复习参考题课时教学实录

1.3算法案例

课前预习学案

一、预习目标

1、理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。

2、理解秦九韶算法的思想。

二、预习内容

什么是进位制？最常见的进位制是什么？除此之外还有哪些常见的进位制？请举例说明．

三、提出疑惑

思考：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？

课内探究学案

一、学习目标

1. 会用辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。

2. 会利用秦九韶算法求多项式的值。

3．各进位制之间能灵活转化。

二、学习重难点：

重点：辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法和秦九韶算法求多项式的值。

难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。

三、学习过程

辗转相除法思路：可以利用除法将大数化小,找两数的最大公约数.(适于两数较大时)

(1)用较大的数m除以较小的数n得到一个商S0和一个余数R0；

(2)若R0＝0,则n为m,n的最大公约数；若R0≠0,则用除数n除以余数R0得到一个S1 和一个余数R1；(3)若R1＝0,则R1为m,n的最大公约数;若R1≠0,则用除数R0除以余数R1得到一个商S2和一个余数R2；……依次计算直至Rn＝0，此时所得到的Rn1即为所求的最大公约数. 例题1：求两个正数1424和801的最大公约数.

①以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法，也叫欧几里德算法.

②由上述步骤可以看出，辗转相除法中的除法是一个反复执行的步骤，且执行次数由余数

是否等于0来决定,所以可把它看成一循环体,写出辗转相除法完整的程序框图和程序语言.

教学更相减损术：我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术. 在《九章算

术》中有更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置

分母•子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.

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翻译为：(1) 任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数. 若是，用2约简；若不是，执

行第二步. (2) 以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小

数. 继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最

大公约数. 例题2. 用更相减损术求91和49的最大公约数.

秦九韶算法：

（1）设计求多项式f(x)2x55x44x33x26x7当x=5时的值的算法，并写出程序。

（2）有没有更高效的算法？能否探求更好的算法，来解决任意多项式的求解问题？

引导学生把多项式变形为：

f(x)2x55x44x33x26x7((((2x5)x4)x3)x6)x7

并提问：从内到外，如果把每一个括号都看成一个常数，那么变形后的式子中有哪些“一次式”？x的系数依次是什么？

用秦九韶算法求多项式的值，与多项式组成有直接关系吗？用秦九韶算法计算上述多项式的值，需要多少次乘法运算和多少次加法运算？秦九韶算法适用于一般的多项式f(x)anxnan1xn1a1xa0的求值问题吗？

怎样用程序框图表示秦九韶算法？观察秦九韶算法的数学模型，计算若令vk时要用到vk1的值，v0an，我们可以得到下面的递推公式：

v0an(k1,2,n)vkvk1xank构来实现。请画出程序框图。

这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，可以用循环结例题3．已知一个五次多项式为f(x)5x2x3.5x2.6x1.7x0.8用秦九韶5432

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算法求这个多项式当x = 5的值。

进位制：

我们了解十进制吗？所谓的十进制，它是如何构成的？其它进位制的数又是如何的呢？

进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统。进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。

例题4．将二进制数110011(2)化成十进制数

精讲点拨：

1．求两个正数8251和2146;228和1995;5280和12155的最大公约数.

2．

求两个正数8251和2146的最大公约数.

3.用秦九韶算法计算多项式

在x=-4时的值时,V3的值为

：

反思总结：

比较辗转相除法与更相减损术的区别

(1)都是求 的方法，计算上辗转相除法以 法为主，更相减损术以 法为主，计算次数上 法计算次数相对较少，特别当两个数字 时计算次数的区别较明显．

(2)从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以 则得到，而更相减损术

则以 而得到．

(3)通过对秦九韶算法的学习，你对算法本身有哪些进一步认识？

(4)秦九韶算法在计算一个n次多项式的值时，只要做____次乘法运算和____次加法运算。

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课后练习与提高

1、用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是： A．3

B．9

C．17

D．51

2、将数转化为十进制数为：

A. 524 B. 774 C. 256 D. 260 3、用秦九韶算法计算多当时的值时,需要做乘法和加法的次数分别是：

A. 6 , 6 B. 5 , 6

C. 5 ,

5

D. 6 ，5

参考答案:1D 2B 3A

- 4 - 项式