1.4 角平分线的性质第二课时教学设计

课题：1.4.1角平分线的性质（一）

教学目标

1、让学生通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理

2、经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法．

3、激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力．

重点：领会角的平分线的两个互逆定理

A 难点：两个互逆定理的实际应用

教学过程：

C 一、知识回顾（出示ppt课件）

1、角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？

O 如图∠AOB沿射线OC对折，∠AOC 和∠COB重合。

B 2、什么是角平分线

一条射线将一个角分成为两个相等的角，这条射线就叫做这个角的角平分线。

1如上图，射线OC是∠AOB的平分，∠AOC = ∠COB =∠AOB，

23、用尺规作已知角的平分线：

作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．

1（2）分别以MN为圆心．大于MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交2A 于C．

（3）作射线OC．射线OC即为所求．

M C 你能证明吗？

二、探究交流（出示ppt课件）

O B 1、角平分线性质：

N 如图：画∠AOB平分线OC，在OC上任取一点P，作PD⊥OA，垂足为D，PE⊥OB，垂足为E，试问PD与PE相等吗？你能得出什么结论？

（1）

猜想：将∠AOB沿OC对折，发现PD与PE重合，

A即：PD=PE. D（2）引导学生证明猜想。

已知：OC是∠AOB的平分线，

C点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，

P1垂足分别是D、E.

求证：PD=PE. 2BO可证明：∆PDO≌∆PEO(AAS) E在OP上再取一个P点试一试，结论成立吗？

（3）得出结论：角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等

（4）理解性质：题设：一个点在一个角的平分线上。

结论：它到角的两边的距离相等。

用符号语言表示为：∵∠1= ∠2，PD⊥OA ，PE⊥OB，∴PD=PE. 注意：性质的三个条件必须齐全，缺一不可。

2、角平分线性质的逆定理：（角平分线的判定定理）

（1）写出逆命题：交换定理的题设和结论得到的命题为：

到角的两边的距离相等的点，在角平分线上。

（2）证明逆命题的正确性：

如图：已知P点是∠AOB内一点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E，且PD=PE.

求证：

点P在∠AOB的平分线上。

分析：如何量化表示结论？（连接OP，证明∠1= ∠2 .则OP是角平分线，即点P在∠AOB的平分线上）

_A

证明：Rt∆PDO≌Rt∆PEO(HL)即可

_

D（3）结论：角平分线的判定定理：

C_

角的内部到角的两边距离相等的点，在角平分线上。

_

P用符号语言表示为：

_

1∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB，PD=PE _

2B_

_

O∴

∠1= ∠2 .（OC是∠AOB的平分线）

_

E综上所述：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.

三、知识应用（出示ppt课件）

A 例1、如图，∠BAD= ∠BCD=900 ，∠1= ∠2 . （1）求证：点B在∠ADC的平分线上

. 1 （2）求证：BD是∠ABC的平分线

. B 证明：（1）

∵∠1= ∠2

∴

BA=BC，

D 2 ∵∠BAD= ∠BCD=900，

BA ⊥AD，BC ⊥CD ∴点B在∠ADC的平分线上

C （2）在Rt∆BAD和Rt∆BCD中，∵

BA=BC，

BD=BD ∴

Rt∆BAD≌Rt∆BCD (HL)

∠ABD= ∠CBD ∴

BD是∠ABC的平分线

例2、如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，BD是∠AB C的平分线

，DE⊥AB，垂足为E，图中相等的线段有哪些？为什么？

A E 答：

(1) DE=DC ∵

∠C=90°

（已知）

3 D ∴

DC⊥BC（垂直的定义）

4 又∵

BD是∠ABC的平分线

1 2 B C ∵

DE⊥BA（已知）

∴

DE=DC（角平分线上的任意点到角的两边的距离相等）

(2)

BE=BC 做完本题后，你对角平分线,又增加了什么认识? 角平分线的性质，为我们证明两线段相等

又提供了新的方法与途径

四、巩固练习（出示ppt课件）

3.如图，△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，AD=6，BC=16，DE⊥BC，求△BDC面积。

4.已知：如图，∠C=∠D=90°

，AC=AD .求证:（1）

∠ABC= ∠ABD （2）BC=BD.（要求不用三角形全等的判定）

A A

D

第3题

C

D

第4题

B C

E B

五、课堂小结（出示ppt课件）

六、作业：p24

练习

p26

A

1、2