2.3.1 变量之间的相关关系PPT及课堂实录内容

第3讲

变量间的相关关系、统计案例

第一课时 回归分析

备课人：于何梅 上课班级：高三371班

最新考纲

1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系； 2.用最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程； 3.记住回归分析的基本思想、方法及其简单应用．

知

识

梳

理

1．变量间的相关关系

(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．

(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．

2．回归分析

对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析．其基本步骤是：(ⅰ)画散点图；(ⅱ)求回归直线方程；(ⅲ)用回归直线方程作预报．

(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．

(2)回归直线方程的求法——最小二乘法．

设具有线性相关关系的两个变量x，y的一组观察值为(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，则回归直线方程＝＋x的系数为：

其中＝xi，＝yi，(，)称为样本点的中心．

(3)相关系数

当r＞0时，表明两个变量正相关；

当r＜0时，表明两个变量负相关．

r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．

r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．

诊

断

自

测

1．下面哪些变量是相关关系(

) A．出租车车费与行驶的里程

B．房屋面积与房屋价格

C．身高与体重

D．铁块的大小与质量

2．(2014·湖北卷)根据如下样本数据

x

y

3

4.0

4

2.5

5

－0.5

6

0.5

7

－2.0

8

－3.0

得到的回归方程为＝x＋，则(

) A.＞0，＜0 B.＞0，＞0 C.＜0，＜0 D.＜0，＞0

3. 变量X与Y相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；变量U与V相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则(

) A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1

C．r2＜0＜r1 D．r2＝r1

小组讨论，合作释疑

考点一

相关关系的判断

【例1】对四组不同数据进行统计，分别获得以下散点图，如果对它们的相关系数进行比较，下列结论中正确的是（

）

A．r2＜r4＜0＜r3＜r1

B．r4＜r2＜0＜r1＜r3

C．r4＜r2＜0＜r3＜r1

D．r2＜r4＜0＜r1＜r3

考点二

回归方程的求法及回归分析

【例2】

(2014·新课标全国Ⅱ卷)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：

年份

年份代号t

人均纯收入y

2007

1

2.9

2008

2

3.3

2009

3

3.6

2010

4

4.4

2011

5

4.8

2012

6

5.2

2013

7

5.9

(1)求y关于t的线性回归方程；

(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

＝，＝－. 巩固练习

1．(2015·湖北七市(州)联考)为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相

关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线＝bx＋a近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是

(

)

A．线性相关关系较强，b的值为3.25 B．线性相关关系较强，b的值为0.83 C．线性相关关系较强，b的值为－0.87 D．线性相关关系太弱，无研究价值

2.

设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论正确的是

(

) A．直线l过点(，) B．x和y的相关系数为直线l的斜率

C．x和y的相关系数在0到1之间

D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同

3．(2014·重庆卷)已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是

A.＝0.4x＋2.3

C.＝－2x＋9.5

B.＝2x－2.4 (

) D.＝－0.3x＋4.4

4．假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下表的统计资料：

使用年限x(年)

维修费用y(万元)

若由资料可知y对x呈线性相关关系，试求：

(1)线性回归直线方程；

(2)根据回归直线方程，估计使用年限为12年时，维修费用是多少？

总结：1．回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法．主要解决：(1)确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；(2)根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；(3)求出线性回归方程．

2.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．

作业

完成 创新设计 考点三

2

2.2

3

3.8

4

5.5

5

6.5

6

7.0