4.3一次函数的图象与性质教学活动设计方案

4．3

一次函数的图象

第1课时

正比例函数的图象和性质

1．能用两点法画出正比例函数的图象．

2．正确理解正比例函数的图象及其性质．

3．通过对正比例函数图象的观察，发现正比例函数图象的性质．

重点

正确理解正比例函数的图象及其性质．

难点

通过对正比例函数图象的观察，发现正比例函数图象的性质．

一、创设情境，导入新课

前面，我们已经学习了用描点法画出函数的图象，也知道通常可以结合函数的图象研究它的性质和应用．那么，正比例函数图象有什么性质呢？

1做一做：在同一个平面直角坐标系中画出下列函数的图象：y＝x；y＝3x；观察函数图2象有什么特点？

二、合作交流，探究新知

1. 画出正比例函数y＝2x与y＝－2x的图象. 解：(1)列表： x

y

(2)描点. (3)连线. 观察图象，思考问题：

1．图象经过的象限与k的取值(特别是符号)有何联系？

2．对其中的某一个正比例函数图象(例如y＝2x)，当x增大时，函数值y怎样变化？x减小呢？y是不是要减小呢？请斟酌．

3．你从中得出什么规律？

规律：两个函数图象都是____，都经过点____．

函数y＝2x的图象经过第____象限，从左向右____； 函数y＝－2x的图象经过第____象限，从左向右____．

4．从以上规律，你能发现画图的小窍门吗？ 因为过两点有且只有一条直线，我们在画正比例函数图象时，只需确定两点. 1用简单方法画y＝x与y＝－x的图象．

2

5．归纳：

正比例函数图象的性质特点： 正比例函数y＝kx (k是常数，k≠0)的图象是一条____，我们称它为____； 当k>0时，直线y＝kx经过第____象限，y随x的增大而____；

当k<0时，直线y＝kx经过第____象限，y随x的增大而____．

追踪练习：函数y＝－7x的图象经过第____象限，过点(0，

)与点(1，

)，y随x的增大而____．

归纳为一句话，正比例函数图象的性质归根结底看k的符号．

即：k＞0 撇(一、三，增大)；

k＜0 捺(二、四，减小)．

由于正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是一条直线，我们可以称它为直线y＝kx. 三、运用新知，深化理解

1例1 关于函数y＝x，下列结论中，正确的是(

) 3A．函数图象经过点(1，3) B．不论x为何值，总有y＞0 C．y随x的增大而减小

D．函数图象经过第一、三象限

1【分析】当x＝1时，y＝，故A选项错误；只有当x＞0时，y＞0，故选项B错误；∵k311＝＞0，∴y随x的增大而增大，故选项C错误；∵k＝＞0，∴函数图象经过第一、三象33限，D选项正确．故选D. 【方法总结】解题的关键是了解正比例函数的比例系数的符号与正比例函数的关系及其增减性．

例2 点A(5，y1)和B(2，y2)都在直线y＝－x上，则y1与y2的关系是(

) A．y1≥y2

B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．y1＞y2

【分析】∵点A(5，y1)和B(2，y2)都在直线y＝－x上，∴y1＝－5，y2＝－2，∵－5＜－2，∴y1＜y2.故选C. 【方法总结】熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．

例3 一辆车从A地将一批物品匀速运往B地，如图，线段OP表示车离A地的距离s(千米)与时间t(小时)的关系，a表示A、B两地间的距离．现有以下四个结论：

①车的速度为40 km/h；②两地之间的距离为180 km；③点P的坐标为(4.5，180)；④车到达B地后以原速度的1.5倍立即返回，可在出发7.5小时后回到A地．

以上四个结论正确的是(

) A．①②④ B．①③④

C．②③④ D．①②③④

【分析】利用图象上D点的坐标得出车的速度为40千米/小时，再利用P点的坐标列出等量关系求出a即可；再设甲返回的速度为x km/h，根据路程、时间、速度间关系，进而求出即可．

60a60解：∵车的速度为＝40(千米/小时)，所以①正确；根据题意，得＝，解得a1.54.51.5＝180(千米)．点P的坐标为(4.5，180)，则②③正确；设甲车返回的时间为x小时，则180＝(40×1.5)x，解得x＝3，经检验，x＝3是方程的解并符合题意，则总时间为4.5＋3＝7.5(小时)，则④正确．故正确的有①②③④.故选D. 【方法总结】根据图象找到有用的信息，要注意横纵坐标表示的意义各是什么，再结合文字分析图中的图线所表示的实际意义是解题的关键．

四、课堂练习，巩固提高

1．教材P124练习．

2．教师指导学生完成《·高效课堂》“随堂演练”内容．

五、反思小结，梳理新知

1．函数图象的概念．

2．作正比例函数图象的步骤．

3．明确一次函数的图象是一条直线，因此在作图时，不需要列表，只要确定两点就可以了．

4．正比例函数的性质：

归根结底看k的符号．

即：k＞0

撇(一、三，增大)；

k＜0

捺(二、四，减小)．

由于正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是一条直线，我们可以称它为直线y＝kx. 六、布置作业

学生完成《·高效课堂》“课时作业”．

第2课时

一次函数的图象和性质

1．会画一次函数图象，理解和掌握一次函数的图象和性质．

2．理解y＝kx＋b与y＝kx直线之间的位置关系．

重点

一次函数的图象和性质．

难点

对一次函数y＝kx＋b(k，b为常数)中k，b的数与形的联系的理解．

一、创设情境，导入新课

1．什么叫正比例函数、一次函数？它们之间有什么关系？

2．正比例函数的图象是什么形状？

3．正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)中，k的正负对函数图象有什么影响？

既然正比例函数是特殊的一次函数，正比例函数的图象是直线，那么一次函数的图象也会是一条直线吗？它们的图象之间有什么关系？

二、合作交流，探究新知

1．在同一直角坐标系内作出y＝－2x，y＝－2x＋3，y＝－2x－3的图象．

归纳方法：

我们知道两点确定一条直线，一次函数的图象是一条直线，常常把一次函数y＝kx＋b叫做直线y＝kx＋b.我们可以描两点作出一次函数的图象，那么我们描哪两点呢？

在一次函数y＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)中，当x＝0时，y＝b；当x＝1时，y＝k＋b. 那么我们取两点作一次函数的图象就可以取(0，b)和(1，k＋b)两点就可以了．因为一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)与x轴的交点坐标为____，与y轴的交点坐标为____．也可确定一次函数与坐标轴的交点坐标来画直线．

2．比一比这三个函数的图象有什么异同并回答下面的问题：

(1)这三个函数的图象形状都是____，倾斜程度是否一样？

归纳总结一次函数图象的特点：

①在一次函数y＝kx＋b中，

当k>0时，y随x的增大而增大，当b>0时，直线必过一、二、三象限；当b<0时，直线必过一、三、四象限；

当k<0时，y随x的增大而减小，当b>0时，直线必过一、二、四象限；当b<0时，直线必过二、三、四象限．

再仔细观察，你能不能找到其他的信息？

(讨论并填空) (2)函数y＝－2x图象经过原点，一次函数y＝－2x＋3的图象与y轴交于点____，即它可以看作由直线y＝－2x向____平移____单位长度而得到；

归纳总结一次函数图象的特点： ②一次函数y＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)的图象可以看作由直线y＝kx平移|b|个单位长度得到(当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移)．

③当k>0时，k的值越大，直线与x轴的正方向所成的锐角越大．

④同一平面内，不重合的两条直线l1：y1＝k1x＋b1与l2：y2＝k2x＋b2，

当k1＝k2，且b1≠b2时，l1∥l2.(若b1＝b2则为同一条直线、或两直线重合) 当k1≠k2时，l1与l2相交．

三、运用新知，深化理解

例1 已知正比例函数y＝kx(k≠0)的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y＝2x＋k的图象大致是(

)

A

B

C

D

【分析】∵正比例函数y＝kx(k≠0)的函数值y随x的增大而增大，∴k>0，∵一次函数y＝2x＋k的一次项系数大于0，常数项大于0，∴一次函数y＝2x＋k的图象经过第一、

二、三象限．故选A. 【方法总结】一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)是一条直线，当k＞0时，图象必经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象必经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为(0，b)．

例2 对于函数y＝－5x＋1，下列结论：

①它的图象必经过点(－1，5)；②它的图象经过第一、二、三象限；③当x＞1时，y＜0；④y的值随x值的增大而增大．其中正确的个数是(

) A．0

B．1

C．2

D．3 【分析】∵当x＝－1时，y＝－5×(－1)＋1＝6≠5，∴点(－1，5)不在此函数的图象上，故①错误；∵k＝－5＜0，b＝1＞0，∴此函数的图象经过一、二、四象限，故②错误；∵x＝1时，y＝－5×1＋1＝－4，又k＝－5＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＞1时，y＜－4，则y＜0，故③正确，④错误．综上所述，正确的只有③，故选B. 【方法总结】一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．

例3 已知函数y＝(2m－2)x＋m＋1. (1)m为何值时，图象过原点；

(2)已知y随x增大而增大，求m的取值范围；

(3)函数图象与y轴交点在x轴上方，求m的取值范围；

(4)图象过第一、二、四象限，求m的取值范围．

【分析】(1)根据函数图象过原点可知，m＋1＝0，求出m的值即可；(2)根据y随x增大而增大可知2m－2＞0，求出m的取值范围即可；(3)由于函数图象与y轴交点在x轴上方，故m＋1＞0，进而可得出m的取值范围；(4)根据图象过第一、二象限列出关于m的不等式组，求出m的取值范围．

解：(1)∵函数图象过原点，∴m＋1＝0，即m＝－1；

(2)∵y随x增大而增大，∴2m－2＞0，解得m＞1；

(3)∵函数图象与y轴交点在x轴上方，∴m＋1＞0，即m＞－1；

2m－2<0，(4)∵图象过第一、二、四象限，∴解得－1＜m＜1. m＋1>0，【方法总结】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y＝kx＋b(k≠0)中，当k＜0，b＞0时，函数图象过第一、二、四象限是解答此题的关键．

例4 在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝－2x平移后，得到直线l2：y＝－2x＋4，则下列平移作法正确的是(

) A．将l1向右平移4个单位长度

B．将l1向左平移4个单位长度

C．将l1向下平移4个单位长度

D．将l1向上平移4个单位长度

【分析】由直线y＝－2x与y轴的交点为(0，0)，再求直线y＝－2x＋4与y轴的交点为(0，4)，所以可将y＝－2x向上平移4个单位长度得到y＝－2x＋4；y＝－2x与x轴的交点为(0，0)，y＝－2x＋4与x轴的交点为(2，0)，所以可将y＝－2x向右平移2个单位长度得到y＝－2x＋4，故选D. 【方法总结】求直线平移后的解析式时，可求出平移前后的直线与x轴、y轴的交点的坐标，再根据点的坐标的变化得出直线的平移情况．

例5 一次函数y＝－2x＋4的图象如图，图象与x轴交于点A，与y轴交于点B.

(1)求A，B两点的坐标；

(2)求图象与坐标轴所围成的三角形的面积是多少？

【分析】(1)x轴上所有点的纵坐标均为0；y轴上所有点的横坐标均为0；(2)利用(1)中所求的点A，B的坐标可以求得OA，OB的长度；然后根据三角形的面积公式可以求得△OAB的面积．

解：(1)对于y＝－2x＋4，令y＝0，得－2x＋4＝0，∴x＝2；∴一次函数y＝－2x＋4的图象与x轴的交点A的坐标为(2，0)；令x＝0，得y＝4.∴一次函数y＝－2x＋4的图象与y轴的交点B的坐标为(0，4)；

11(2)S△AOB＝·OA·OB＝×2×4＝4.∴图象与坐标轴所围成的三角形的面积是4. 22【方法总结】求一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，一般应先求出一次函数图象与x轴、y轴的交点坐标，进而求出三角形的底和高，即可得出面积．

四、课堂练习，巩固提高

1．教材P127练习．

2．教师指导学生完成《·高效课堂》“随堂演练”内容．

五、反思小结，梳理新知

本节课我们结合一次函数的图象对一次函数的一些简单性质进行了探讨，通过这节课，我们学习了以下内容：

1．一次函数y＝kx＋b中，

当k>0时，y的值随x的增大而增大，图象经过一、三象限；

当k<0时，y的值随x的增大而减小，图象经过二、四象限．

2．同一平面内，不重合的两条直线l1：y1＝k1x＋b1与l2：y2＝k2x＋b2，

当k1＝k2时，l1∥l2；当k1≠k2时，l1与l2相交．

3．一次函数y＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)的图象可以看作由直线y＝kx平移|b|个单位长度得到．(当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移) 六、布置作业

1．学生完成《·高效课堂》“课时作业”．

2．教材P127～128习题4.3第1～7题．