信息技术应用 利用正切线画函数y=tan x，x∈（-π/2, π/2)的图象课堂实录【1】

函数yAsin(x)图象的简单应用

高频考点突破

1.三角函数yAsin(x)k的图象变换

（1）A、、、k图象变换的影响

A是将图象进行了纵向拉伸，是将图进行了水平拉伸，是将图象进行了左右平移，k将图象进了上下平移

（2）改变了、k的变换是平移变换，它们决定了函数的位置，可简记“上加下减，左加右减”；改变了A、的变换是平移变换是伸缩换，其中改变了函数的周期. 2.函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)时，运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径，向左或向右平移的单位个数是不一样的！！前者平移|φ|个单位，后者平移||个单位，原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x而言的，因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移的先后顺序，否则必然会出现错误

3.用五点法画三角函数模型的简单应用一个周期内的简图

（1）用五点法画ysin(x一)个周期内的简图时，分别令x0,（2）给定y2,,3,2找五个关键点，进行描点作图；

2sin(x)的简图或其一部分，一般地求解步骤如下：

①求振幅A

②求周期T，进而求 ③代入最高点或最低点坐标，求初相

自我能力检测

A．基础训练（40分钟，60分）

一．选择题

1．将ysin4x的图象向左平移A. 个单位，得到f(x)的图象，则f(x)等于 ( ) 12sin(4x)

B.sin(4x)

123 C.sin(4x) D.sin(4x)

123解析：本题考查三角函数图像的平移变换

由ysin4x的图象向左平移个单位得到ysin[4(x)]sin(4x)的图象，12123

故选D 12．将函数f(x)2sin(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），32所得图象对应的函数是（

）

11A．y2sin(x)

B．y2sin(x)

23262C．y2sin(2x)

D．y2sin(2x)

33解析：本题考查三角函数的平移变换

所得图象对应的函数是f(2x)2sin(2x)，选C 33．要得到（

）

f(x)3sin(2x)的图象，需要将函数g(x)3sin(2x)的图象332个单位

3

B．向右平移A．向左平移C．向左平移2个单位

3个单位

D．向右平移个单位

33解析：本题考查三角函数图象的平移变换

f(x)3sin2(x所以要得到6)，g(x)3sin2(x6)，f(x)g(x)，3f(x)3sin(2x)的图象，需要将函数g(x)3sin(2x)的图象33向右平移个单位，选D

34．（2012山东枣庄高三一模）函数ysin(2x变换得到

A．向左平移（

）

3)的图象可由ycos2x的图像经过怎样的个单位

6C．向左平移个单位

12个单位

6D．向右平移个单位

12B．向右平移解析：本题考查三角函数图像的平移变换及诱导公式

由函数ysin(2x)cos[(2x)]cos(2x)cos[2(x)]，故选D

323612

5.（浙江省嘉兴市八校11-12学年高一下学期期中联考卷数学）

函数ysin2xπ在区3间，π的简图是（ ）

2π

解析：本题考查三角函数的图象变换的规律

将ysinx的图象上所有点的横坐标压缩为原来的1然后向右平移个单位得26πysin2x的图象，故选A 36．（广东惠阳高中2011－2012学年高一上期末）电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函π1数IAsint（A0，0）的图象如图所示，则当t时，电流强度是（

）

6200A．10安 B．53安 C．5安 D．5安

解析：本题考三角函数模型的简单应用

由已知，得A10，又周期T41121，2()，100，3003005050

当t1时，流强度是I20010sin(1001)53，选B 20062)的图象（部分）如图所示，则7．（山西省山大附中2011-2012学年高一下学期期中）已知函数f(x)Asin(x)(xR,A0,0,||f(x)的解析式是

(

)

A．f(x)2sin(xC．f(x)2sin(x6)(xR)

B．f(x)2sin(2x)(xR)

D．f(x)2sin(2x6)(xR)

)(xR)

33解析：本题考查三角函数的图象与性质、五点法作图、图象变换

由图像观察知51A2,T4()，即63，2根据五点法作图知：1326，故选A 2011_2012学年度高一下期中）函数8．

（山东省淄博一中f(x)sinx((||2的最小正周期为)，且其图像向右平移个单位后得12到的函数为奇函数，则函数f(x)的图象( ) A.关于点(65C.关于点(,0)对称

12,0)对称

5 B.关于直线x对称

12 D.关于直线x12对称

解析：本题考查三角函数的图象与性质、图象变的平移变换等

由函数f(x)sin(x)(||)的最小正周期为，得，2.2个单位后得到122其图像向右平移ysin[2(x)]sin(2x),若其为126奇函数，则6k,kZ，即k6,kZ，由||2得6，5易知ysin(2x)关于点(,0)对称，选C 612二．填空题



9．

已知函数f(x)sin(x)(0)的图象如图所示，

则

＝ 解析：本题考查五点法作图的逆用

4π由图象可得最小正周期为

332π4π ∴T＝＝  ω＝

ω3210．

（广东实验中学11-12学年高一上期末）将函数移f(x)cos(2x)的图象向左平31个单位，再将图象上各点的横坐标压缩到原来的（纵坐标不变），那么所得到的图象23的解析表达式为

；

解析：本题考查三角函数的图象的平移变换、伸缩变换

将函数f(x)cos(2x)3的图象向左平移个单位，得到3ycos[x2(3的图象，再将)]xcos(2y)cos(2x)的图象上333各点的横坐标压缩到原来的1（纵坐标不变），就得到2ycos[2(2x)]cos(4x)的图象，填ycos(4x)

33311．

将ysinx的图象向右平移(0)个单位，得到ycosx的图象，则的最小值为

解析：本题考查诱导公式及三角函数的平移变换

33cosxsin(x)sin[(x)]sin(x)sin(x)，所222233将ysinx的图象向右平移单位就可以得到ycosx的图象，填

2212．如图，一个单摆以OA为始边，以OB为终边

1的角与时间t(s)满足关系式sin(2t)，

22当t0时，角的大小及单摆的频率分别是 ，

解析：本题考查三角函数模型在物理中的应用

112当t0时，sin，由解析式知，单摆的周期为T，所以单2222摆的频率f1111,填与T2

三．解答题

13．（2012·天津河西区高一上期末）函数yAsin(x)，其中(A0，0，||,xR)的部分图象如图所示，求函数表达式

解析：本题考三角函数的图象与性质、五点法等

由已知，得A周期T4

2(62)16，24sin(x)，得sin()0，

845由图知2k,kZ，2k,kZ，

4433由||，得，所以函数表达式为y4sin(x)

484将(2,0)代入y14．若函数16，8

f(x)3sin(3x)表示一个振动：

3（1）求这个振动的振幅、周期、频率及初相；

（2）用五点法画出函数（3）说明函数yf(x)一个周期内的简图；

sinx的图象经过怎样的变换可得到函数f(x)的图象

2313T2解析：本题考查五点法作图、三角函数的图象与性质三角函数模型的简单应用

（1）振幅A3，周期T（2）列表：

，频率为f，初相3

3x3

0



2

32

2

x

f(x)

图象如下：

9



183

290

718

590

0

y 3 3

29971859x 个单位，得到ysin(x)的图象；然后33-3 1将ysin(x)的图象所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到33ysin(3x)的图象；最后再将ysin(3x)图象所有点的纵坐标扩大到原来33的3（横坐标不变）得到f(x)3sin(3x)的图象

3（3）先将函数yO 18sinx的图象向左平移15．（浙江省金华一中11-12学年高一下期中）已知函数f(x)Asin(x),xR（其中A0,0,0上一个最低点为M(2）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象22,2). 3,]，求f(x)的值域. 122(1)求f(x)的解析式； （2）当x[解析：本题考查正弦函数的图象及性质、五点法作图与三角函数解析式的求法等

（1）由最低点为M(2,2)得A=2. 3T222

得=，即T，222T224,2)在图像上的2sin(2)2,即sin()1

由点M(3331142k,kZ

2k故

632又(0,),,故f(x)2sin(2x)

26672x[,]

（2）x[,],　　　　122636由x轴上相邻的两个交点之间的距离为w.w.w.zxx.c.o.m

当2x即x7=，即x时，f(x)取得最大值2；当2x

62666w.w.w.zxxk.c.o.m 2时，f(x)取得最小值-1，故f(x)的值域为[-1,2]

B．能力提升

一．选择题

1．（2012佛山高三二模）如图所示为函数fx2sinx(0,0)的部分图像,其中A,B两点之间的距离为5,那么f1（ ）

A．2

B．3

C．3

D．2

解析：本题考三角函数的图象及性质、及五点法作图等

A y 2

1

O 2

A,B两点之间的距离为5，

x B T222()45，函数的周期T6，

6，，23而

f(0)2sin1，0，6，f12sin()2，选A 362．函数ysin(x)(xR,0,02)的部分图象如图,则(

) ,

24C.,

44A.,

365D.,

44B.y1O1解析：本题考查由图求三角函数解析式

由3123xT2T8,特殊点函数值f(3)0,可得，选C 4443．函数f(x)Asin(x)(A0,0)图像如图所示,则f(1)f(2)f(3)f(2010)的值等于(

) A.2

B.2

C.22

D.1 2解析：本题考查由图求解析式及三角函数的周期性

由图像可知,A=2,T=8,则2,由00,得840,所以函数的解析式是y2sinx,易求得f(1)f(2)f(3)f(8)0, 4

故f(1)f(2)f(3)二．填空题

f(2010)f(1)f(2)2sin2sin22，选C

424．

（广东省执信中学2011-2012学年高一下期中）设f(x)sin(x关于x的方程f(x)m有两个不等的实根x1,x2，则x1x2的值为

(A) 4)，若在x[0,2)上533或

(B) 或

(C)

(D)

222222解析：本题考查三角函数的图象、性质及图象变换及数形结合的数学思想

方程f(x)m的解就是函数f(x)sin(x数形结合可得x14)

与直线ym交点的横坐标

，选A

x2242或x1x2552425．（由安徽亳州一中2011-2012学年高一期中试题改编）函数程f(x)sin(3x)满足方4f(x)a(0a1)求在[0,2]内的所有实数根之和为 2)的周期为

43[来源:Z|xx|k.Com]解析：本题考查三角函数的图象与性质、数形结合法解题

f(x)sin(3xysin(3x4)在[0,2]内恰有3个周期，

并且方程sin(3x同理，x3x44)a(0a1)在[0,2]内有6个实根且x1x22

1119,x5x6,

66111911故所有实数之和为

2662三．解答题

6．

（山西省太原五中2011-2012学年高一下学期期中）已知函数f(x)2sin(x)的图象与直线y1的交点中最近的两个交点的距离为5，求函数f(x)的最小正周期

3解析：本题考三角函数的图象与性质及数形结合的数学思想

根据题意：y1，即sin(x)则x151，

2772k1，x22k2，其中k1,k2Z

5656

41612k12k2所以：x130，x230，其中k1,k2Z

根据图像，上述两点距离最小值为

36141根据题意有x2x1，，

33030322，周期为T， 2C．高考对接

三角函数图象变换在高考中考查的频率较多，一般放在选择题、填空题、或者在解答题中利用平移设置情境，有时也和三角函数单调性、奇偶性、对称性结合在一起考查，有直接考查，也有逆向考查的. 1.（2011·全国卷）设函数f(x)＝cosωx(ω>0)，将y＝f(x)的图像向右平移后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于(

) 1A. B．3 C．6 D．9 3解析：本题考查三角函数图象的平移变换

将y＝f(x)的图像向右平移ππ2π个单位长度后得到的图像与原图像重合，则＝k，k∈Z，得33ωπ个单位长度3ω＝6k，k∈Z，又ω＞0，则ω的最小值等于6，故选C. 2．（2011·江苏卷）

函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)的部分图象如图1－1所示，则f(0)的值是________．

图1－1

解析：本题考查由图象求三角函数的解析式问题

由图象可得A＝2，周期为4×

7π－π＝π，所以ω＝2，将7π，－2代入得2×7π＋12121233ππ66φ＝2kπ＋π，即φ＝2kπ＋，所以f(0)＝2sinφ＝2sin＝，填

233223.

（2010·全国卷）为了得到函数ysin(2x图像

（A）向左平移3)的图像，只需把函数ysin(2x6)的个长度单位 （B）向右平移个长度单位

44

（C）向左平移个长度单位 （D）向右平移个长度单位

22解析：本试题主要考查三角函数图像的平移

ysin(2xysin(2x6)=sin2(x)，ysin(2x)=sin2(x)，所以将1236个长度单位得到ysin(2x)的图像，故选B 4630.yf(x)3. （2011·浙江卷）已知函数f(x)Asin(x)，xR，A0，32Q分别为该图像的最高点和最低点，的部分图像，如图所示，点P的坐标为(1,A).求f(x)P、)的图像向右平移的最小正周期及的值；



解析：本题考查由图象求三角函数的解析式问题

由题意得，T236。

x)的图像上，所以sin()1.

33又因为0，所以

624．（2010·全国卷2）为了得到函数ysin(2x)的图像，只需把函数ysin(2x)的36因为P(1,A)在yAsin(图像

个长度单位 （B）向右平移个长度单位

44（C）向左平移个长度单位 （D）向右平移个长度单位

22（A）向左平移解析：本题考查三角函数图像的平移

ysin(2x6)=sin2(x)，ysin(2x)=sin2(x)，所以将ysin(2x)12366的图像向右平移个长度单位得到ysin(2x)的图像，故选B. 435.

（2012·浙江）把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是

【解析】本题考查三角函数的图象的平称变换及伸缩变换

把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：y1＝cosx＋1，向左平移1个单位长度得：y2＝cos(x—1)＋1，再向下平移1个单位长度得：y3＝cos(x—1)．令x＝0，得：y3＞0；x＝【答案】B

21，得：y3＝0；观察即得答案．