2.1.3 相等向量与共线向量教学设计第二课时

明目标、知重点

1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．

1．向量

既有大小，又有方向的量叫做向量．

2．向量的几何表示

→以A为起点、B为终点的有向线段记作AB. 3．向量的有关概念

(1)零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0. (2)单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．

(3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．

(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量．

①记法：向量a平行于向量b，记作a∥b. ②规定：零向量与任一向量平行．

[情境导学]

回顾学习数的概念，我们可以从一支笔、一棵树、一本书……中抽象出只有大小的数量“1”，类似地，我们可以对力、位移……这些既有大小，又有方向的量进行抽象，形成一种新的量，即向量．

探究点一

向量的概念和几何表示

我们知道，力和位移都是既有大小，又有方向的量．数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量叫做向量．而把那些只有大小，没有方向的量称为数量．

例如，已知下列各量：

①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；

⑧重力；⑨路程；⑩密度．

其中是数量的有②④⑤⑨⑩，是向量的有①③⑥⑦⑧. 思考1

向量与数量有什么联系和区别？

向量有哪几种表示？

答

联系是向量与数量都是有大小的量；区别是向量有方向且不能比较大小，数量无方向且能比较大小．向量可以用有向线段表示，也可以用字母符号表示．用表示向量的有向线段的→→→→长度表示向量AB的大小，也就是向量AB的长度(或称模)．记作|AB|有向线段AB箭头表示向量→AB的方向．

思考2

向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？

答

向量的模可以为0，也可以为1，不可以为负数．

思考3

向量与有向线段有什么区别？

答

向量只有大小和方向两个要素，与起点无关．只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；有向线段是表示向量的工具，它有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段．

探究点二

几个向量概念的理解

思考1

长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？

答

长度为零的向量叫做零向量，记作0，它的方向是任意的．

长度(或模)为1的向量叫做单位向量．

思考2

满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？

答

长度相等、方向相同的向量叫做相等向量．若向量a与b相等，记作a＝b.单位向量不一定是相等向量．

小结

研究向量问题时要注意，从大小和方向两个方面考虑，不可忽略其中任何一个要素．对于初学者来讲，由于向量是一个相对新的概念，常常因忽略向量的方向性而致错．

思考3

在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是什么？

答

单位圆．

探究点三

平行向量与共线向量

思考1

如果两个非零向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？

答

方向相同或相反．

小结

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．向量a、b平行，通常记作a∥b.

规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a. a、b、c是一组平行向量，任作一条与a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，则可在→→→l上分别作出OA＝a，OB＝b，OC＝c.

由于任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量．也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆．

→→思考2

如果非零向量AB与CD是共线向量，那么点A、B、C、D是否一定共线？

答

点A、B、C、D不一定共线．

思考3

若向量a与b平行(或共线)，则向量a与b相等吗？反之，若向量a与b相等，则

向量a与b平行(或共线)吗？向量平行具备传递性吗？

答

向量a与b平行(或共线)，则向量a与b不一定相等；向量a与b相等，则向量a与b平行(或共线)．

向量的平行不具备传递性，即若a∥b，b∥c，则未必有a∥c，这是因为，当b＝0时，a、c可以是任意向量，但若b≠0，必有a∥b，b∥c⇒a∥c. 小结

在今后学习时要特别注意零向量的特殊性，解答问题时，一定要看清题目中是“零向量”还是“非零向量”．

例1

判断下列命题是否正确，并说明理由．

①若a≠b，则a一定不与b共线；

→→②若AB＝DC，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；

→→③在平行四边形ABCD中，一定有AB＝DC；

④若向量a与任一向量b平行，则a＝0；

⑤若a＝b，b＝c，则a＝c；

⑥若a∥b，b∥c，则a∥c. 解

两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，→→故①不正确．②AB＝DC，A、B、C、D四点可能在同一条直线上，故②不正确．③在平行→→→→→→四边形ABCD中，|AB|＝|DC|，AB与DC平行且方向相同，故AB＝DC，③正确．④零向量的方向是任意的，与任一向量平行，④正确．⑤a＝b，则|a|＝|b|且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|且b与c方向相同，则a与c方向相同且模相等，故a＝c，⑤正确．若b＝0，由于a的方向与c的方向都是任意的，a∥c可能不成立；b≠0时，a∥c成立，故⑥不正确．

反思与感悟

对于命题的判断正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，有时对错误命题的判断只需举一反例即可．

跟踪训练1

判断下列命题是否正确，并说明理由．

①若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；

②若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；

③对于任意|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；

④向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．

解

①不正确．因为向量是不同于数量的一种量．它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故①不正确．

②不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，并不能判断方向．

③正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向．由两向量相等的条件可得a＝b. ④不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不确定．

例2

一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走

了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．

→→→(1)作出向量AB、BC、CD；

→(2)求|AD|. 解

→→→(1)向量AB、BC、CD如图所示．

→→→→(2)由题意，易知AB与CD方向相反，故AB与CD共线，

→→又|AB|＝|CD|，

∴在四边形ABCD中，AB綊CD. ∴四边形ABCD为平行四边形．

→→→→∴AD＝BC，∴|AD|＝|BC|＝200 km. 反思与感悟

准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．

跟踪训练2

在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.

(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；

(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝5，并说出向量c的终点的轨迹是什么？

解

(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(作图略)．

(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为5的圆(作图略)．

例3

如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点．

→(1)写出与EF共线的向量；

→(2)写出与EF的模大小相等的向量；

→(3)写出与EF相等的向量．

解

(1)因为E、F分别是AC、AB的中点，

1所以EF綊BC.又因为D是BC的中点，

2→所以与EF共线的向量有：

→→→→→→→FE，BD，DB，DC，CD，BC，CB. →→→→→→(2)与EF模相等的向量有：FE，BD，DB，DC，CD. →→→(3)与EF相等的向量有：DB与CD. 反思与感悟

(1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反；

(2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线．

→→跟踪训练3

如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中所示向量与OA、OB、→OC相等的向量．

→→→解

OA＝CB＝DO；

→→→OB＝DC＝EO；

→→→→OC＝AB＝ED＝FO.

1．下列说法正确的是(

) A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小

B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小

C．向量的大小与方向有关

D．向量的模可以比较大小

答案

D 解析

A中不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，所以A不正确；由A的过程分析可知方向相同的向量也不能比较大小，所以B不正确；C中向量的大小即向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，所以C不正确；D中向量的模是一个数量，可以比较大小，所以D正确．

→→2．如图，在四边形ABCD中，若AB＝DC，则图中相等的向量是(

)

→→→→A.AD与CB

B.OB与OD

→→→→C.AC与BD

D.AO与OC

答案

D →→→→解析

∵AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC、BD互相平分，∴AO＝OC. ．

[呈重点、现规律]

1．向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用．

2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．平行向量是指向量所在直线平行或重合即可，是一种广意平行．

3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆．

一、基础过关

1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程．其中是向量的有(

) A．2个

B．3个

C．4个

D．5个

答案

C 解析

②③④⑤是向量．

2．下列说法中正确的个数是(

) ①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的；④单位向量的模都相等．

A．0

B．1

C．2

D．3 答案

D 3．给出下列三个命题：

①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；

②若|a|＝|b|，则a＝b；

→→③若AB＝DC，则四边形ABCD是正方形．

其中不正确的命题的个数为(

) A．2个

B．3个

C．0个

D．1个

答案

B →→→→4．设O是正方形ABCD的中心，则向量AO，BO，OC，OD是(

) A．相等的向量

B．平行的向量

C．有相同起点的向量

D．模相等的向量

答案

D 解析

这四个向量的模相等．

5．若a为任一非零向量，b为模为1的向量，下列各式：

①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1，其中正确的是(

) A．①④

B．③

C．①②③

D．②③

答案

B 解析

a为任一非零向量，故|a|＞0. 6.如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则(

)

→→A.AD＝BC

→→C.PE＝PF

答案

D →→→→→→→→解析

由平面几何知识知，AD与BC方向不同，故AD≠BC；AC与BD方向不同，故AC≠BD；→→→→→→PE与PF模相等而方向相反，故PE≠PF；EP与PF模相等且方向相同，

→→∴EP＝PF. →→→→7.如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，N、M分别是AD、BC上的点，且CN＝MA. →→求证：DN＝MB.

→→B.AC＝BD

→→D.EP＝PF

→→证明

∵AB＝DC，

→→∴|AB|＝|CD|且AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

→→∴|DA|＝|CB|，且DA∥CB. →→又∵DA与CB的方向相同，

→→∴CB＝DA.同理可证，四边形CNAM是平行四边形，

→→→→→→∴CM＝NA.∵|CB|＝|DA|，|CM|＝|NA|，

→→∴|DN|＝|MB|. →→→→∵DN∥MB且DN与MB的方向相同，∴DN＝MB. 二、能力提升

8．以下命题：①|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关；②两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；④单位向量都是共线向量．其中，正确命题的个数是(

) A．0

B．1

C．2

D．3 答案

C →9．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则|BD|＝________. 答案

23 1解析

易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，设AC与BD交于点O，则AO＝AB＝1.在Rt△ABO2→→→中，易得|BO|＝3，∴|BD|＝2|BO|＝23. 10．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了102米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．

→→→(1)作出向量AB，BC，CD. →(2)求AD的模．

→→→解

(1)作出向量AB，BC，CD如图所示：

(2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝102米，CD＝10米，所以BD＝10米．

△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝52＋102＝55(米)．

→所以|AD|＝55米．

11.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．

→→→→(1)在如图所示的坐标系中画出AD，DC，CB，AB；

(2)求B地相对于A地的位置向量．

解

→→→→(1)向量AD，DC，CB，AB如图所示．

→→(2)由题意知AD＝BC，

∴AD綊BC，则四边形ABCD为平行四边形，

→→∴AB＝DC，则B地相对于A地的位置向量为“北偏东60°，6千米”．

→→→12.如图，已知AA′＝BB′＝CC′.求证：

(1)△ABC≌△A′B′C′；

→→→→(2)AB＝A′B′，AC＝A′C′. →→证明

(1)∵AA′＝BB′，

→→→→∴|AA′|＝|BB′|，且AA′∥BB′. →又∵A不在BB′上，∴AA′∥BB′. ∴四边形AA′B′B是平行四边形．

→→∴|AB|＝|A′B′|. →→→→同理|AC|＝|A′C′|，|BC|＝|B′C′|. ∴△ABC≌△A′B′C′.

(2)∵四边形AA′B′B是平行四边形，

→→→→∴AB∥A′B′，且|AB|＝|A′B′|. →→→→∴AB＝A′B′.同理可证AC＝A′C′. 三、探究与拓展

13.如图，在平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A，B，C，→D，O}，向量集合T＝{MN|M，N∈S，且M，N不重合}，试求集合T中元素的个数．

→解

由题意知，集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段，共有20个，即AB，→→→→→→→→→→→→→→→→→AC，AD，AO；BA，BC，BD，BO；CA，CB，CD，CO；DA，DB，DC，DO；OA，OB，→→→→→→→→OC，OD.由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即AB＝DC，AD＝BC，DA＝CB，→→→→→→→→→→BA＝CD，AO＝OC，OA＝CO，DO＝OB，OD＝BO. ∵集合中元素具有互异性，∴集合T中的元素共有12个．