信息技术应用 利用正切线画函数y=tan x，x∈（-π/2, π/2)的图象特级教师教学实录

1.4.3 正切函数的性质与图像（学案）

一、学习目标

会用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质，用数形结合的思想理解和处理问题。

二、自主学习

1.画出下列各角的正切线：

2.类比正弦函数我们用几何法做出正切函数ytanx图象：

3.把上述图象向左、右扩展，得到正切函数ytanx切曲线”

xR，且xkkz的图象，称“正2

1

4.观察正切曲线，回答正切函数的性质：

定义域： 值域：

最值： 渐近线：

周期性： 奇偶性

单调性： 图像特征：

三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点

疑惑内容

三、合作探究

探究1.

与正切函数有关的定义域问题

1.求函数y＝tan x＋1＋lg(1－tan x)的定义域．

回顾归纳：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线．

2

探究2.

正切函数的单调性及周期性

1π－x＋的单调区间及周期．

2.求函数y＝tan24

ππ回顾归纳

y＝tan(ωx＋φ) (ω>0)的单调区间的求法即是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，22k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．

探究3.

正切函数单调性的应用

3.

利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大小．

6π13π－与tan－；

(2)tan 2与tan 9. (1)tan57

回顾归纳：

比较两个函数值的大小，只需将所涉及的两个角通过诱导公式转化到同一个单调区间内，再ππππ－＋kπ，＋kπ，k∈Z.故在－，和借助单调性即可．正切函数的单调递增区间为2222π，3π上都是增函数．

22四、学以致用

1.

求下列函数的定义域．

1(1)y＝；

(2)y＝lg(3－tan x)．

1＋tan x

π2x－的单调区间及周期．

2.

求函数y＝tan3

3.

比较下列两组函数值的大小．

(1)tan(－1 280°)与tan 1 680°；(2)tan 1，tan 2，tan 3.

3

五、自主小测

1．函数y＝2tan3x＋π4的最小正周期是(

) A.π6

B.π3

C.π2

D.2π3

2．函数y＝tan1π2x－3在一个周期内的图象是(

)

3．下列函数的最小正周期为2π3的函数是(

) A．y＝tan 3x

B．y＝tanπ6x－7

C．y＝2tan23x－1

D．y＝tan3π2x＋3

4．下列函数中，在0，π2上单调递增，且以π为周期的偶函数是(

) A．y＝tan|x|

B．y＝|tan x| C．y＝|sin 2x|

D．y＝cos 2x

5．函数f(x)＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝πππ4所得线段长为4，则f4的值是(

A．0

B．1

C．－1

D.π4

6．不等式tan2x－π4≥－1的解集是____________．

7．函数y＝3tanx＋π3的对称中心的坐标是_______________．

8．函数y＝2tan3x＋π4－5的单调递增区间是________________．

) 4

参考答案

1．B

2.A

3.D

4.B 5．A

[由题意，T＝πω＝π4，∴ω＝4.∴f(x)＝tan 4x，fπ4＝tan π＝0.] 6.kπ，kπ3π22＋8

(k∈Z) 解析

由kπ－π4≤2x－π4

(k∈Z) 解析

由x＋π3＝kπ2

(k∈Z)，得x＝kππ2－3

(k∈Z)．

∴对称中心坐标为kπ2－π3，0

(k∈Z)．8.πkππkπ－4＋3，12＋3，k∈Z

5