2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示课堂实录

平面向量基本定理与坐标运算

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1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示; 2.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算. 3.会用坐标表示平面向量共线的条件，进而解决一些相关问题. 4.了解平面向量的基本定理及其意义.

一、平面向量基本定理：

1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个_____不共线_____不共线向量，那么对于这一平面内的__任一__向量a，有且只有_一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2

特别提醒：  (1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一

λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量



二、平面向量的坐标表示：

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个__单位向量_ i、j作为基底任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有1，

且只有一对实数x、y，使得axiyj…………○我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作

2

a(x,y)…………○1

2式叫做向量的坐标表示

其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○与．a相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．(x,y)

特别地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)

特别提醒：设OAxiyj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示

三、平面向量的坐标运算：

（1）

若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab=(x1x2,y1y2)，

ab=

(x1x2,y1y2)

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差

（2）

若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标

（3）若a(x,y)和实数，则a(x,y)

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标

（4）向量平行的充要条件的坐标表示：设a=(x1, y1) ，b=(x2, y2) 其中ba

a∥b (b0)的充要条件是x1y2x2y10

类型一

平面向量基本定理的应用

【1】

如图所示，在△ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若→＝λAB→＋μAC→，则λ＋μ＝________. AM

→，AC→来表示AH→. [审题视点] 由B，H，C三点共线可用向量AB→＝xAB→＋(1－x)AC→，又M是AH的中点，所以AM→解析

由B，H，C三点共线，可令AH1→1→1→，又AM→＝λAB→＋μAC→.所以λ＋μ＝1x＋1(1－x)＝1. ＝2AH＝2xAB＋2(1－x)AC2221答案

2

2

应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．

→＝xAB→＋yAC→，则x＝【训练1】

如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若AD________，y＝________.

解析

以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系如图，

→＝(2,0)，AC→＝(0,2)，过D作DF⊥AB交AB的延长线于F，由已知得令AB＝2，则AB→＝(2＋3，

3)．

DF＝BF＝3，则AD→＝xAB→＋yAC→，∴(2＋3，3)＝(2x,2y)．

∵AD2＋3＝2x，即有3＝2y，

3x＝1＋2，解得3y＝2.

3→3→→＝AF→＋FD→＝1＋AB另解：AD＋2AC，

233所以x＝1＋2，y＝2. 答案

1＋33

2211OA,ODOB，AD与BC交于点M，设OA=a，OB=b，用a,b42[例1] 在△OAB中，OC表示OM. [解题思路]：若e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，则根据平面向量的基本定理，A 平面内的任何向量都可用e1,e2线性表示.本例中向量a,b可作基底,故可设3

C M D B O

OM=ma+nb,为求实数m,n,需利用向量AM与AD共线,向量CM与CB共线,建立关于m,n的两个方程.

解析：设OM=ma+nb，

则AM(m1)anb,ADa∵点A、M、D共线，∴AM与∴1b

2AD共线，

m1n，∴m+2n=1. ①

10.511而CMOMOC(m)anb，CBab

44∵C、M、B共线，∴CM与CB共线，

14n，∴4m+n=1. ②

∴1141313联立①②解得:m=，n=，∴OMab

7777m练习：1．若已知e1、e2是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( ) A．e1与—e2 B．3e1与2e2 C．e1＋e2与e1—e2 D．e1与2e1

答案：D 2．在△ABC中,已知

AM︰AB =1︰3, AN︰AC =1︰4，BN与CM交于点P,且

M P C B A N ABa, ACb,试

用a,

b表示AP. 解：∵ AM︰AB =1︰3, AN︰AC =1︰4,，

1111ABa，ANACb，

3344∵ M、P、C三点共线，故可设MPt

MC，t∈R , 于是，

1111tAPAMMPatMCat(ba)()atb…… ①

333331s同理可设设NPsNB，s∈R , APANNP()bsa．…②

441t1s由①②得 (s)a(t)b0，

33443232由此解得

s, t，∴ APab．

11111111∴ AM

类型二

平面向量的坐标运算

4

→＝3CA→，CN→＝2CB→.求M，N【例2】

已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且CM→. 的坐标和MN→，CB→的坐标，根据已知条件列方程组求M，N. [审题视点] 求CA解

∵A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，

→＝(1,8)，CB→＝(6,3)．

∴CA→＝3CA→＝3(1,8)＝(3,24)，CN→＝2CB→＝2(6,3)＝(12,6)．

∴CM→＝(x＋3，y＋4)．

设M(x，y)，则CMx＋3＝3，x＝0，∴得∴M(0,20)．

y＋4＝24，y＝20.→＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．

同理可得N(9,2)，∴MN

利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标．

→＝(2,4)，AC→＝(1,3)，则BD→【训练2】

在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB＝(

)．

A．(－2，－4)

C．(3,5)

B．(－3，－5) D．(2,4)

→＝AD→－AB→＝BC→－AB→＝(AC→－AB→)－AB→＝AC→－2AB→＝(1,3)－2(2,4)＝解析

由题意得BD(－3，－5)．

答案

B 3．

若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则AB2BC= 答案：(-3,-3) 解：AB2BC=（1，1）2（2，2）=(-3,-3) 1MN, 求P点的坐标；

211解：设P(x, y) 则(x-3, y+2)=(-8, 1)=(-4, ) 224x13x313 ∴ ∴P点坐标为(-1, -)

y2y222

4．若M(3, -2) N(-5, -1) 且

MP5

类型三

平面向量共线的坐标运算

【例3】►已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，是否存在实数k，使得ka＋b与a－3b共线，且方向相反？

[审题视点] 根据共线条件求k，然后判断方向．

解

若存在实数k，则ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．

若这两个向量共线，则必有

(k－3)×(－4)－(2k＋2)×10＝0. 1104解得k＝－.这时ka＋b＝－3，3，

31所以ka＋b＝－3(a－3b)．

即两个向量恰好方向相反，

故题设的实数k存在．

向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，如果向量是用坐标表示的，就可以使用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其中的参数值．

【训练3】

已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝(

)．

77A.9，3

77C.3，9



77B.－3，－9

77D.－9，－3

解析

设c＝(m，n)，

则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)．

∵(c＋a)∥b，∴－3×(1＋m)＝2×(2＋n)，又c⊥(a＋b)，

77∴3m－n＝0，解得m＝－9，n＝－3. 答案

D 9．已知a(1,2),b(3,2),当实数k取何值时,ka＋2b与2a—4b平行？

【解析】方法一: ∵ 2a—4b0,∴

存在唯一实数使ka＋2b=(2a—4b）

将a、b的坐标代入上式得（k—6，2k＋4）=(14，—4）

6

得k—6=14且2k＋4= —4，解得k= —1 方法二：同法一有ka＋2b=（2a—4b）,即（k—2)a＋（2＋4)b=0 ∵a与b不共线，∴



一、选择题

1．设e1、e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是(

) A．e1＋e2和e1－e2

C．e1＋2e2和e2＋2e1

[答案]

B [解析]

∵4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，

∴3e1－2e2与4e2－6e1共线，不能作为基底．

2．下面给出了三个命题：

①非零向量a与b共线，则a与b所在的直线平行；

②向量a与b共线的条件是当且仅当存在实数λ1、λ2，使得λ1a＝λ2b；

③平面内的任一向量都可用其它两个向量的线性组合表示．

其中正确命题的个数是(

) A．0 C．2 [答案]

B [解析]

命题①两共线向量a与b所在的直线有可能重合；命题③平面内的任一向量都可用其它两个不共线向量的线性组合表示．故①③都不正确．

3．给出下列结论：①若a≠b，则|a＋b|<|a|＋|b|；②非零向量a、b共线，则|a＋b|>0；③对任意向量a、b，|a－b|≥0；④若非零向量a、b共线且反向，则|a－b|>|a|.其中正确的有(

)个．(

) A．1 C．3 [答案]

B [解析]

①中有一个为零向量时不成立；②中a，b若是相反向量则不成立；③、④正确，故选B. 4．已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(x－y)e1＋(2x＋y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值等于(

) A．3 C．6 [答案]

C 7

k20 ∴k= —1 240B．3e1－2e2和4e2－6e1

D．e2和e1＋e2

B．1 D．3 B．2 D．4 B．－3 D．－6

x－y＝6x＝3[解析]

∵e1、e2不共线，∴由平面向量基本定理可得，解得. 2x＋y＝3y＝－3

→→→→→5．设一直线上三点A，B，P满足AP＝λPB(λ≠±1)，O为平面内任意一点，则OP用OA、OB表示为(

) →→→A．OP＝OA＋λOB

→→→OA＋λOBC．OP＝

→→→B．OP＝λOA＋(1＋λ)OB

1→→1→D．OP＝OA＋OB

λ1＋λ1－λ[答案]

C [解析]

∵OP→＝OA→＋λPB→＝OA→＋λ(OB→－OP→)＝OA→＋λOB→－λOP→，

∴(1＋λ)OP→＝OA→＋λOB→，∴OP→＝OA→＋λOB→1＋λ. 6．

已知向量a＝(1,2)、b＝(3,1)，则b－a＝(

) A．(－2,1) B．(2，－1) C．(2,0) D．(4,3) [答案]

B [解析]

∵a＝(1,2)、b＝(3,1)，∴b－a＝(3－1,1－2)＝(2，－1)．

7．若向量BA→＝(2,3)、CA→＝(4,7)，则BC→＝(

) A．(－2，－4) B．(2,4) C．(6,10) D．(－6，－10) [答案]

A [解析]

BC→＝BA→＋AC→＝BA→－CA→＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)．

8．

已知向量a＝(2,4)、b＝(－1,1)，则2a－b＝(

) A．(5,7) B．(5,9) C．(3,7) D．(3,9) [答案]

A [解析]

2a－b＝(4,8)－(－1,1)＝(5,7) 9．已知AB→＝(5，－3)、C(－1,3)、CD→＝2AB→，则点D的坐标是(

A．(11,9) B．(4,0) C．(9,3) D．(9，－3) [答案]

D [解析]

∵AB→＝(5，－3)，∴CD→＝2AB→＝(10，－6)，

设D(x，y)，又C(－1,3)，

8

)

→∴CD＝(x＋1，y－3)，

x＋1＝10x＝9∴，∴. y－3＝－6y＝－3

10．已知△ABC中，点A(－2,3)、点B(－3，－5)，重心M(1，－2)，则点C的坐标为(

) A．(－4,8) C．(8，－4) [答案]

C [解析]

设点C的坐标为(x，y)，

－3＋x1＝－2＋3由重心坐标公式，得3＋－5＋y－2＝3x＝8解得. y＝－444，－

B．33D．(7，－2)

，

→11．已知i、j分别是方向与x轴正方向、y轴正方向相同的单位向量，O为原点，设OA＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则点A位于(

) A．第一、二象限

C．第三象限

[答案]

D [解析]

∵x2＋x＋1>0，－(x2－x＋1)<0，

∴点A位于第四象限．

二、填空题

→→→→→12．在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝________(用a、b表示)．

11[答案]

－a＋b

441→→→→→[解析]

∵AN＝3NC，∴4AN＝3AC＝3(a＋b)，AM＝a＋b，

2111→3a＋b＝－a＋b. ∴MN＝(a＋b)－244413．已知向量a与b不共线，实数x、y满足等式3xa＋(10－y)b＝(4y＋7)a＋2xb，则x＝________，y＝________. [答案]

4716

1111B．第二、三象限

D．第四象限

9

3x＝4y＋7[解析]

∵a、b不共线，∴，解得10－y＝2x

16y＝1147x＝11

. →→→→14．若点O(0,0)、A(1,2)、B(－1,3)，且OA′＝2OA，OB′＝3OB，则点A′的坐标为________．点→B′的坐标为________，向量A′B′的坐标为________．

[答案]

(2,4)

(－3,9)

(－5,5) [解析]

∵O(0,0)，A(1,2)，B(－1,3)，

→→∴OA＝(1,2)，OB＝(－1,3)，

→→OA′＝2×(1,2)＝(2,4)，OB′＝3×(－1,3)＝(－3,9)．

→∴A′(2,4)，B′(－3,9)，A′B′＝(－3－2,9－4)＝(－5,5)．

→→→15．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则BD＝________. [答案]

(－3，－5) →→→→→→→[解析]

AD＝BC＝AC－AB＝(－1，－1)．∴BD＝AD－AB＝(－3，－5)．

三、解答题

→→16．如图，已知△ABC中，M、N、P顺次是AB的四等分点，CB＝e1，CA＝e2，试用e1、e2表→→→示CM、CN、CP.

[解析]

利用中点的向量表达式得：

13→1→1CN＝e1＋e2；CM＝e1＋e2；

22441→3CP＝e1＋e2. 4417．(1)设向量a、b的坐标分别是(－1,2)、(3，－5)，求a＋b，a－b,2a＋3b的坐标；

(2)设向量a、b、c的坐标分别为(1，－3)、(－2,4)、(0,5)，求3a－b＋c的坐标．

[解析]

(1)a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(－1＋3，2－5)＝(2，－3)；a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－1－3,2＋5)＝(－4,7)；2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)＝(－2,4)＋(9，－15)＝(－2＋9,4－15)＝(7，－11)．

(2)3a－b＋c＝3(1，－3)－(－2,4)＋(0,5) ＝(3，－9)－(－2,4)＋(0,5) ＝(3＋2＋0，－9－4＋5) ＝(5，－8)．

10

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基础巩固

一、选择题

1．已知a＝(－1,3)、b＝(x，－1)，且a∥b，则x等于(

) A．－3 B．－13

C．13

D．3 [答案]

C [解析]

由a∥b，得(－1)×(－1)－3x＝0，解得x＝13. 2．

若A(3，－6)、B(－5,2)、C(6，y)三点共线，则y＝(

) A．13 B．－13 C．9 D．－9 [答案]

D [解析]

∵A、B、C共线，∴AB→与AC→共线，

∵AB→＝(－8,8)，AC→＝(3，y＋6)，

∴－8(y＋6)＝24，∴y＝－9. 3．向量a＝(3,1)、b＝(1,3)、c＝(k,7)，若(a－c)∥b，则k等于(

) A．3 B．－3 C．5 D．－5 [答案]

C [解析]

a－c＝(3－k，－6)，b＝(1,3)，由题意得，9－3k＝－6，∴k＝5. 4．设e1、e2是两个不共线的向量，向量a＝e1＋λe2(λ∈R)与向量b＝－(e2－2e1)共线，则(A．λ＝0 B．λ＝－1 C．λ＝－2 D．λ＝－12

[答案]

D [解析]

由共线向量定理，存在t∈R，使a＝tb，

即e1＋λe2＝t(－e2＋2e1)，

11

)

2t＝11∵e1，e2不共线，∴，解得λ＝－. 2λ＝－t

5．已知向量a＝(3,4)、b＝(cosα，sinα)，且a∥b，则tanα＝(

) 3A．

44C．－

3[答案]

B 4[解析]

∵a∥b，∴3sinα－4cosα＝0，∴tanα＝. 36．

若向量b与向量a＝(2,1)平行，且|b|＝25，则b＝(

) A．(4,2) C．(6，－3) [答案]

D 22x＋y＝20[解析]

设b＝(x，y)，由题意，得，

x＝2y4B．

33D．－

4B．(－4,2) D．(4,2)或(－4，－2)

x＝4x＝－4解得或. y＝2y＝－2

二、填空题

→→→→7．设i、j分别为x、y轴方向的单位向量，已知OA＝2i，OB＝4i＋2j，AB＝－2AC，则点C的坐标为________．

[答案]

(1，－1) →→→→[解析]

由已知OA＝(2,0)，OB＝(4,2)，∴AB＝(2,2)，设C点坐标为(x，y)，则AC＝(x－2，y)，

→→∵AB＝－2AC，∴(2,2)＝－2(x－2，y)，

－2x－2＝2x＝1∴，解得. －2y＝2y＝－1

∴点C的坐标为(1，－1)．

8．设向量a＝(4sinα，3)、b＝(2,3sinα)，且a∥b，则锐角α＝________. π[答案]

4[解析]

由已知，得12sin2α＝6，

2π∴sinα＝±，∴α为锐角，∴α＝. 24三、解答题

→→→9．设向量OA＝(k,12)、OB＝(4,5)、OC＝(10，k)，当k为何值时，A、B、C三点共线．

12

[解析]

∵OA→＝(k,12)、OB→＝(4,5)、OC→＝(10，k)，

∴AB→＝OB→－OA→＝(4,5)－(k,12)＝(4－k，－7)，

BC→＝OC→－OB→＝(10，k)－(4,5)＝(6，k－5)．

∵A、B、C三点共线，∴AB→与BC→共线，

∴(4－k)(k－5)－6×(－7)＝0，

解得k＝11或k＝－2. 能力提升

一、选择题

1．已知向量e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若向量a与b共线，则(

) A．λ＝0 B．e2＝0 C．e1∥e2

D．e1∥e2或λ＝0 [答案]

D [解析]

∵a、b共线，∴存在t∈R，使a＝tb，

∴e1＋λe2＝2te1，

∴(1－2t)e1＋λe2＝0

①

若e1、e2共线，则一定存在t、λ.使①式成立；

若e1－2t＝01、e2不共线，则λ＝0

. 2．已知平面向量a＝(1,2)、b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝(

) A．(－2，－4) B．(－3，－6) C．(－4，－8) D．(－5，－10) [答案]

C [解析]

∵a∥b，∴1×m－2×(－2)＝0，

∴m＝－4.∴2a＋3b＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．

3．已知平面向量a＝(x,1)、b＝(－x，x2)，则向量a＋b(

) A．平行于x轴

B．平行于第一、三象限的角平分线

C．平行于y轴

D．平行于第二、四象限的角平分线

[答案]

C [解析]

∵a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，

∴a＋b＝(0，x2＋1)，

∵1＋x2≠0，

∴向量a＋b平行于y轴．

4．已知向量a＝(1,0)、b＝(0,1)、c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么(

A．k＝1且c与d同向

B．k＝1且c与d反向

13 )

C．k＝－1且c与d同向

[答案]

D D．k＝－1且c与d反向

[解析]

∵c∥d，∴c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)，

k＝λλ＝－1又a、b不共线，∴，∴. 1＝－λk＝－1

∴c＝－d，∴c与d反向．

二、填空题

5．已知a＝(－2,3)，b∥a，b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则B点坐标为________．

770，或，0

[答案]

23[解析]

由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．

→设B(x，y)，则AB＝(x－1，y－2)＝b. －2λ＝x－1x＝1－2λ由⇒. 3λ＝y－2y＝3λ＋2

又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，

770，或，0. 所以B23→→6．已知点A(3，1)、B(0,0)、C(3，0)．设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有BC＝λCE，其中λ等于________．

[答案]

－3 [解析]

∵AE为∠BAC的平分线，

→→|BE||AB|2∴＝＝＝2. →→1|CE||AC|→→∴BE＝－2CE. →→→→→→∴BC＝BE－CE＝－2CE－CE＝－3CE. 三、解答题

7．平面内给定三个向量a＝(3,2)、b＝(－1,2)、c＝(4,1)，

(1)求满足a＝mb＋nc的实数m、n；

(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k. [解析]

(1)∵a＝mb＋nc，

∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．

－m＋4n＝3∴，解得2m＋n＝2

8n＝95m＝9

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(2)∵(a＋kc)∥(2b－a)，

又a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，

∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0. 16∴k＝－. 13→1→→1→8．已知A、B、C三点的坐标分别为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且AE＝AC，BF＝BC，

33→→求证：EF∥AB. [解析]

设E(x1，y1)、F(x2，y2)，依题意有：

→→→AC＝(2,2)、BC＝(－2,3)、AB＝(4，－1)．

22→1→→因为AE＝AC，所以AE＝3，3. 32→1→→－，1. 因为BF＝BC，所以BF＝332212，，所以E－，. 因为(x1＋1，y1)＝333327－，1，所以F，0. 因为(x2－3，y2＋1)＝3382→，－. ∴EF＝3328→→－－×(－1)＝0，所以EF∥AB. 又因为4×339．已知直角坐标平面上四点A(1,0)、B(4,3)、C(2,4)、D(0，2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形．

→→[解析]

由已知，AB＝(4,3)－(1,0)＝(3,3)，CD＝(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)．

→→∵3×(－2)－3×(－2)＝0，∴AB与CD共线．

→又AD＝(0,2)－(1,0)＝(－1,2)，

∴3×(－1)－3×2≠0，

→→∴AB与AD不共线．

∴AB∥CD，AB与AD不平行．

→→又|AB|＝32，|CD|＝22，

→→∴|AB|≠|CD|，即AB≠CD. →→∴BC＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)，AD＝(－1,2)，

→→∴|BC|＝5＝|AD|. 故四边形ABCD是等腰梯形．

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