复习参考题名师教学实录

§3.2.1 古典概型教学设计

一、教材分析

【教学任务分析】: 本节课是高中数学3（必修）第三章概率的第二节古典概型的第一课时，是在随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下教学的。古典概型是一种特殊的数学模型（由于它在概率论发展初期是主要的研究对象，许多概率的最初结果也是由它得到的，所以称它为古典概型），也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位。

学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题。

二、教学目标定位

【知识与技能】：

(1)理解古典概型及其概率计算公式，

(2)会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

【过程与方法】：

根据本节课的内容和学生的实际水平，通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比各个试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题。

【情感态度与价值观】：

概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象。适当地增加学生合作学习交流的机会，尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例。使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是地科学态度和锲而不舍的求学精神。

【教学重点】:

理解随机事件和古典概型的概念，利用古典概型求解随机事件的概率。

【教学难点】: 如何判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。

【教学方法与理念】:与学生共同探讨，应用数学解决现实问题。

三、教法及学法分析

【教法分析】：

根据本节课的特点，采用引导发现和归纳概括相结合的教学方法，通过提出问题、思考问题、解决问题等教学过程，观察对比、概括归纳古典概型的概念及其概率公式，再通过具体问题的提出和解决，来激发学生的学习兴趣，调动学生的主体能动性，让每一个学生充分地参与到学习活动中来。

【学法分析】：

学生在教师创设的问题情景中，通过观察、类比、思考、探究、概括、归纳和动手尝试相结合，体现了学生的主体地位，培养了学生由具体到抽象，由特殊到一般的数学思维能力，形成了实事求是的科学态度，增强了锲而不舍的求学精神。

四、教学策略

1通过抛一枚硬币和一枚骰子的试验给出基本事件的概念；

2通过两个试验和例一的分析得出古典概型的两个特点和计算公式；

3例题具有一定实际背景，激发学生的求知欲，每道例题的计算量不大，用列举法（画树状图和列表）都可以数出基本事件的总个数；

4在每道例题后都有相应的“探究”或“思考”，提出问题，引导学生进一步学习，以开拓学生思路。

在整个教学过程中，一直要学生的思考为中心，把握古典概型的特点，在解决概率的计算上，教师鼓励学生尝试列表和画出树状图，让学生感受求基本事件个数的一般方法，从而化解由于没有学习排列组合而学习概率这一教学困惑。整个教学设计的顺利实施，达到了教师的教学目标。

五、教学过程

项

目

内 容

师生活动

理论依据或意图

教

在课前，教师布置任务，以数学小组为一

单位，完成下面两个模拟试验：

学生回答学

试验一：抛掷一枚质地均匀的硬币的试提试验结通过课前的模拟实验

验，学生观察出现的结果，教师提问：（1）出果，教师的展示和问题的提过

可能出现几种不同的结果？

问最后汇总出，激发了学生的求

（2）哪一个面朝上的可能性较大？

题方法、结知欲望，通过观察对程

试验二：抛掷一枚质地均匀的骰子，学引果和感比，培养了学生发现

生观察出现的结果，

入受，并提问题的能力。

分

教师提问：（1）点数朝上的试验结果是新出问题。

有限的还是无限的？如果是有限的共有几课

析

种？（2）哪一个点数朝上的可能性较大？

在试验一中随机事件只有两个，即“正二

面朝上”和“反面朝上”，并且他们都是互

斥的，由于硬币质地是均匀的，因此出现两

种随机事件的可能性相等，即它们的概率都学生观察思

是1/2；

对比得出让学生从问题的相同教

在试验二中随机事件有六个，即“1两个模拟点和不同点中找出研

考

点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6试验的相究对象的对立统一学

点”，并且他们都是互斥的，由于骰子质地同点和不面，这能培养学生分

交

是均匀的，因此出现六种随机事件的可能性同点，教析问题的能力，同时过

相等，即它们的概率都是1/6。

师给出基也教会学生运

用对

流

我们把上述试验中的随机事件称为基本事件的立统一的辩证唯物主程

本事件，它是试验的每一个可能结果。

概念，并义观点来分析问题的

形

基本事件有如下的两个特点：

对相关特一种方法。

分

（1）任何两个基本事件是互斥的；

点加以说教师的注解可以使学

成

（2）任何事件（除不可能事件）都可以表明，加深生更好的把握问题的析

示成基本事件的和。

新概念的关键。

概

在试验一中，必然事件由基本事件“正面朝理解。

上”和“反面朝上”组成；在试验二中，随念

机事件“出现偶数点”可以由基本事件“2点”、“4点”和“6点”共同组成。

例1 从字母a,b,c,d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？

分析：为了解基本事件，我们可以按照字典排序的顺序，把所有可能的结果都列出来。利用树状图可以将它们之间的关系列出来。

我们一般用列举法列出所有基本事件的结果，画树状图是列举法的基本方法，一般分布完成的结果(两步以上)可以用树状二

图进行列举。

bc

cdacbd思

d

（树状图）

解：所求的基本事件共有6个：

考

A{a,b}，B{a,c}，C{a,d}，

D{b,c}，E{b,d}，F{c,d}

交

试一试：一个袋中装有红、黄、蓝、绿四个

大小形状完全相同的球，从中一次性摸出三流

个球，其中有多少个基本事件？

形

观察对比，发现两个模拟试验和例1的共同

特点：

试验一中所有可能出现的基本事件有成

“正面朝上”和“反面朝上”2个，并且每1

个基本事件出现的可能性相等，都是；

2概

试验二中所有可能出现的基本事件有

“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”

和“6点”6个，并且每个基本事件出现的1念

可能性相等，都是；

6例1中所有可能出现的基本事件有“A”、“B”、“C”、“D”、“E”和“F”6个，并且每个基本事件出现的可能性相等，都是1；

6经概括总结后得到：

（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）

（2）每个基本事件出现的可能性相等。（等教

学

过

程

分

析

先让学生尝试着列出所有的基本事件，教师再讲解用树状图列举问题的优点。

当场练习，及时巩固。

让学生先观察对比，找出两个模拟试验和例1的共同特点，再概括总结得到的结论，教师最后补充说明。

将数形结合和分类讨论的思想渗透到具体问题中来。由于没有学习排列组合，因此用列举法列举基本事件的个数，不仅能让学生直观的感受到对象的总数，而且还能使学生在列举的时候作到不重不漏。解决了求古典概型中基本事件总数这一难点。

及时对所学知识进行巩固训练，加强知识理解记忆，简单题目也会对学生后续学习提供自信心。

培养运用从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点分析问题的能力，充分体现了数学的化归思想。启发诱导的同时，训练了学生观察和概括归纳的能力。通过用表格列出相同和不同点，能让学生很好的理解古典概型。从而突出了古典概型这一重点。

可能性）

我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率概型，简称古典概型。

思考交流：

（1）向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗?为什么？

答：不是古典概型，因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点，试验的所有可能结果数是无限的，虽然每一个试验结果出现的“可能性相同”，但这个试验不满足古典概型的第一个条件。

（2）如图，某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环……命中5环和不中环。你认为这是古典概型吗？为什么？

答：不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环……命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件。

学生互相交流，回答补充，教师归纳。

两个问题的设计是为了让学生更加准确的把握古典概型的两个特点。突破了如何判断一个试验是否是古典概型这一教学难点。

教

学

过

程

分

析

三

观

察

分

析

推

11131

导

点”）＋P（“6点”）＝6＋6＋6＝6＝2

3“出现偶数点”所包含的基本事件的个数P（“出现偶数点”）＝＝公

6基本事件的总数

根据上述两则模拟试验，可以概括总式

结出，古典概型计算任何事件的概率计算公

式为：

P（A）＝A所包含的基本事件的个数基本事件的总数

问题思考：在古典概型下，基本事件出现的概率是多少？随机事件出现的概率如何计算？

分析：实验一中，出现正面朝上的概率与反面朝上的概率相等，即

P（“正面朝上”）＝P（“反面朝上”）

由概率的加法公式，得

P（“正面朝上”）＋P（“反面朝上”）＝P（必然事件）＝1 P（“正面朝上”）＝P（“反面朝上”）=1/2 试验二中，出现各个点的概率相等，即

P（“1点”）＝P（“2点”）＝P（“3点”）

＝P（“4点”）＝P（“5点”）＝P（“6点”）

反复利用概率的加法公式，我们有

P（“1点”）＋P（“2点”）＋P（“3点”）＋P（“4点”）＋P（“5点”）＋P（“6点”）＝P（必然事件）＝1 所以P（“1点”）＝P（“2点”）＝P（“3点”）＝P（“4点”）＝P（“5点”）＝P（“6点”）＝1/6 进一步地，利用加法公式还可以计算这个试验中任何一个事件的概率，例如，

P（“出现偶数点”）＝P（“2点”）＋P（“4提问学生：在使用古典概型的概率公式时，应该注意什么? 归纳：

在使用古典概型的概率公式时，应该注意：

（1）要判断该概率模型是不是古典概型；

（2）要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。

除了画树状图，还有什么方法求基本事件的个数呢？

教师提出问题，引导学生类比分析两个模拟试验和例1的概率，先通过用概率加法公式求出随机事件的概率，再对比概率结果，发现其中的联系。

教师提问，学生回答，加深对古典概型的概率计算公式的理解。

鼓励学生运用观察类比和从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义方法来分析问题，同时让学生感受数学化归思想的优越性和这一做法的合理性，突出了古典概型的概率计算公式这一重点。

深化对古典概型的概率计算公式的理解，也抓住了解决古典概型的概率计算的关键。

教

学

过

程

分

析

例2 单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案。如果考生掌握了考差的内容，他可以选择唯一正确的答案。假设考生不会做，他随机的选择一个答案，问他答对的概率是多少？

分析：

解决这个问题的关键，即讨论这个问题什么情况下可以看成古典概型。如果考生掌握或者掌握了部分考察内容，这都不满足古典概型的第2个条件——等可能性，因此，只有在假定考生不会做，随机地选择了一个答案四

的情况下，才可以化为古典概型。

解：

这是一个古典概型，因为试验的可能结果只例

有4个：选择A、选择B、选择C、选择D，

即基本事件共有4个，考生随机地选择一个题

答案是选择A，B，C，D的可能性是相等的。

从而由古典概型的概率计算公式得：

分

“答对”所包含的基本事件的个数1P（“答对”）＝＝＝0.25基本事件的总数4

析

探究：在标准化考试中既有单选题又有多选

题，多选题是从A，B，C，D四个选项中选推

出所有正确的答案，同学们可能有一种感

觉，如果不知道正确答案，多选题更难猜对，广

这是为什么？

解析：基本事件有：｛A｝；｛B｝；｛C｝；｛D｝；｛A、；｛A、C｝；｛A、D｝；｛B、C｝；｛B、D｝；｛C、D｝；应

B｝；｛A、B 、D｝；｛A、C、

D｝；｛B、

C

、

｛A、B、C｝；｛A 、B 、

C、

D｝；

用

D ｝

P(“答对”)=“答对”所包含的基本事件个数1

基本事件总数15

小试牛刀：同时抛两枚硬币，求出现一正一反的概率？

解：这是一个古典概型。 基本事件为： {正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}共4种； 记事件A=“出现一正一反”，

包含{正，反}，{反，正}共2种； 21

P(A)42

例3同时掷两个骰子，求向上的点数之和是5的概率？

学生先思考再回答，教师对学生没有注意到的关键点加以说明。

教师板书做题过程，规范学生答题格式。

学生动手自己写出解题过程，教师提问。

学生板书答题过程，教师加以解释规范。

让学生明确决概率的计算问题的关键是：先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。

巩固学生对已学知识的掌握。

加深对概念的理解、公式的应用，教师带领学生一起分析基本事件的概念，对两枚硬币加以区分，才能正确列出基本事件总数。

提高学生学习兴趣的同时又能加深知识的学习。

解：掷一个骰子的结果有6种，我们把两个骰子标上记号1，2以便区分，记1号骰子结果为x, 2号骰子结果为y，用（x,y）表示一个结果，它总共出现的情况如下表所示：

先给出问题，再让学生完成，然后引导学生分析问2号骰子1234561号骰子题，发现（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）1（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）解答中存2（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）3在的问（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）4题。

（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）5（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）6

引导学生

用列表来从表中可以看出同时掷两个骰子的结果共列举试验有36种， 中的基本记事件A=“向上的点数之和为5”， 事件的总共有（1，4）,（2，3）,（3，2）,（4，1）数。

共4种。

因此，由古典概型的概率计算公式可得

P（A）＝A所包含的基本事件的个数41

＝＝基本事件的总数369利用列表数形结合和分类讨论，既能形象直观地列出基本事件的总数，又能做到列举的不重不漏。深化巩固对古典概型及其概率计算公式的理解，和用列举法来计算一些随机事件所含基本事件的个数及事件发生的概率。

培养学生运用数形结合的思想，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度。

大展身手：（2007年惠州高考模拟题）将A、B两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问：两数之和是3的倍数的概率是多少？

1答：

3教

学

过

程

分

析

五

总

结

概

括

加

深

理解

六

布

置

作

业

古典概型概率计算的方法与步骤：

1.判定是否属于古典概型①有限性②等可能性；

2.利用列举法（画树状图和列表等），求出学生小结基本事件的总数n以及所求事件中所包含归纳，不的基本事件的个数m. 足的地方老师补充A所包含的基本事件的个数

3.利用P（A）＝基本事件的总数说明。

注：有序地写出所有基本事件及某一事件A中所包含的基本事件是解题的关键！

使学生对本节课的知识有一个系统全面的认识，并把学过的相关知识有机地串联起来，便于记忆和应用，也进一步升华了这节课所要表达的本质思想，让学生的认知更上一层。

P133 练习2、3 题

进一步让学生掌握古学生课后典概型及其概率公自主完式，并能够学以致用，成。

加深对本节课的理解。

六、板书设计：

3.2.1古典概型

小试牛刀例1

1.基本事件

2.古典概型树状图（学生板书）

例33.古典概型例2

概率计算公式

七、设计说明：

本节课的教学通过提出问题，引导学生发现问题，经历思考交流概括归纳后得出古典概型的概念，由两个问题的提出进一步加深对古典概型的两个特点的理解；再通过学生观察类比推导出古典概型的概率计算公式。这一过程能够培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。

在解决概率的计算上，教师鼓励学生尝试列表和画出树状图，让学生感受求基本事件个数的一般方法，从而化解由于没有学习排列组合而学习概率这一教学困惑。整个教学设计的顺利实施，达到了教师的教学目标。

古典概性的教学应该让学生通过实例理解古典概型的特征：实验结果的有限性和每一个实验结果出现的等可能性。让学生初步会把一些实际问题化为古典概型。教学中不把重点放在“如何计算”上，应着重于概念的理解和从简单的试验推出公式的计算过程。让学生理解古典概型的定义及概率的计算公式。