原（逆）命题、原（逆）定理优秀教案

17.2勾股定理的逆定理（第1课时）

一、内容和内容解析

1.内容

勾股定理的逆定理证明及简单应用。

2.内容解析

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、 b 、 c满足a2+b2=c2

, 那么这个三角形是直角三角形。勾股定理的逆定理是利用边长关系来判定三角形是直角三角形的一种方法。本节课的教学重点：探究并证明勾股定理的逆定理。

二、目标和目标解析

1.目标

（1）理解勾股定理的逆定理，并能运用它解决一些简单的实际问题。

（2）经历“实验操作——猜想——论证”的定理探究过程，体会“构造法”证明数学命题的基本思想。

（3）会用三角形三边的数量关系来判断三角形是否是直角三角形，体验数与形的内在联系。

2.目标解析

经历勾股定理的逆定理的探究及证明过程，并理解通过构造一个直角三角形，证明此三角形和原三角形全等，从而证明三角形为直角三角形的方法，能用勾股定理的逆定理来判断一个三角线是直角三角形。

三、学生学情分析

尽管已到八年级下学期学生知识增多，能力增强，但思维的局限性还很大，能力也有差距。证明勾股定理的逆定理的实质，是通过a+b=c证明三角形中有一个角是90°，直接证明结论很困难，但学生学过全等三角形，可以先构造一个直角三角形，使得它的直角边分别为a，b，如果两个三角形全等，由全等三角形的对应角相等可知这个三角形是直角三角形，这种方法学生首次见到，较难理解。基于以上分析，可以确定本节课的教学难点为：用“同一法”证明勾股定理的逆定理。

难点：探究勾股定理的逆定理的推导方法。

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四、教学问题诊断分析：

在教学中，我采用直观教学，多媒体等手段，开展以探究活动为主的教学模式，边设疑边操作，边讨论，启发学生提出问题，分析问题，进而解决问题，从而达到突出重点的目的。勾股定理的逆定理的证明关键是构建全等的直角三角形，教学中采取了从特殊到一般、从动手操作到推理证明的顺序，以问题串的形式，使学生在动手操作的基础上和合作交流的良好氛围中，通过巧妙而自然地在学生的认识结构与几何知识结构之间筑了一个信息流通渠道，进而达到完善学生的数学认识结构的目的，更有利于突破难点。

五、教学支持条件分析：

我校硬件设施齐全条件基础良好，在教学中能充分发挥多媒体技术的优势，因此，设计方案具有可行性并达到了预期的教学效果。

六、教学过程：

（一）预习前置、温故知新

1、勾股定理的内容是什么?你能说出它的题设和结论吗？

2、若△ABC为直角三角形，∠C=90°，

⑴已知a=b=5,求c

⑵已知a=1,c=2, 求b ⑶已知c=17,b=8, 求a 师：你认为，当一个三角形满足什么条件时，它是直角三角形？ 生：有一个内角是90°，那么这个三角形就为直角三角形． 生：如果一个三角形，有两个角的和是90°，那么这个三角形也是直角三角形． 师：我们知道，在三角形中，如果有一个角是90°，或两个锐角和为90°，那么这个三角形就为直角三角形，这是从角度的方面判定直角三角形，本节课，我们将学习如何从边的角度判定一个三角形是直角三角形。

设计意图：通过对前面所学知识的归纳总结，为后续提出利用三边关系判定三角形为直角三角形埋下伏笔。

板书课题：17.2 勾股定理的逆定理（1）

（二）动手实践、自主探究

师：实际上，刚才老师提的那个问题，在很久之前的古埃及人已经有了答案，看看他们是怎么做的。

问题1 ：在古代，没有直角尺、圆规、量角器等作图工具，人们是怎样得到一个直角的呢？

方法：把一根长绳打上13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结间距，4个结间距，5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。按照这种方法真的能得到一个直角吗？

设计意图：介绍前人经验，引发思考，让学生感受数学来源于生活，激发学生学习兴趣。

接下来我们也按照古人的方法画一画，请同学们组内合作完成合作探究部分，要求组内每位同学完成一幅作图。

合作探究1：（小组内合作完成）

1.画图：画出边长分别是下列各组数的三角形（单位：厘米）

A：3、4、5 ；B：2.5、6、6.5；C：3、4、6；D：6、8、10 2.测量：用你的量角器分别测量一下上述各三角形的最大角的度数，并记录下来。

3.判断:请判断一下上述你所画的三角形的形状. 4.找规律:根据上述每个三角形所给的各组边长请你找出最长边的平方与其他两边的平方和之间的关系。 5.猜想：让我们猜想一下，一个三角形各边长数量应满足怎样的关系时，这个三角形才可能是直角三角形呢？

你的猜想是__________________________。

生：小组成员回答

师：c组作图当两边的平方和小于第三边时，这个三角形是钝角三角形，若两边的平方和大于第三边时，这个三角形又是什么三角形呢？请看老师的几何画板演示。

师:几何画板展示

师：通过老师的动画演示，和同学们的猜想一致，如果给出任意一个三角形，三边长为a、b、c，这三边之间满足什么关系，就构成了直角三角形。结合图形，你能说出这个猜想命题吗？

猜想

：如果三角形的三边长a 、 b 、c满足 a2+b2=c2 , 那么这个三角形是直角三角形。

设计意图：教学中让学生画三角形，测量边长，让后计算边长的平方，并分析最长边的平方和其它两边平方和之间的关系，最后引导得出结论。让学生充分经历测量-计算-归纳-猜想等几何定理的探索过程。

师：接下来，进行探究2，进一步证明大家的猜想命题是否正确？

合作探究2：

作图：1.三边长度为3cm，4cm，5cm的三角形ABC；

2.以3cm，4cm为直角边的直角三角形A'B'C'，并剪下△A'B'C'，放在△ABC上，两个三角形是否重合？

师：如果老师把边长是3、4、5的三角形换成边长分别为a、b、c，且满足a2+b2=c2

，你会证明这个三角形是直角三角形么？

几何推理论证：

2ab2c2已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，并且 求证：∠C=90°

（探究的关键是构建一个直角边是a、b的Rt△A，B，C，，然后和△ABC比较！于是画一个Rt△A’B’C’，

使∠C’=90°，A’C’=b，B’C’=a）

证明 : 作△A’B’C’，使∠C’=90°，A’C’=b，B’C’=a，如上图，

那么A’B’2=a2+b2（勾股定理）

又∵a2+b2=c2（已知）

∴A’B’2 = c2，

即A’B’= c (A’B’＞0)

在△ABC和△A’B’C’中，

BC==B’C’

CA==C’A’

AB==A’B’

∴△ABC≌△A’B’C’(SSS) ∴∠C=∠C’=90°，

∴△ABC是直角三角形

当我们证明了命题2是正确的，那么命题就成为一个定理．并且这个命题的题设和结论和勾股定理的题设和结论相反，我们就称之为勾股定理逆定理，利用这个定理可以判定一个三角形是否为直角三角形。

设计意图：引导学生分组画三边长度为3cm，4cm，5cm的三角形和3cm，4cm为直角边的直角三角形。让学生自然联想到三角形全等这一工具，为构造直角三角形，证明当前三角形与一个直角三角形全等做好铺垫，从而证明当前三角形是直角三角形，让学生体会这种证明思路的合理性，经历从特殊到一般的探究过程，从而突破本节课的教学难点。

(三)定理运用、加深理解

例1：判断由线段，组成的三角形是不是直角三角形: a=15，b=17，c=8；

（2） a=13，b=14，c=15；

（3）

a41，b=4，c=5；

师：像15、8、17这样，能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数。

小游戏：同学们任意说一个大于一的正整数，老师可以快速说出其他两个数，这三个数一定会构成直角三角形。

师：同学们运用勾股定理逆定理解决了一个怎样的问题？用代数的方法解决几何问题，这个思想叫作数形结合思想，将在我们今后的数学学习中应用广泛。

小游戏环节

设计意图：通过练习帮助学生把陈述性的定理转化为认知操作，让学生学会用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形。

（四）有效训练、总结提升

1.以长度分别为下列各组数的线段为边，其中能构成直角三角形的是（ ）

A． 1 ,2,3 B。 2，2，3 C. 6,8,14 D. 2，1.5，2.5 2.如果三条线段长a，b，c满足a2=c2-b2，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？

设计意图：考查应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形。

3.在△ABC中，a=24，b=25，c=7，求此三角形的面积。

设计意图：考查应用勾股定理的逆定理的应用。

4.小结：通过本节课，你收获了什么数学知识？

（1）勾股定理逆定理。 （2）如何证明勾股定理逆定理。

（3）利用勾股定理逆定理判定一个三角形是否为直角三角形。 六、板书设计：

17.2 勾股定理逆定理（1）

勾股定理逆定理：

如果三角形的三边长a 、 b 、c满足 a2+b2=c2 , 例1：

那么这个三角形是直角三角形。 证明过程：