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“三角学和天文学”

教学设计

1.

教学目标

1.

1 知识目标

了解三角学和天文学概念；了解三角学和天文学的简单应用；

1.

2 能力目标

在形成理解的过程中，培养分析、抽象、概括的思维能力，强化“形”、“数”结合相互转化的思想方法，完善学生的数学知识结构；

1.

3 情感目标

创设求知情境，激发学生探索和发现问题的欲望，培养学生积极思维，不

断探索的学习品质和数学素养

1.

教学重难点

2.1 重点

了解三角学和天文学概念历史；了解三角学和天文学的简单应用；

2.2 难点

三角学和天文学的简单应用；

2.

教法与学法

3.1 教法

以引导探索教学法为主，利用多媒体与学科有机结合，启发式和发现式结合，做到一法为主，多法配合。

3.2 学法

学生在问题中尝试、探究、猜想、求证，充分体验数学发现和问题解决的乐趣，发展数学理性思维，使学生不仅“学会”而且“会学”。

3.3 关键

坚持“教为主导，学为主体，练为主线”的教育思想。

3.

教学过程

一、设置情景，引入新课。

雷格蒙塔努斯（Regiomontanus Johannes，1436—1476）德国数学家、天文学家。

约翰尼斯·开普勒(Johanns Kpler,1571—1630),杰出的德国天文学家

第谷·布拉赫（Tycho Brah1546-1601），丹麦天文学家和占星学家

弗朗索瓦·韦达（François Viète，1540－1603）现代数学之父

莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家、自然科学家

二、新课之概念

三角学：研究平面三角形和球面三角形边角关系的数学学科。三角学是以研究三角形的边和角的关系为基础，应用于测量为目的，同时也研究三角函数的性质及其应用的一门学科。三角学分为平面三角学与球面三角学。它们都是研究三角形中边与角之间的关系的学科。平面三角学分为角的度量、三角函数与反三角函数、诱导公式、和与差的公式、倍角、半角公式、和差化积与积化和差公式、解三角形等内容；球面三角学研究球面上由大圆弧构成的球面三角形的边与角之间的关系，在天文学、测量学、制图学、结晶学、仪器学等方面有广泛的应用。

天文学：chapter1：古希腊的自然科学家泰勒斯（公元前624年－公元前546年）的理论，可以认为是三角学的萌芽，但历史上都

认为古希腊的天文学家喜帕恰斯是三角学的创始者。

chapter2：古希腊门纳劳斯（Menelaus of Alexandria，公元100年左右）著《球面学》提出了三角学的基础问题和基本概念，特别是提出了球面三角学的门纳劳斯定理；50年后，另一个古希腊学者托勒密（Ptolemy）著《天文学大成》，初步发展了三角学．

Chapter3:瓦拉哈米希拉（Varahamihira，约505～587年）最早引入正弦概念，并给出最早的正弦表；公元10世纪的一些阿拉伯学者进一步探讨了三角学．

chapter4:纳西尔丁（Nasir ed－Din al Tusi，1201～1274年）的《横截线原理书》开始使三角学脱离天文学，成为纯粹数学的一个独立分支

三、新课之学科综合

应用实例一：开普勒测量行星轨道半径

开普勒如何从行星的使人眼花缭乱的视行中推出它们的“真实”轨道？只要想到人们永远不可能看到行星的真实运动，而只能从运动着的地球上看到它们在天空的什么方向，就知道问题困难了。倘使行星所作的是简单的匀速圆周运动，从地球上看去，还比较容易地察觉这种运动该是怎样的；可是实际情形比这要复杂得多，而且地球本身同样是以某种未知方式绕太阳运动。这就使问题变得无比复杂和困难了

开普勒用一个绝妙方法把这种杂乱无章的现象理出一个完整清楚的头绪来。他同哥白尼一样，敏锐地领悟到，“要研究天，最好先懂得地”，他也把着眼点放在地球上，力图先摸清地球本身的运动，然后再研究行星的运动。

在大地测量工作中，常常要测定那些由于某种自然障碍而无法直接到达的目标的距离。假定需要测定A地到对岸塔C的距离，因A、C两地被大河阻隔，无法直接去测量这段距离的长度。为了解决这个困难，观测者可在河的这岸另择一点B，AB的距离是可以直接丈量的。这段经过选定的、已知其长度的线段AB，用测量学的术语来说，叫做“基线”。基线确定后，可在它的两端用测角仪分别测定A、B两角的大小。于是，在三角形ABC中，已知两角大小和它们所夹的边

（基线）长，三角形的其他角和边，就可以计算出来。应用这个简单方法可以求得无法达到的目标的距离。

开普勒要测定地球（在其轨道上）与太阳的距离。在这里，太阳好比是上述例证中的A地，地球则是河对岸的那座塔C。为了布设“基线”，还需要另找一个定点

B。可是，在行星系统里，除了太阳是唯一“静止”的中心天体外，再也找不出第二个这样的“定点”。这要由开普勒另行觅取。

我们设想在地球轨道平面的某处有一盏明亮的天灯M，它有足够的明亮度，并且永远悬挂在那里，以使地球上的观测者在每年任何日期都能看到它；又假定这灯距太阳比地球还要远些。如果具备这些条件，它就成了我们所需要的第个定点。太阳与灯的连线就是我们所要布设的“基线”。借助这样一盏灯，就能用下述办法来测定地球的轨道。

譬如，每年都会有这样一个时刻，地球

（E）正好在太阳（S）和灯（M）的连线上。这时，从地球上来看灯，我们的视线EM就会同SM（太阳～灯）重合，我们可以把后者在天空中的位置

（它指向某一恒星）记录下来。

以后，在另一个时刻，地球运行到轨道上的另一位置E'，这时它同太阳和那盏灯的位置形成一个三角形SE'M。

应用实例二：天球坐标系

过观测者O (天球中心)的铅垂线﹐延伸后与天球交于两点﹐朝上的一点Z 称为天顶﹐朝下的一点Z 称为天底。

过天顶Z 和天体作一垂直圈﹐它与地平圈交于垂足D 点﹐则天体

在地平坐标系中的第一坐标就是大圆弧D 或极距 Z 。D =h 称为地平纬度﹐又称地平高度﹐简称高度﹔

而Z= 称为天顶距。地平高度也可以用平面角OD 来量度﹐而天顶距也可以用平面角OZ 来量度。

天球上与地平圈相平行的小圆称为地平纬圈﹐也称平行圈。同一地平纬圈上任意点的地平高度都是相同的﹐因此可以称为等高圈。

南点S 与垂足D 之间的大圆弧SD =a ﹐是地平坐标系中的第二坐标﹐称为地平经度或天文方位角﹐简称方位角。

方位角也可以用平面角SOD 来量度﹐天文学中习惯从南点起按顺时针方向量度。以地平圈为基圈﹑子午圈为主圈﹑南点为主点的坐标系称为地平坐标系。

由于周日视运动﹐天体的地平坐标不断发生变化。另一方面﹐对不同的观测者﹐由于铅垂线方向的不同﹐就有不同的地平坐标系﹐同一天体也就有不同的地平坐标。这种随测站而异的性质使记录天体位置的各种星表不能采用地平坐标系统。

地球赤道平面延伸后与天球相交的大圆﹐称为天赤道。天赤道的几何极称为天极。天赤道是赤道坐标系中的基圈﹐北天极P 是赤道坐标系的极

在研究太阳系内各种天体的运动情况时﹐要用另一种天球坐标系﹐即黄道坐标系。

地平坐标系和赤道坐标系之间的关系

可根据图

2的球面三角P Z 用球面三角的公式来表示﹕

cosz =sin sin +cos cos cost ﹐

sinα sinz =cos sint ﹐

cosα sin =-cos sin +sin cos cost ﹐

式中

=Z 为天体的天顶距﹔

=90°－PZ 为测站的地理纬度。

三维极坐标系统是在二维球面坐标系的基础上增加一条向径r构成的﹐向径是坐标原点到所研究的天体的线距离。人造卫星的空间位置可以用它的赤经﹑赤纬和向径唯一地加以确定﹐因相应的二维球面坐标系的不同﹐所以又有三维赤道球坐标和三维黄道球坐标等不同的球坐标系统。

三维直角坐标系又称为空间直角坐标系。在通常情况下﹐为便于与相应的球坐标系进行坐标转换﹐空间直角坐标系OXYZ 的OZ 轴取球面坐标系的极点所在的方向﹐OX 轴取主点所在的方向﹐OXY 平面与基圈相重合﹐而OXZ 平面与主圈相重合。这时﹐空间坐标与相应的二维球坐标或三维球坐标之间有最简单的关系。另外﹐对应于不同的二维球面坐标系﹐也可以有不同的空间直角坐标系﹐如赤道直角坐标系﹑黄道直角坐标系等

空间坐标系的转换包括﹕对应于同一球面坐标系统的空间直角坐标系和空间球坐标系之间的转换﹔不同空间直角坐标系之间的转换﹔对应于不同的二维球面坐标系的空间直角坐标和空间球坐标之间的转换﹔原点不同(如地心﹑日心等)的坐标转换。

相对坐标系

在研究邻近天体的相对位置及其运动状态时﹐往往要使用相对坐标系﹐它又称为微分坐标系。用相对坐标系研究的不是天体在天球上的具体位置﹐而是一个天体相对于附近另一个天体的相对位置。以赤道坐标系为例﹐两个天体S (α﹐和S (α﹐)之间的相对关系

α=α－α=sin p sec ﹐=－=cos p 。

称

=sin p ﹐

=cos p 为天体S 相对于天体S 的直角坐标。这里﹐两天体之间的球面距离为一小量﹐﹑和

均以角秒为单位。S S P为一窄球面三角形。

四、小结

知识

情感

能力

五、反思

在教学中通过鼓励学生质疑问题，发现问题，提出问题，并亲自解决问题，努力培养学生善于独立思考，是数学学习成为再创造，再发现过程；力求使学生通过对背景材料进行观察，比较，分析，综合，抽象和推理，得出数学概念和规律；力图体现教师为主导，学生为主体的思想，通过师生，生生之间的互动，变学生被动为主动，使学生积极参与知识的形成过程，成为学习的主人。