2.1.2 向量的几何表示名师教学设计

“2.1.2 向量的几何表示”教学设计

学习目标：

1、理解有向线段的概念；

2、理解向量的几何表示；

3、理解向量的长度（模）、零向量、单位向量、平行向量等概念。

重点：向量的几何表示

难点：1.向量和有向线段的区别与联系；2.平行向量的理解

易错点：零向量的表示

教学程序：

一、引入：提出问题

问题1：在学习三角函数线时，我们学习了有向线段，试想：有向线段应包含什么要素？

提示：起点、方向、长度．

问题2：对既有大小又有方向的量，如何形象、直观地表示出来？

提示：利用有向线段表示．

问题3：如何表示向量？

提示：有向线段的方向表示向量的方向，长度表示向量的大小．

二、[导入新知] 1．有向线段

(1)有向线段是带有方向的线段，如图所示，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终点的有向线段记作AB

. (2)有向线段包含三个要素：起点、方向、长度，知道了有向线段的起点、长度和方向，它的终点就唯一确定．

2．向量的表示

(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向．

→→(2)字母表示：通常在印刷时用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，书写时用a，b，→c，…表示向量；也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如AB，CD. [化解疑难]向量与有向线段的区别和联系

(1)区别：从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由平移的．

(2)联系：向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段．

3．向量的模及两个特殊向量

(1)向量的长度(模)：向量AB的大小，也就是向量AB的长度(或模)，记作|AB|. (2)两个特殊向量：

①零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向是任意的；零向量的起点与终点是同一点，故不能用有向线段表示出来．

②单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．

三、巩固练习及典例析讲

1、概念：下列说法正确的序号有________．答案：①③④

①若向量a＝AB，b＝BA，则|a|＝|b|；②若a是单位向量，b也是单位向量，则a与b的方向相同或相反；③若向量AB是单位向量，则BA也是单位向量；

④以坐标平面上的定点A为起点，所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆．

2.[典例1]

(1)如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出________个向量．

(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：

①OA，使|OA|＝42，点A在点O北偏东45°；

②AB，使|AB|＝4，点B在点A正东；

③BC，使|BC|＝6，点C在点B北偏东30°. [解]

(1)12 (2)①由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又因为|OA|＝42，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量OA如图所示．

②由于点B在点A正东方向处，且|AB|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量AB如图所示．

③由于点C在点B北偏东30°处，且|BC|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量BC如图所示．

[解题小结（类题通法）]用有向线段表示向量的方法

用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．

[巩固练习]已知汽车从A地按北偏东30°的方向行驶200 km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向行驶200 km 到达C地，再从C地按西南方向行驶100 km到达D地，作出向量AB，BC，CD

(用1 cm表示100 km)．

解：向量AB，BC，CD如图．

3.[典例2]（易混淆向量模与绝对值题）

给出下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中，正确的命题有(

) A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

[解析]

①忽略了0与0的区别，a＝0；②混淆了两个向量的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等；④当b＝0时，a，c可以为任意向量，故a不一定平行于c. [答案]

A [提醒——易错防范] 1．本题若将向量的模错误地理解为绝对值，则会认为①②③都正确，从而误选D. 2．判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关．而对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可．

[巩固练习]有下列说法：①若a≠b，则a一定不与b共线；

②若AB＝DC，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；

③在▱ABCD中，一定有AD＝BC；④若a＝b，b＝c，则a＝c；

⑤共线向量是在一条直线上的向量．其中，正确说法的序号是________．答案：③④

四、随堂巩固练习

1．有下列说法：

①若向量a与向量b不平行，则a与b方向一定不相同；

②若向量AB，CD满足|AB|>|CD|，且AB与CD同向，则AB>CD；

③若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反；

④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行．其中，正确说法的个数是(

) A．1

B．2

C．3

D．4答案：A 2．当向量a与任一向量都平行时，向量a一定是________．答案：零向量

3．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则|BD|＝________.答案：23

五、本节达标检测

1．下列结论中，不正确的是(

) 答案：C A．向量AB，CD共线与向量AB∥CD意义是相同的

B．若AB＝CD，则AB∥CD

C．若向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b

D．若向量AB＝CD，则向量BA＝DC

2．如图，四边形ABCD中，AB＝DC，则必有(

) 答案：D A．AD＝CB

B．OA＝OC

C．AC＝DB

D．DO＝OB

3.若|AB|＝|AD|且BA＝CD，则四边形ABCD的形状为(

) 答案：C A．平行四边形

B．矩形

C．菱形

D．等腰梯形

4.如图所示，梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是(

) 答案：D A．AD＝BC

B．AC＝BD

C．PE＝PF

D．EP＝PF

5．设a0，b0分别是a，b的单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)．

①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0.

答案：③

6．如图，已知正方形ABCD边长为2，O为其中心，则|OA|＝________.答案：2 7．在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务，它从A点出发向西航行了200 km到达B点，然后改变方向，向西偏北50°航行了400 km到达C点，最后又改变方向，向东航行了200 km到达D点，此时，它完成了此片海区的巡逻任务．请你回答下列问题：

(1)作出向量AB，BC，CD；

(2)求|AD|. 解：(1)作向量AB，BC，CD，如图．

(2)由题意，易知AB与CD方向相反，所以AB与CD共线．所以AB∥CD. 又因为|AB|＝|CD|，所以四边形ABCD为平行四边形．所以|AD|＝|BC|＝400(km)．

11.如图所示方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且|AC|＝5. (1)画出所有的向量AC；

(2)求|BC|的最大值与最小值．

解：(1)画出所有的向量AC，如图所示．

(2)由(1)所画的图知，

①当点C位于点C1或C2时，|BC|取得最小值12＋22＝5；

②当点C位于点C5和C6时，|BC|取得最大值42＋52＝41，

∴|BC|的最大值为41，最小值为5.