法为例进行证明（其余类似可得）：ab(x1iy1j)(x2iy2j)

2

(x1x2)i(y1y2)j

(x1x2,y1y2)

学生用文字语言概括向量的坐标运算法则：两个向量和（差）的坐标分别等于这两向量相应坐标的和（差），实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相应坐标。

学生反思总结证明过程中的关键步骤：从数到形和从形到数的转化。

【例2】（1）已知a=(2，1)，b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐标.

探究活动：向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点和终点坐标之间的关系

【例3】已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求AB的坐标.

O A(x1,y1) y B(x2,y2) x

例4、已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(2, 1), B(1, 3), C(3, 4)，试求顶点D的坐标。

（学生做，教师投影讲解）

解：设顶点D的坐标为（x，y），

AB＝（－1－（－2），3－1）＝（1,2）

DC＝（3－x，4－y）

由AB＝DC，得：（1,2）＝（3－x，4－y）

13x∴，解得：x＝2，y＝2，所以顶点D的坐标为（2,2）。

24y

（三）总结反思，提高认识

1、平面向量的正交分解。

2、平面向量的坐标表示

3、平面向量的坐标运算；

（四）布置作业，深化拓展

1、书面作业

课本P114

1、2、3 2、点睛训练基础部分

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