复习参考题优秀教学设计范文

3.3三角恒等变换-----小结与复习（学案）

一、学习目标

1.理解与掌握常见的三角恒等变换公式，并明确它们之间的关系．

2.体会三角恒等变换的工具性作用，掌握变换的思想和方法，提高推理和运算能力．

二、自主学习

1.温故知新

（1）两角和与差的正弦sin

两角和与差的余弦cos

两角和与差的正切tan

（2）二倍角公式sin2

cos2

tan2

（3）asinx+bcosx=________，（a2+b2≠0），其中cosφ=________，sinφ=________．

（4）

三、合作探究

专题一

三角函数式的求值问题

三角函数式求值主要有以下三种题型．

(1)给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题．

(2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋

β

)－

β，2α＝(α＋

β)＋(α－

β)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论．

(3)给值求角：实质上是转化为“给值求值”问题，由所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角．

1

sin 15°＋cos 15°

[例1]

(1)的值是(

) sin 15°－cos 15°A.2＋62－63

B.

C.

D．－3 344(2)在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6，4sin B＋3cos A＝1，则C的大小为________．

tan 15°＋11＋tan 15°tan 45°＋tan 15°解析：(1)原式＝＝－＝－＝－tan (45°＋15°)＝－tan 60°＝－3. tan 15°－11－tan 15°1－tan 45°tan 15°11(2)两式左右两边分别平方相加，得sin(A＋B)＝，则sin C＝sin[π－(A＋B)]＝，

22π5π21π5π所以C＝或C＝.又3sin A＝6－4cos B＞2，得sin A

＞＞，所以A＞，所以C＜π，故C＝. 6632666π答案：(1)D

(2)

6归纳升华：对于给值求角的问题，角的范围分析很重要，是防止出现增解的重要手段．

专题二

三角函数式的化简与证明

三角函数式的化简的基本思想方法是统一角、统一三角函数的名称．在具体实施过程中，应着重抓住“角”的统一．通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简．

三角函数式的证明实质上也是化简，具有方向目标的化简；根本原则：由繁到简，消除两端差异，达到证明目的.

cos 10°[例2]

化简(tan 10°－3)·.

sin 50°132sin 10°－cos 10°2sin 10°－3cos 10°2cos 10°sin 10°－3·解：原式＝＝＝

cos 10°sin 50°sin 50°sin 50°2sin（10°－60°）－2sin 50°＝＝＝－2. sin 50°sin 50°归纳升华：本题中既有弦函数，又有切函数，由于涉及弦函数的公式较多，采用了切化弦的方法，有利于化简的进行；并用特殊角的三角函数表示特殊值，为逆用正弦的差角公式创造了条件，解法简捷，明快．

专题三

三角恒等变换的综合应用

高考常以三角恒等变形为主要的化简手段，考查三角函数的性质．当给出的三角函数关系式较为复杂，我们要先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，将函数表达式变形为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．

π－xsin x－3cos2x.

[例3]

已知函数f(x)＝sin2(1)求f(x)的最小正周期和最大值；

2

π2π(2)讨论f(x)在6，3上的单调性．

π3133－xsin x－3cos2x＝cos xsin x－(1＋cos 2x)＝sin 2x－cos 2x－

解：(1)f(x)＝sin22222π2－332x－－，

因此f(x)的最小正周期为π，最大值为＝sin. 322π2πππππ5π，时，0≤2x－≤π，从而当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增，

(2)当x∈63332612ππ5π2π当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减．

23123π5π5π2π，上单调递增，在，上单调递减．

综上可知，f(x)在612123归纳升华：高考对三角函数性质的考查主要涉及单调性、奇偶性、周期性等．解答时通常是先将函数简化为形如f(x)＝Asin (ωx＋φ)＋B的形式，然后根据正弦函数的图象与性质求解．

专题四

转化与化归思想

本章以两角差的余弦公式为基础利用换元法，将两角和的余弦公式转化为两角差的余弦公式的形式，即α＋

β＝α－(－

β)，从而推导出两角和的余弦公式．然后利用诱导公式实现正弦余弦的转化，推导出两角和(差)的正弦公式．以及二倍角公式的推出都体现了转化与化归的思想．应用该思想解决了三角函数式化简、求值、证明中角的变换、函数名称变换问题，解决了三角函数最值问题．

ππ1π＋α·－α＝，α∈，π，求sin 4α. [例4]

已知sinsin4462πππππ－α＝cos＋α. 解：因为α＋＋－α＝，所以sin44442ππ－α＝sinπ＋α·π＋α＝1sinπ＋2α＝1cos 2α＝1，

＋α·所以sinsincos4444222612又因为π＜2α＜2π，cos 2α＝，所以sin 2α＝－2. 3342所以sin 4α＝2sin 2αcos

2α＝－. 9ππ归纳升华：解三角函数求值问题，要优先考虑角与角之间的关系，＋α与－α互余，

44π从而化为同角“＋α”．

4四、学以致用

π727α－＝变式训练1.

已知sin，cos 2α＝，则sin α＝(

) 410254433A.

B．－

C．－

D.

5555π7222α－＝解析：因为sin，所以sin α－. 41022

3

cos α＝7210，即sin α－cos α＝75，因为cos 2α＝725，

所以cos2

α－sin2

α＝725，即(cos α－sin α) (cos α＋sin α)＝725，

所以cos α＋sin α＝－135，可得sin α＝5. 答案：D 变式训练2.

求证：1－2sin

xcos x1－tan xcos2

x－sin2

x＝1＋tan x. 1－sin xcos xcos x－sin x（cos x－sin x）2证明：法一：右边＝1＋sin x＝cos x＋sin x＝（cos x－sin x）（cos x＋sin x）

cos x＝cos2x＋sin2

x－2sin xcos xcos2

x－sin2

x＝1－2sin xcos xcos2

x－sin2

x＝左边．所以原命题成立．

法二：左边＝sin2

x＋cos2

x－2sin xcos xcos2x－sin2x＝

（cos x－sin x）2cos x－sin x1－tan cos2

x－sin2

x＝cos x＋sin x＝x1＋tan x＝右边，所以原命题成立．

变式训练3.

函数f(x)＝sin2x＋sin x·cos x＋1的最小正周期是________，最小值是________．

解析：f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1＝1－cos 2x132π2＋2sin 2x＋1＝2＋2sin(2x－4)．

故最小正周期T＝2π2＝π.当sin(2x－π4)＝－1时，f(x)取得最小值为323－22－2＝2. 答案：π

3－22

变式训练4.

已知sinα－

β2＝45，cosα2－

β＝－1213，且α－

β2和α2－

β分别为第二、第三象限角，

求tan α＋

β2的值．

解：因为sinα－

β2＝4

β

β5，且α－2为第二象限角，所以cosα－2＝－

1－sin2α－

β32＝－5. 又cosα2－

β＝－1213，且α2－

β为第三象限角，所以sinα2－

β＝－

1－cos2α2－

β＝－513. 所以tan

βα－4α2＝－3，tan2－

β＝512，

α＋

βtan－4－5所以tan α－

α－

β2－tanα2－

β312632＝tanβ2－α2－

β＝＝＝－. 1＋tan

βα－2tanα2－

β45161－3×12

4