信息技术应用 利用正切线画函数y=tan x，x∈（-π/2, π/2)的图象教学设计(第二课时)

教学设计

课题名称：《利用正切线画函数y=tanx，x∈（-π/2, π/2)的图象》

姓名：

学科年级：

牛维东

高一级

工作单位：

教材版本：

会宁一中

人教A版必修4 一、教学内容分析

一般来说，对函数的研究可以先作图象，通过观察图象获得对性质的直观认识，然后再从代数的角度对性质作出严格证明。如前面我们学习的正弦函数，余弦函数.但对于正切函数换一新视角来研究，先研究性质，再根据性质研究图象，这又是为什么这样呢？这样处理,主要是为了给学生提供研究数学问题更多的视角,在性质的指导下可以更加有效地作图、研究图象,加强了理性思考的成分,并使数形结合的思想体现得更加全面.还因为本节课正切函数是我们在高中阶段学习三角函数的最后一段，同时也是基本初等函数的最后一段，所以通过这节课的学习让学生来完整的感受一下从数到形，再从形返回来验证数的美妙之处！

二、教学目标

知识与能力：

1.

能根据正切函数的定义、诱导公式、正切线等知识，并类比正弦函数图象的作法能作出正切函数的图象。

2.

根据正切曲线，进一步完善正切函数的性质。

过程与方法：

1.经历由正切函数的性质推测图象,再由图象理解性质的过程,从而培养学生自觉运用“数形结合”的思想从不同角度解决问题的能力。

2.在教学中使学生体会事物间相互联系的原理，能在合情推理中得出结论；在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，突出语言表达能力、推理论证能力和良好思维习惯的养成．

情感态度价值观：

培养学生合作学习和数学交流的能力,培养学生由抽象到具体的思想方法,进一步增强对数学的应用意识,同时,让学生感受到数学的魅力,增强学生的学习兴趣。在教学中渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯．

三、学习者特征分析

学生已基本掌握了正切函数的定义、正切线、诱导公式等知识，也基本掌握了从代数角度研究函数单调性、奇偶性、周期性的方法.学生在前面已经利用正弦函数的图像研究了其的性质,学会了从形到数的学习方法,在此基础上,可以迁移到从数到形,通过数形结合,培养学生勇于探索、勤于思考的习惯,进一步培养学生合作学习和数学交流的能力,增强对数学的应用意识,同时,正切曲线的中心对称性让学生感受到数学的美学魅力,增强学生的学习兴趣。

四、教学策略选择与设计

1.

通过创设情景，使学生认识到数学思想方法的重要性，激发学生对于本节课的学习兴趣。

2. 本节课主要借助电脑多媒体辅助教学,加强教学的直观性和感染力。同时.教师以问题为中心,层层推进,引导学生积极思维,多角度探究问题,有效地展开师生双边活动。

3．组织学生动手画出正切函数的图象，再引导学生通过具体操作，互相讨论得到做出正切函数图象的方法，在此过程中，培养学生的协作学习能力。同时教师参与其中，及时指导，关注学生学习能力的差异。

4．安排针对性练习，及时巩固新知。同时注意练习梯度及与实际的联系，培养学生思维能力。

课后留下探索性作业，以满足让不同学生学习不同数学的思想，关注学生差异与个性发展。

5．采用多媒体制作动画以辅助教学，形象反映知识产生的背景，运动变化的过程。使整节课充满生动的数学情趣。

五、教学重点及难点

教学重点：

正切函数的图像及其主要性质.

教学难点：

ππ1.利用正切线画出正切函数y=tanx,x∈(-,) 的图像. 222.理解正切曲线与渐近线无限地接近以及对称中心（kπ,

0）. 2ππ(-+kπ,+kπ)23.理解正切函数在每一个开区间2上是单调递增函数,但在定义域上不单调.

六、教学过程

教师活动

预设学生活动

设计意图

一、创设情境,复习引入. 1．播放多媒体课件。回忆以前我们是如何画出正弦函数图像的？

2.类似地，这节课我们利用正切线画出函数y=tanx在其定义域上的图像。

3.回顾正切函数的定义及正切线。

二、思考探究一. 类比正弦函数图像的画法，首先应弄清楚正切函数y=tanx当x取a时在其图像上的对应点的坐标。利用几何画板具体操作如下：生1:tana=x,α的终边不在yyπ轴上，∴α≠+kπ,k∈Z. 2生2:设单位圆与X轴正半轴的交点为A,过点A做圆的切线，与角a的终边或者是终边的反向延长线交于点T，有向线段AT就是正切线。

复习巩固已学知识,为后面教学作铺垫.主要是为了给学生提供研究函数问题更多的视角，加强了理性思考的成分.

学生分组讨论，合作探究，互相交流后，可能会发现以下三种问题：

生1：

AP的长=OA1的长，

AT的长=A1T1的长。

生2：

在单位圆上移动点P时，与动点P对应的动点T1的轨迹就是正切函数y=tanx的图象。

集体回答：由上述作图过程我们得到了解决探究一的基本方法：将正切线AT沿x轴平移到A1T1,并使得平移后点T1横坐标学生在自主探索与互相讨论中,可在x轴的负半轴上任取一点o1作单位圆，它与x轴交于一点A,任π作一角a∈{α≠+kπ,k∈z}使其终2边与单位圆交于点P，过点A作单位圆的切线，设它与角a的终边或其延长线交于点T,由正切线的定义可知，有向线段AT即为角a的正切线，随后将AT沿着x轴平移到A1T1,并使得平移后点T1横坐标为弧

的长，纵坐标为正切经历知识的发生与形成过程;同时经过交流,可了解不同的解决问题方法,在知识与技能方面,通过交流可互相提高。并在此过程，培养学生的探索精神与合作学习能力，体会学习为AP的长，纵坐标为正切线的乐趣

AT的长.

线AT的长.这样，我们就得到正切函数y=tanx图像的一点T1(a,tana).同时改变角a，让同学们认真观察图象，并发现问题。

三、思考探究二. 在已经掌握了正切函数图像上一个点的生成原理后，提出问题：那么如何画出一个周期上的图像呢？

老师引导，大家知道，正切函数的周期为，所以可先在长度为的区间上画出y=tanx的图像，那么选哪个区间呢？理论上来讲，哪个区间都行，但为了画出的图像具有连续性，我们选择

演示完之后，让同学们以小组为单位，把上述作图过程再探究一遍，并做出其图像。

学生先在练习本上按照以上四步作图,教师巡视,针对出现问题及时引导。选取几个个学生的作品展示,然后教师动态演示作图的全过程,学生自行对比,修正自己的图象。

让同学们都动起来，尽量把图做好，同时展示自己的劳动x,22这个区间上的图像。在成果，体会劳动得来的快乐，用几何画板演示时，老师讲解的让他们有成就感，从而把他们内容如下：将圆o1的右半部分分从枯燥的数学中解放出来。

为八等份，等份数越多，相应做

出的图像越精确，依次得到角的

弧度数为

。。。。。。

然后借助于正切线依次做出正切函数y=tanx图像上的点。。。。。 随之用光滑的曲线将这些点连接起来，就得到正切函数y=tanx, x,在22上的图像，以及两条培养学生运用类比的方法解决问题和动手操作能力,形成对正切函数图象的感知。

学生在自主探索与互相讨论中,可经历知识的发生与形成过程;同时经过交流,能了解不同的解决问题方法,在知识与技能方面,通过交流可互相提高。并在此过程，培养学生的探索精神与合作学习能力，体会学习的乐趣。

22，我们把这样的直线两条直线叫渐近线。这里要强调一下，所做的图像只能与渐近线无限接近但不能相交。

x和x

四、思考探究三. 师

我们已经画出了正切函数x,在22上的图像，提生 我将x,22上的图像左右平移就可得到整个定义域上y=tanx的图象，

问：我们又如何画出其在整个定

义域上的图像？

生 正切函数与正弦函数一追问：你是如何想到这样平移样都是周期函数，我用类比思的？

想得出的。

集体回答

这个图像我们叫正切曲线，从图像上我们可以看出：正切曲线是被互相平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的。

五、思考探究四. 师 问1：在精确度不高的前提下，正，余弦函数的作图方法是什么？

问2：那么，如何画出正切函数的简图呢？请同学们讨论一下。

师

我们把这种方法

叫三点两线法。同时板书。生1 我可用三点两法作出正切函数的简图。

让学生到黑板上画一下。

追问

其他同学还有不同观点吗？

生2 除了三点还有两线。

追问：

哪两线呢？

通过动态演示,体会周期性的涵义,同时,回答了前面的遗留问题,培养学生自我纠错的能力。

教师利用几何画板演示,得出图象②,学生在动态中感受周期性,同时发现，将已得图象向左、右扩展即可,并指出这叫正切曲线。这时,学生可以拿出先前由性质推测的图象进行对比,自己找出问题,加以体会. 这一环节采用分组讨论,合作交流的方式完成。

类比正弦函数的“五点法”作简图,由正切曲线的特征,如何画出正切函数的简图?(培养“类x和x22，你到黑板上比”思维,加深对正生

画一下。

切曲线特征的理解,

便于今后纸笔作图。)

六、思考探究五. 师

我们已经做出了正切函数的图像，接下来用它来验证一下，上节课我们用代数方法得出的正切函数的一系列性质。

其中对称性是难点，用图展示如下：

2

（2）值域：R

（3）奇偶性：是奇函数

师

为什么？

生 tan(-x)=-tanx,

师

下面我们用图象再验证一

下，观察图象后，

集体回答 图像是关于原点对培养学生的识图能称的，所以是奇函数。

力,利用正切函数的（4）单调性：在每一个开区间图象进一步加深对ππ性质的理解,体会(-+kπ,+kπ)22

“数形结合”的思内都是增函数

。回答后在放映想,同时,由渐近线图象。

感知无限逼近的思（5）我们再看对称性：

想,感受对称美。

生1 是中心对称图形 对称中心：(kπ,0) 追问

其他同学还有不同观点吗？

生2 是中心对图形

但是对称π生 （1）定义域：{x≠+kπ,k∈Z} 中心：（kπ,

0）

2师

大家同意谁的观点

，争论不休，看来大家有争议了，我们来看图像。由图可知渐近线与x轴的交点和正切函数的图像与x轴的交点都是对称中心。即对称中心是（kπ,

0）。

2追问

同学们再思考一下，是轴对称图形吗？

生

不是

（6）周期性：是周期函数吗？

集体回答 是周期函数

，最小正周期是π。

追问

同学们还有其他性质吗？

集体回答 正切函数还有渐近线 师

那么渐近线方程是什么？

(7)

生

渐近线方程：

 xk,2kZ

七、应用举例. 例1 (1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？ (2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？

tanx例2解不等式：3. 师 解决这类题，如果应运图象来解，一般是在同一坐标系下，画出函数y=tanx与函数y=3图象，要使tanx≥3，只需找出函数y=tanx图象在函数y=3图象上方对应的区间即可。

例1：

生

（1）不是。为什么，比如我在图像上任取两点A和B,由图可知，点A的横坐标比点B的横坐标小，但是点A纵坐标比点B的纵坐标大. 不符合增函数的定义。（2）不会。因为图像没有下降趋势，所以不是减函数。

例2：

请同学们思考一下，以前我们是如何解决这个问题的？

生：

利用正切线来解决的。

追问

现在我们能否用正切函数的图像来解决？请同学们尝试一下。

学生上黑板：

解：

3



32

y0由图可知：xk,k(kZ)23

八、小结. 这节课我们先回顾了一下正切函数的定义以及正切线。由此引出如何做出角a在正切函数图像上的对应点。随后我们用正切线画出了正切函数的图像，最后用画出的图像验证了正切函数的性质。整个课堂始终贯穿了一个很重要的数学思想----就是数形结合思想。

学生在自主探索与互相讨论中总结本节课内容。学生讨论后,派代表阐述思想方法,教师作适当点评、补充,并展示本节课的知识框架,(投影给出。)

避免一些错误认识,进一步加深对正切函数单调性的理解。这样的训练，目的在于应用新知。在问题解决的过程中，培养学生的分析解决问题能力。

利用图象解三角函数不等式

让学生体会数形结合方法的应用。

x培养学生合作探究的精神以及总结问题的能力。反思学习过程,对研究正切函数的性质与图象的方法进行概括,深化认识,同时,通过表格展示数与形的结合。

九、教学评价设计. １．学生自评：

学习行为自我评价

等级（ＡＢＣ）

评价内容：

对于本节课的学习兴趣。

对于问题积极思考，遇到困难不退缩。

努力寻求不同方法解决问题。

能主动与他人互相交流。

存在问题与补救措施：―――――――――――――――――――――――――

收获与感悟：―――――――――――――――――――――――――――――

对于本节课的建议：——————————————————————————

２．教师评价：课堂即时评价，采用鼓励性语言评价。利用学生自我评价表进行反馈评价。

十、课后作业. 课本第46页，习题1.4 A组

第8，9题